概率论与数理统计第六章样本与抽样分布课件

1、Probability Theory and Mathematical Statistics概率论与数理统计Probability Theory and Mathema13 十月 20222第六章 样本与抽样分布 本章主要内容1 总体与个体2 直方图与经验分布函数3 统计量及其分布11 十月 20222第六章 样本与抽样分布 本章主要内容13 十月 20223 1.定义1：一个统计问题总有它明确的研究对象.一.总体与个体研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.总体 6.1 总体与个体11 十月 20223 1.定义1：一个统计问题总有它明确的13 十月 202

2、242. 有限总体和无限总体定义2：样本中所包含的个体数目n称为样本容量。注：当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它看成是无限总体.总体容量有限的成为有限总体总体容量无限的称为无限总体 6.1 总体与个体11 十月 202242. 有限总体和无限总体定义2：样本中13 十月 20225 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.某批灯泡的寿命该批灯泡寿命的全体就是总体国产轿车每公里的耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体 6.1 总体与个体11 十月 20225 然而在统计

3、研究中，人们13 十月 20226 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.统称总体X。 6.1 总体与个体注意11 十月 20226 由于每个个体的出现是随13 十月 20227 而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量) ，所谓总体的性质，无非

4、就是这些指标值的集体的性质. 6.1 总体与个体11 十月 20227 而概率分布正是刻划这种集体性质13 十月 20228 例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体寿命X可用一概率分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X或总体F(x) .F(x) 6.1 总体与个体11 十月 20228 例如:研究某批灯泡的寿命时13 十月 20229 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(

5、X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示. 统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布. 6.1 总体与个体11 十月 20229 类似地，在研究某地区中学生13 十月 202210 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.二. 样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5 6.1 总体与个体11 十月 202210 为推断总体分布及各种13 十月 202211 但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,xn)，称为

6、样本的一次观察值，简称样本值 . 样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机变量. 6.1 总体与个体11 十月 202211 但是，一旦取定一组样本13 十月 2022122. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布. 6.1 总体与个体11 十月 2022122. 独立性： X1,X2,Xn13 十月 202213 由简单

7、随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为三.样本的概率分布 6.1 总体与个体11 十月 202213 由简单随机抽样得到的13 十月 202214今后，若不特别说明，就指简单随机样本. 若连续总体的概率密度函数为f (x) ，则其样本的联合概率密度函数为 6.1 总体与个体 离散时，概率函数是指分布率p(x),则其样本的联合分布率为注意11 十月 202214今后，若不特别说明，就指简单随机样本13 十月 202215 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值

8、. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值.四. 总体、样本、样本值的关系 6.1 总体与个体11 十月 202215 事实上我们抽样后得到13 十月 202216总体（理论分布） ？ 样本 样本值 统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁 6.1 总体与个体11 十月 202216总体（理论分布）样本 样本值 13 十月 202217例1-1：已知总体X服从参数为 的泊松

9、分布，求样本的联合分布律 6.1 总体与个体11 十月 202217例1-1：已知总体X服从参数为 13 十月 202218 6.1 总体与个体11 十月 202218 6.1 总体与个体13 十月 202219一、直方图（自学） 当取得一组样本值后，一般先根据样本的取值作出频率直方图对总体的分布情况作一个几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的分析推断直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。 6.2 直方图与经验分布函数1

10、1 十月 202219一、直方图（自学） 当取得一组13 十月 202220 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202220 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 202221 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202221 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 202222 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202222 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 202223例2-1 某工厂用自动包装机包装产品，为了考察每袋产品重量的波动情况，选取100袋产品测得其重量如下：(单位：kg)，根据测得的数据作出频率直方图97.894.698.9100.999.8102.79

11、7.9 98.7 97.195.599.0101.199.6102.997.795.7 99.3 102.199.5101.299.9103.198.295.899.1 100.3 98.8101.3100.0103.898.196.099.0101.4 99.9 98.9100.198.396.399.2101.5100.2104.5 99.8 100.998.596.699.3101.4100.397.898.4 102.2 99.896.799.4101.1100.496.999.5101.0 98.8 102.4100.198.597.099.1101.2100.298.0 100.7

12、 99.797.299.2101.6100.298.197.499.0 98.6 100.1101.6100.498.197.599.4101.8100.5 102.3 100.6102.0100.298.999.7100.6102.1 100.8 99.6 98.8100.4 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202223例2-1 某工厂用自动包装机包装13 十月 202224 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202224 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 202225 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202225 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 2022

13、26 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202226 6.2 直方图与经验分布函数13 十月 202227二、经验分布函数 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202227二、经验分布函数 6.2 直方图与13 十月 202228为由x1, x2, , xn确定的经验分布函数.定义6设x1, x2, xn是总体X的样本值，称函数 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202228为由x1, x2, , xn确定13 十月 202229经验分布函数与理论分布函数的关系 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202229经验分布函数与理论分布函数的关系 13 十月 202230因此，

14、我们可以用来近似 这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据 6.2 直方图与经验分布函数 例2-2 从某总体中抽取容量为5的样本，其观测值依次为 -1.2，2.6，1.8，-0.7，1.8求经验分布函数，并画出的图形解 将数据由小到大排列得：-1.2，-0.7，1.8，1.8，2.611 十月 202230因此，我们可以用来近似 这也是利用13 十月 202231则经验分布函数为： 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202231则经验分布函数为： 6.2 直方图13 十月 202232的图形见下图 6.2 直方图与经验分布函数11 十月 202232的图形见下图 6.2 直方图与经

15、13 十月 202233 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.一、样本统计量定义； 设 x1, x2, , xn 为取自某总体的样本，若样本函数T = g(x1, x2, , xn)中不含有任何未知参数。则称T 为统计量。它是完全由样本决定的量.统计量的分布称为抽样分布。 6.3 统计量及其分布11 十月 202233 由样本值去推断总体情况，需13 十月 202234 为什么要引进统计量？为什么统计量中不能含有未知参数？ 答:引进统计量的目的是为了将杂乱无序的样本值归结为一个便于进行统计推断和研究分析的形式，

16、集中样本所含信息，使之更易揭示问题实质，从而解决问题。 如果统计量中仍含有未知参数，就无法依靠样本观测值求出未知参数的估计值，因而失去利用统计量估计未知参数的意义，这是违背我们引进统计量的初衷的。 6.3 统计量及其分布11 十月 202234 为什么要引进统计量？为什13 十月 202235 6.3 统计量及其分布11 十月 202235 6.3 统计量及其分布13 十月 202236 几个常见统计量样本均值样本方差它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息样本标准差 6.3 统计量及其分布11 十月 202236 几个常见统计量样本均值样本方13 十月 202237样本k阶原点矩样本k阶

17、中心矩 k=1,2,它反映了总体k 阶矩的信息它反映了总体k 阶中心矩的信息 6.3 统计量及其分布11 十月 202237样本k阶原点矩样本k阶中心矩 k13 十月 202238 6.3 统计量及其分布11 十月 202238 6.3 统计量及其分布13 十月 202239 上述五种统计量可统称为矩统计量，简称样本矩，他们都是样本的显函数，它们的观测值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶(原点)矩、样本k阶中心矩 6.3 统计量及其分布11 十月 202239 上述五种统计量可统称为矩13 十月 202240顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成 6.3 统计量及其分

18、布11 十月 202240顺序统计量 6.3 统计量及其分13 十月 202241二、统计量的分布 统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” . 6.3 统计量及其分布11 十月 202241二、统计量的分布 统计量13 十月 202242 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.抽样分布精确抽样分布渐近分布（小样本问题中使用）（大样本问题中使用) 6.3 统计量及其分布11 十月 202242 抽样分

19、布就是通常的随机13 十月 202243记为分布1、定义: 设 相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布. 6.3 统计量及其分布11 十月 202243记为分布1、定义: 设 13 十月 202244 卡方分布是由英国统计学家Karl Pearson(1857-1936)于1900年提出来的。 6.3 统计量及其分布11 十月 202244 卡方分布是由英国统计学家Kar13 十月 202245 自由度(degree of freedom, df)在数学中是指能够自由取值的随机变量的个数，如有3个变量x

20、、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。 6.3 统计量及其分布11 十月 202245 自由度(degree 13 十月 202246分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数 通过积分 6.3 统计量及其分布11 十月 202246分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数13 十月 202247该密度函数的图像是一只取非负值的偏态分布 6.3 统计量及其分布11 十月 202247该密度函数

21、的图像是一只取非负值的偏态13 十月 202248性质1(此性质可以推广到多个随机变量的情形) 6.3 统计量及其分布11 十月 202248性质1(此性质可以推广到多个随机变量13 十月 202249性质2证明事实上，因 ，故 6.3 统计量及其分布11 十月 202249性质2证明，故 6.3 统计量及其13 十月 202250 6.3 统计量及其分布11 十月 202250 6.3 统计量及其分布13 十月 202251P304附表5= 0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.1085.3856.6267.

22、8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.53519.02320.4

23、8321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267分布表 6.3 统计量及其分布11 十月 202251P304附表5= 0.250.10013 十月 202252=0.9950.990.9750

24、.950.900.75123456789101112131415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672

25、.7333.3253.9404.5755.2265.8926.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912？=3.816P304附表5分布表 6.3 统计量及其分布11 十月 202252=0.9950.990.9750.913 十月 202253=0.250.100.050.0250.01

26、0.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33

27、742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67

28、255.00356.328?=36.741分布表 6.3 统计量及其分布P304附表511 十月 202253=50.02513 十月 202254应用中心极限定理可得，若 ，则当n充分大时，若的分布近似标准正态分布.则可以求得， E(X)=n, D(X)=2n若 6.3 统计量及其分布11 十月 202254应用中心极限定理可得，若 13 十月 202255t的密度函数为：记为tt(n).所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.2、t 分布 定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量)(2nc 6.3 统计量及其分布11 十月 202255t的密度函数为：记为tt(n)

29、.所13 十月 202256 6.3 统计量及其分布 学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉戈塞（William Sealy Gosset，1876.6.131937.10.16）于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了Student这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德费雪（Sir Ronald Aylmer Fisher, FRS，1890.2.171962.7.29）的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。（/view/1332600.htm）11 十月 202256 6.3 统计量及其分布 学13 十月 20225

30、7具有自由度为n的t分布的随机变量t的数学期望和方差为: E(t)=0; D(t)=n / (n-2) , (当n 2时) 当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形. t分布的密度函数关于x=0对称，且 6.3 统计量及其分布11 十月 202257具有自由度为n的t分布的随机变量t的13 十月 202258当n充分大时, 其图形类似于标准正态变量概率密度的图形. 6.3 统计量及其分布11 十月 202258当n充分大时, 其图形类似于标准正态13 十月 202259性质1 设 , 则当n2 时有性质2 设 ， 是t的分布密度，则此性质说明，当 时，t分布的极限分布是标准正态分布

31、。t 分布具有下列性质： 6.3 统计量及其分布11 十月 202259性质1 设 13 十月 202260由分布的对称性知 6.3 统计量及其分布11 十月 202260由分布的对称性知 6.3 统计量及13 十月 202261 =0.250.100.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.

32、41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.364

33、9 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208分布表 6.3 统计量及其分布P303附表411 十月 202261 =50.0213 十月 202262P303附表4 =0.250.100.050.0250.010.0051234567891011121314151

34、61.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3

35、027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.

36、0123 2.9768 2.9467 2.9208?=2.1315分布表 6.3 统计量及其分布11 十月 202262P303附表4 =0.250.10013 十月 202263由定义可见，3、F分布定义: 设 X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 FF(n1,n2) . 6.3 统计量及其分布11 十月 202263由定义可见，3、F分布定义: 13 十月 202264 为了彰显英国统计学家費雪对统计的贡献，美国统计学家斯內德克（George Snedecor,1881-1974）提出以費雪名字开头的字母，当作 分布的名

37、称。 6.3 统计量及其分布11 十月 202264 为了彰显英国统计学家13 十月 202265即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.X的数学期望为:若n22若XF(n1,n2)， X的概率密度为 6.3 统计量及其分布11 十月 202265即它的数学期望并不依赖于第一自由度n13 十月 202266(1)(2) 6.3 统计量及其分布11 十月 202266(1)(2) 6.3 统计量及其分13 十月 202267 6.3 统计量及其分布11 十月 202267 6.3 统计量及其分布13 十月 202268分布表 6.3 统计量及其分布n1n2123456789101161.4 19

38、9.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 218.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 310.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 47.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 56.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 65.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.

39、21 4.15 4.10 4.06 75.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 85.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 95.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 104.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 114.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 124.75 3.89 3.49 3.26 3.1

40、1 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 134.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 P305附表511 十月 202268分布表 6.3 统计量及其分布n113 十月 202269分布表 6.3 统计量及其分布n1n2123456789101161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 218.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 310.13 9.55 9.28 9.12

41、 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 47.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 56.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 65.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 75.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 85.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 95.12 4.26 3.8

42、6 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 104.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 114.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 124.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 134.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 P305附表511 十月 202269分布表 6.3 统计量及其分布n113 十月 202270 当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理. 这4个抽样分布定