南通市扬州市2014届高三第一次调研测试数学

1、南通市2014届高三第二次调研测试数学学科参照答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应地址上1已知会集Axx3Uxx1，则eRA【答案】x1x32某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为【答案】183复数zi（其中i为虚数单位）的模为1i【答案】224从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为a1i2【答案】76Whilei65依照以下列图的伪代码，最后输出的a的值为aaiii

2、2【答案】48Endwhile6若loga121，则a的取值围是Printaa1（第5题）【答案】4，+7若函数f(x)x3ax2bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y3x42，则b的值为【答案】38.设l，m表示直线，m是平面的任意一条直线则“lm”是“l”成立的条件（在“充分不用要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不用要”中选填一个）【答案】充要9在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2y22（x0）上一点，直线OA的倾斜角为45，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是【答案】3xy310uuuruuur10在ABC中，D是BC的中点，

3、AD8，BC20，则ABAC的值为【答案】3611设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且1，1，1成等差数列，则xz的值是xyzzx34【答案】15是函数f(x)sin2x的一个零点，则函数f(x)在区间0，2所有极值点之和为12设6【答案】14313若不等式(mx1)3m2(x+1)m10对任意m(0，)恒成立，则实数x的值为【答案】114设实数a，b，c满足a2b2c1，则abc的最小值为1【答案】2二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定地域作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）uuuruuuruuuruuur16求：在ABC中，

4、已知ABAC9，ABBC（1）AB的值；（2）sin(AB)的值sinCuuuruuuruuuruuur16，4分【解】（1）（方法1）由于ABAC9，ABBCuuuruuuruuuruuur916uuuruuuruuur25，因此ABACABBC25，即ABACCBuuur2，故AB57分亦即AB25（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，则由条件得bccosA9，accosB163分两式相加得c(bcosAacosB)91625，即c225，故ABc57分3ABCabcbccosA9accosB1631b2c2a291c2a2b21622c225ABc572sin(AB)sinAco

5、sBcosAsinB10sinCsinCsin(AB)acosBbcosAaccosBbccosA1697sinCcc2c225141614PABCDABDCABPADPDADAB2DCEPB1CEPADP2PBCPAB11PAFEFDF2EEPBEF/AB1EF2ABABABCDAB2DCEFCD4EFCDDCEFDCCEDFCEPADDFPAD（第16题）CEPAD7P2ABMEMCM2FEEPBEM/PAABCDAB2DCCM/AD4ABMEMPADPAPADEMPADCMPADDCEMICMMEM，CMCEM（第16题）CEMPADCEPADCEPAD7211PDADFPADFPAAB

6、PADDFPADDFAB10CEDFCEPACEABPA，ABPABPAIABACEPAB由于CE平面PBC，因此平面PBC平面PAB14分17（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位依照实验得出，在必然围，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为161，0 x4，8xy51x，4x210若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒

7、2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（1a4）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够连续有效净化，试求a的最小值（精确到0.1，参照数据：2取1.4）【解】（1）由于一次喷洒4个单位的净化剂，644，0 x4，因此浓度f(x)4y8x202x，4x10则当0 x4时，由6444，解得x0，因此此时0 x43分x8当4x10时，由202x4解得x8，因此此时4x8综合得0 x8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天7分（2）设从第一次喷洒起，经x（6x10）天，浓度g(x)251xa816110 x16aa(14x)16aa410分2(x6)14x14x由于14x4，8，而1a4，因此4a

8、4，8，故当且仅当14x4a时，y有最小值为8aa4.令8aa44，解得24162a4，因此a的最小值为241621.614分18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设曲线xyC1：1(ab0)所围成的封闭图形的面积为ab421上的点到原点O的最短距离为22以曲线C1与坐标轴的交点为极点的椭圆记，曲线C3为C2（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直均分线M是l上的点（与O不重合）若MO2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；若M是l与椭圆C2的交点，求AMB的面积的最小值2ab4，2【解】（1）由题意得ab22又ab0，解得

9、a28，b21b2a232因此所求椭圆的标准方程为xy214分8uuuuruuuruuuruuuur（2）设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知：OM2OA，OAOM0 x2y222)，m21y2，即4(mn48分mxny0，解得22n1x4由于点A(m，n)在椭圆C2上，因此m2n21，82y2x2y22x即1，亦即182432因此点M的轨迹方程为x2y2110分432（方法1）设M(x，y)，则A(y，x)(R，0)，由于点A在椭圆C2上，因此2(y28x2)8，即y228（i）8x2又x28y28（ii）（i）+（ii）得2y2811，13分x92116.因此SAMBOMOA|(x2y

10、)8|299当且仅当1（即kAB1SAMB1616分）时，min.9（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)x2y21，2828k2解方程组，y，8得x22A18kA1ykx，8k222因此OA2xA2yA21818k8(1k)，AB24OA232(1k).8k28k218k218k2x2y21，8k288(12)又8解得xM222k12分1，k2+8，yMk2+8，因此OMk2+8ykx2264(122（解法1）由于222132(1k)8(1k)k)SAMB1ABOM(18k2)(k2+8)4418k2k2+82264(1k2)2256，64(1k)2

11、18k281(1k2)281k2+824当且仅当18k228时等号成立，即k1时等号成立，k此时AMB面积的最小值是SAMB1615分9当k0，SAMB14212216；29当k不存在时，SAMB1222221629综上所述，AMB面积的最小值为1616分9（解法2）由于118(11118k2k2+89，OA2OM2k2)8(1k2)8(1k2)818k2k2+8又12122，于是OAOM16，OAOMOAOM9当且仅当18k2k28时等号成立，即k1时等号成立（后同方法1）19(本小题满分16分)2设数列an的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，tN*，都有SrrStt（1）求数列an

12、的通项公式（用a1表示）；（2）设a1=1，b1=3，bnSbn1n2，nN*，求证：数列log3bn为等比数列；nbk1（3）在（2）的条件下，求Tn2bk1kSr2Sn【解】（1）由于a1S10，令t1，rr2，即Sn22分n，则t，得na1nStS1当n2时，anSnSn1a1(2n1)，且当n1时，此式也成立故数列an的通项公式为ana1(2n1)（2）当a11时，由（1）知ana(2n1)2n1n21，Sn依题意，n2时，bnSbn1bn12，于是log3bnlog3bn122log3bn1(n2，nN)，且log3b11，故数列log3bn是首项为1，公比为2的等比数列（3）由（2

13、）得log3bn12n12n1，因此bn32n1(nN*)bk132k211112k2于是bk132k112k22k2132k22k13+13131nbk1n1111因此Tn1k2bk1k232k2132k11232n15分7分10分12分15分16分20(本小题满分16分)设函数f(x)exaxa(aR)，其图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1x2（1）求a的取值围；（2）证明：f120（f(x)为函数f(x)的导函数）；xx（3）设点C在函数yx211)f(x)的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记t，求(a1)(tx11的值【解】（1）f()exax若a0，则f(x)

14、0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾2分因此a0，令f(x)0，则xlna当xlna时，f(x)0，f(x)是单调减函数；xlna时，f(x)0，f(x)是单调增函数；于是当xlna时，f(x)获取极小值4分由于函数f(x)exaxa(aR)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)，因此f(lna)a(2lna)0，即ae2.此时，存在1lna，f(1)e0；3lnalnaf(3lna)a33alnaaa33a2a0f(x)(lna)(lna)Ra2e.e2e6x1ax1a0 xxe2e1x2aax2a0 x2x1x2x1x1x2x1x2x2x1x1x22sss(

15、s0)fe2eee2s(ee)822x2x12s()2s(eses)g(s)2(eses)0g(s)gsx1x2x1x2g(s)g(0)0e20f022sf(x)exax1x2x1x22fx1x20113exiaxa0a(x1)xi0 x1i12iiix1x2e2a(x11)(x21)ABCC=9013x0 x1x2(x1x2)y0f(x0)02x2x1y02x2x1x1x2a(xx)ax2x1y00e2022122a(x1)(x1)a(xx)ax2x10122122a(x11)(x21)a(x11)(x21)(x21)(x11)022x211x21a1x21x11x1100a1x112x12

16、x21tata(1t2)1(t21)015x1122a1t2(a1)(t1)2.161市2014届高三第二次调研测试数学（附加题）21A选修41：几何证明选讲如图，ABC接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP/AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P求证：PAEBDEP【证明】由于PA是圆O在点A处的切线，因此PABACBA由于PDAC，因此EDBACB，E因此PAEPABACBBDECBD又PEABED，故PAEBDE10分（第21A题）21B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵M有特色值1及对应的一个特色向量e11，且M13求矩阵M111【解】设Mab，则由ab11，得ab1，cdc

17、d11cd1再由ab13，得ab3，cd11cd1联立以上方程组解得a2，b1，c0，d1，故M2110分0121C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：x1，2cos（为参数）上，且这两y2sin点对应的参数分别为与2(02)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值围【解】由题设可知P(1+2cos，2sin)，Q(1+2cos2，sin2)，2分于是PQ的中点M1coscos2，sinsin24分从而d2MA2coscos22sinsin222cos6分2021cos180d24d021021D45a2xR|x1a|xa|3|m|+|

18、n|mn|x1a|xa|x1a(xa)|=|2a1|8a2|2a1|3|x1a|xa|3102223102022.10ABCDA1111ADAA1ABEABBCD121D1EA1DD11A2D1ECD41DDAxDCyDDD1zAD=AA11AB2AED(000)A(100)B(120)（第22题）AEEBC1B1CBC(020)A1(101)B1(121)C1(021)D1(001)AE2uuuur2uuuur(101)1A1DEBE110D1E11uuuuruuuur2D1EA1D11)011(10D1EA1D52D1DABCDDECn1(001)uuur2-uuuurCECD1(021)1201D1CEn2(xyz)uuur2uuuurn2CExy20n2CD12yz01因此向量n2的一个解为22，112由于二面角D1ECD的大小为n1n22，则4|n1|n2|2解得2313又因E是棱AB上的一点，因此0，故所求的值为233110分23.（本小题满分10分）设数列an共有n（n3，nN）项，且a1an1，对每个i(1in1，iN)，均有ai11，1，2ai2（1）当n3时，写出满足条件的所有数列an（不用写出过程）；（2）当n8时，求满足条件的数列an的个数【解】（1）当n3时，a1a31由于a21a31111a12，1，2，a22，1，2，即a