高中 高二 数学 抛物线及其标准方程（第二课时）教学设计

1、.3.1抛物线及其标准方程（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)松岗中学 王杨一、教学目标1.知识与技能目标（1）利用抛物线的标准方程和定义来解决轨迹、弦长、最值等问题.（2）抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.2.数学素养培养目标（1）训练学生分析问题与解决问题的能力，训练学生方程同解变形、解方程和方程组的运算能力.（2）培养学生数形结合、转化与化归的思想方法.二、教学重难点1.教学重点（1）抛物线定义的应用与相关轨迹问题.（2）抛物线的弦长问题的分析求解方法.（3）抛物线最值问题的分析求解方法.2.教学难点综合运用数形结合、转化与化归的思想解决抛物线的有关问题.三

2、、教学过程1.复习回顾通过上一节课的学习，我们已经初步认识了抛物线，现在我们来回顾一下：问题1：抛物线的定义是什么？问题2：抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么，并说出对应的焦点坐标和准线方程？【活动预设】教师抛出问题，第一个问题学生齐答，第二个问题可以点选学生回答.【设计意图】通过复习回顾，强调抛物线的定义，有助于接下来的例题思路的生成。2.典例分析例1.设圆与圆外切，与直线相切，则圆心的轨迹为 【预设的答案】解法一：解：设圆心坐标为，依题意，显然，可得，化简，得；解法二：依题意，圆心的轨迹为到的距离与到直线的距离相等的点的轨迹，即焦点为，准线为的抛物线.则抛物线顶点为，所求抛物线方程为：

3、.【设计意图】本例题通过两种方法来解答，解法一是解决轨迹问题的常用思路，从通性通法角度来解决问题；解法二是通过观察，本题所求的轨迹恰好符合抛物线的定义，运用抛物线定义直接可求.变式训练1. 点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程.【预设的答案】解：由已知条件可知，点与点的距离等于它到直线的距离.根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点的抛物线. 因为焦点在轴的正半轴上，所以点的轨迹方程为【设计意图】本题作为例1的变式训练题，在题型设置与例题非常接近，在例题讲解后及时进行变式训练，可以起到良好的强化巩固作用。例2.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于两点,求线段的长.【预设的答案】

4、解：依题意，抛物线的焦点，准线方程.直线的方程为，代入抛物线方程，整理得，解得，分别代入直线方程得，即的坐标分别为解法二：将直线的方程为代入抛物线方程，整理得，设,则解法三：设,由抛物线定义可知，等于点到准线的距离即，同理【设计意图】本例题研究抛物线焦点弦长的求法，从两点距离公式的基本思路，到用韦达定理简化弦长公式的计算，再到抛物线焦半径的应用，随着解法的推进，对于抛物线定义的应用也逐渐深入。变式训练2.焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求这抛物线的标准方程.【预设的答案】解：设抛物线方程为:由方程组消去得：直线与抛物线有两个交点.即或设两交点坐标为,则又，即则解得或所求抛物线标准方程为或

5、【设计意图】本题作为例2的变式训练，同样围绕抛物线焦点弦长的问题，将条件和目标进行了调整，强化抛物线弦长的求法。例3.若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上一动点，则取得最小值时点的坐标是( )A(0，0) B(1，1) C(2，2) D(，1)【预设的答案】解：如图所示，设抛物线的点到准线的距离为由抛物线定义可知：显然当三点共线时，最小.，可设代入得故点的坐标为.【设计意图】线段和的最值问题，往往采用“化曲为直”的思想，本题利用抛物线的定义将焦半径与点到准线的距离进行灵活转换，也是解决抛物线有关最值问题的常见方法。变式训练3.已知抛物线，动弦的长为2，求中点纵坐标的最小值.【预设的答案】

6、解：设抛物线的弦的端点，中点，抛物线的焦点，准线.设到准线距离分别为.则,且根据抛物线定义，有在中，即M点纵坐标的最小值为.【设计意图】变式训练选取的最值问题，同样利用抛物线的定义将焦半径与点到准线的距离进行灵活转换，进一步巩固“转化与化归”的思想方法的运用。3.课堂小结本节课，我们对于上一节课学习的“抛物线及其标准方程”进行了进一步地探索，主要运用抛物线定义及有关性质解决了以下几个问题：（1）与抛物线有关的轨迹问题（2）抛物线的弦长问题（3）与抛物线有关的最值问题数学思想：数形结合的思想、转化与化归的思想【设计意图】通过课堂小结，整理本节课的主要内容，提炼解决问题的思想方法。四、课外作业1.已知抛物线上有一条长为6的动弦，则中点到轴的最短距离为（ ）A B C D2.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点,其中点在抛物线上，