【九年级数学讲义】9Q-4平面向量的线性运算(教师)

1、第4课 平面向量的线性运算教学目标：1.理解实数与向量相乘的意义，会画出向量a(a为已知非零向量，是已知的整数或分数或特殊的无理数2、3、5等2.会正确地进行向量的线性运算(含实数与向量的乘法)，知道向量的线性运算所满足的运算律.3.知道单位向量的含义，掌握平行向量定理，会把几何图形中的一个向量用与它平行的已知向量来表示，会用实数与向量相乘的意义判定两个向量平行.4.会把平面上的向量表示成两个已知的不平行向量的线性组合，由此知道平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行的非零向量的方向上分解，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量.5.能看懂利用向量的线性运算解决简单的平面几何问

2、题的实例，初步认识向量方法及其作用，激发学习向量的兴趣.复习回顾如果把一个三角形的边长扩大为原来的10倍，那么面积扩大为原来的100倍.两个相似三角形的面积比为1:2，它们的相似比是1:2已知ABCA1B1C1，且ABC与A1B两个相似三角形的面积比为16:25，它们的两条对应的角平分线的和为45，那么这两条角平分线分别为20、25.两个相似三角形的周长之比是3:5，它们的面积和为68cm，则较大的三角形面积为50cm.两个相似三角形的相似比为2:5，已知其中一个三角形的一条中线为10，那么另一个三角形对应的中线是4或25.如图，DE是ABC的中位线，AE、CD相交于点G，那么SACG:SBE

3、D如图，已知ABC，DEBC，AD:DB=2:3，则CADECABC=25，如图，梯形ABCD中，ADBC，O是对角线AC、BD的交点，SAOD=1，SBOC=16，则如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的点，BD与AE交于点F，BE:EC=1:2，则SAFD:S如图，已知ABC中，BD:DC=BE:EA=1:3，AD、CE交于点F，若SDEF=12，则S如图，已知ABC中，B=60，AEBC于点E，CDAB于点D，SBDE=5cm2，则S实数与向量相乘的意义设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka.如果k0，且a0，那么ka的长度ka=ka；ka的方向：当k0

4、时，ka与a同方向；当k0时如果k=0或a=0，那么可以理解为：符号定向，大小定模。即k的符号确定向量ka的方向与向量a的方向是相同或是相反；k的大小确定ka的模与a的模的倍数关系.基本练习：_4a_表示向量a与4的乘积，它_是_一个向量；(填“是”或“不是”向量4a与a的_方向_相同，向量4a的模是a的模的_向量-4a与4a的方向_相反_，模_向量a乘以_-1_，所得的积向量与a是互为相反的向量；向量-3a与13a_是_(填“是”或“不是”)平行向量，-3a的模是实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则mnm+nama基本练习：计算：平行向量定理如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数

5、m，使b=m基本练习：如果a+2b=0，那么a若是，虽然a与b是平行向量，但是ab无解；若不是，a与b是平行向量，ab=2.向量的线性运算向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.向量的加法、减法以及实数与向量相乘有类似于实数加法和乘法的运算律，这些运算可以组合起来；如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减运算.如果a、b是两个不平行的向量，x、y是实数，那么xa基本练习：ab已知：a、ab作图略。如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD的交点分别为G、H.设BC=a,DC=解：AG=23a向量的合

6、成和分解如果a、b是两个不平行的向量，c=ma+nb(m、n是实数)，那么向量c就是向量ma与nb的合成.用a、b的线性组合表示向量c，也是对向量c进行分解，这时，向量ma与n基础练习已知：如图，向量OA、OB作出向量a分别在OA、OB作出向量b在OA、精解名题如图，已知点D、E分别在ABC的边AB、AC上，DEBC，2AE=3EC，试用向量BC表示向量ED.DEBC DEBC2AE=3EC AEEC=3AEAC=35 DE=ED与BC方向相反 ED计算：72原式=1412a2-ac是非零向量，a与b不可能同时是零向量.根据平行向量定理，得ab.已知c是非零向量，如果2a那么a与b是否是平行向

7、量？已知ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，设DE=a，DF=E、F是BC、CA中点 EF=12ABAB=2已知平行四边形ABCD，点M、N分别在边DC和BC上，且DMDC=23,BNBC=1平行四边形ABCD AB=CD,ABDC;AD=BC,ADBC.DMDC=2AM=ADADBC，DMDC=23 AE=备选例题如图，已知E 、F为平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的两点，若AE=CF，求证：四边形EBFD为平行四边形.AE=CF且四点共线EA四边形ABCD是平行四边形AD=BC EA+四边形EBFD为平行四边形如图，在ABC中，G为重心.求证:GDG为重心=GB+BD

8、+GC+CE=GD+=a=计算:1=6a-2b-7=6=-解：原式点D、E分别在ABC的边BA、CA的延长线上，DEBC，ADAB=23，试用向量DEBC ADABADAB=2BC与DE反向 DE7a+5b-x=0775x解:如果c是非零向量，且a+b=2c，a-b解:a+bacb aAE=b+12aAFAEAFBFDF解：某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了102作出向量AB、BC2)AD=552)AD解：1)自我测试已知一个单位向量e，设a、b是非零向量，则下列结论中正确的是A.ae=aB. e已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果BC=5aA.BO=1C. BO=化简AC-BD+A.0B.ABC. DAD.在ABC中，DEBC，D、E分别在AB、AC上.