线性代数重要结论

1、 #线性相关与无关的两套定理：若,线性相关，则,12s线性相关与无关的两套定理：若,线性相关，则,12s12若,线性无关，则,12s12若r维向量组A的每个向量上添上ss1,必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）丁r个分量，构成n维向量组B:若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A(个数为尸)能由向量组B(个数为s)线性表示，且A线性无关，则rs(二版P定理7)；7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.1.2.74向量组A能由向量组B线性表示，则rr(B)；(P定理3)86向

2、量组A能由向量组B线性表示oAX，B有解；or(A)，r(A,B)(P定理2)85向量组A能由向量组B等价of(A)，r(B)，r(A,B)(P定理2推论)85方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P,P，使A，PPP；12l12/、矩阵行等价：ABoPA，B(左乘，P可逆)oAx，0与Bx，0同解、矩阵列等价：ABoAQ，B(右乘,Q可逆)、矩阵等价：ABoPAQ，B(P、Q可逆)；对于矩阵A与B:、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则Ax，0与Bx，0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；若AB，C，

3、贝y：mssnmn、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；(转置)齐次方程组Bx，0的解一定是ABx，0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、ABx，0只有零解Bx，0只有零解；、Bx，0有非零解ABx，0一定存在非零解；设向量组B:b,b,b可由向量组A:a,a,a线性表示为：(P题19结论)nr12rns12s(b,b,b)，(a,a,a)K(B，AK)12r12s其中K为sr,(必要性：r注：当且A线性无关，则B组线性无关or(K)，r；(B与K的列向量组具有相同线性相关性)，r(B)空r(Ak)r(K),r

4、(K)r其中K为sr,(必要性：r注：当r，s时，K为方阵，可当作定理使用;；、对矩阵A，存在Q，AQ，Emnnmm、对矩阵、对矩阵A，存在Q，AQ，Emnnmm、对矩阵A存在P，PA，Emnnmna,a,a线性相关12so存在一组不全为0的数k,k,k，12s87or(A)，n、P的行向量线性无关；使得ka+ka+ka，0成立；(定义)1122ss，0有非零解即Ax,0有非零解；or(aor(a场，系数矩阵的秩小于未知数的个数;设若*为Ax，b的一个解，,1233结论)12smn的矩阵A的秩为r，则n兀齐次线性方程组Ax，0的解集S的秩为：r(S)，n-r；,为Ax，0的一个基础解系，则*,线性无关;n-r-12n-r(P题1115、相似矩阵和二次型正交矩阵o5、相似矩阵和二次型正交矩阵oAtA，E或A-1，At(定义),性质：10、若A为正交矩阵，则A-1，At也为正交阵，且A|，l;、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘