初等数论：不定方程与高斯函数

1、初等数论：不定方程与高斯函数一、不定方程不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。1不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（32解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一

2、个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。以下给出几个求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义.形如 ax+by=c(a,b,cZ,a,b 不同时为零的方程称为二元一次不定方程定理 1.方程 ax+by=c有解的充要条件是(a,b)|c；定理 2.若，且x y 为 ax+by=c的一个解，则方程全部解可以表示成00 x x b t, a t （t 为任意整数。00a x + a x + a x =c(a ,a , a ,cN)定理 2. 元一次不定方程有1 12 2n n12n(a ,a |c.解的充要条件是1,n )方法与技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，

3、可先求 ax+by=0解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；a x + a x + a x =c2解 元一次不定方程时，可先顺次求出1 12 2n n，.若，则方程无解；若 | ，则方程有解，作方程组： 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。3m个 n 元一次不定方程组成的方程组，其中mn，可以消去m-1 个未知数，从而消去了 m-1 个不定方程，将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。（二）高次不定方程（组）及其解法1因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2同余法：如果不定方程

4、 F(x x )=0有整数解，则对于任意mN，其整1,n数解(x x 满足 F(x x )0(mod m)，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；1,n1,n3不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4无限递降法：若关于正整数 的命题 P(n)对某些正整数成立，设 n 是使0成立的最小正整数，可以推出：存在不定方程无正整数解。，使得成立，适合证明方法与技巧：1因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解有深刻地体会；2同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过

5、多次尝试；3不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，生适用的不等式；4无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解 由此产生矛盾。定理 3 方程 x +x （kN ）+1n（1）非负整数解有C组n1nk1（2）当 kn 时，正整数解有C 组n1k1例题1求不定方程 x +y +z =2x y +2y z +2z x +24的所有正整数解。4442 22 22 22设k 是给定的正整数，k2，求证：连续3 个正整数的积不能是整数的 k次幂3确定方程x x . x 1999的全部非负整数解

6、41424144求证下列数不能表示为若干连续整数的立方和（1）38597（2）366175正整数 n 不能被 2，3 整除，且不存在非负整数 ，b，使得|2 3 n，ab求 n 最小值6求x y 328的全部正整数解227求x 23xy 1989y 0的整数解2228试证x 2xy 5z30无整数解229.试求所有的正整数 ，b，使(a1)(b1)(c1)|(10试证x y z 2xyz无非零整数解22211 7 1 号队 2 另一方才算胜利，形成一比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程有几种？m，n1，22009，(n mnm ) 1，试求n m 最大值12.22 2221 1 1m13.是否

7、存在正整数 m，使得方程 有无穷组正整数解？a b c abc 二、高斯函数 x 1、高斯函数 x 的定义5 1 设 x 表示不超过x的最大整数(如x R0，0.1263 1)，2 则 y x 称为高斯函数，也叫取整函数。 由定义， x x x 1，故 x x x 0，称x为x的小数部分。 2、高斯函数 x 性质1）x=x+x,0 x1 ； xxx+1,x-12）的正整数，要求每对相邻的两位数按十进制至少有一个数字相同。求 N 最小值7.找出连续 21 个整数，使其每个数至少有一个素因子（2p13），且每个素因子至少是其中一个数的素因子 8 解方程：x3 x 3 （第 20 届莫斯科数学竞赛题） 9 求方程 x 2 x x 的正实根。练习题1解不定方程 x +y +z =x y2222 22设 k 是给定的正整数，k2，求证：连续 4 个正整数的积不能是整数的 k 次幂3求证：不定方程(x2) x 2无正整数解2mn4求8 15 17 的全部正整数解xyz5试求所有的正整数 n，使x y z nx y z 有正整数解333222 55 5 1111 7.当 2 nN 时， n2 342n222 C 3D12A 0B 8、解方程：3x x 339.求证：对于任意 nN ，存在 n 个连续正整数，它们都不是素