人教版-奇偶性1课件

1、1本课件主要使用工具为office2003，Mathtype5.0, 几何画板4.0, flashplayer10.0湖南学海文化传播有限责任公司1本课件主要使用工具为office2003，Mathtype2第六课时函数的奇偶性和周期性第二章 函 数2第六课时函数的奇偶性和周期性第二章 函 数31函数的奇偶性（1）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数，其图象关于对称.（2）如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象关于对称.f（-x）=f（x）y轴f（-x）=-f（x）原点31函数的奇偶性f（-x）=f（x）y

2、轴f（-x）=-42.函数的周期性设函数y=f（x）， xD，如果存在一个T，使得对任何xD，都有，则称函数f（x）为周期函数，T为y=f（x）的一个周期.如果在所有的周期中存在一个，那么这个叫做f（x）的最小正周期，简称周期.非零常数f（x+T）=f（x）最小正数最小正数42.函数的周期性非零常数f（x+T）=f（x）最小正数51.（2008福建卷）函数f（x）=x3+sinx+1（xR）,若f（a）=2,则f（-a）的值为（ ）A. 3B. 0C. -1D. -251.（2008福建卷）函数f（x）=6 方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=2,所以a3+sina=1,所以f（-

3、a）=（-a）3+sin（-a）+1=-（a3+sina）+1=-1+1=0.方法2：易知h（x）=f（x）-1为奇函数，所以f（-a）=h（-a）+1=-h（a）+1=-f（a）+2=0,故选B.答案：B6 方法1：因为f（a）=2,即a3+sina+1=72.偶函数f（x）在（-,0上是增函数，若f（a）f（2），则a的取值范围是（ ）A. （-,2 B. -2,+）C. -2,2D. （-,-22,+） 因为f（x）为偶函数，所以f（-2）=f（2）.而f（x）在（-,0上递增，且f（a）f（2），所以a-2或a2,故选D.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt172.偶函数f（x）

4、在（-,0上是增函数，若f（a）83.已知函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）.当x1,3时，f（x）=，则f（-6）=（ ）A. 1B. C. -1 D. 由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期是4，所以f（-6）=f（-2）=f（2）=,故选D.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt183.已知函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）94.偶函数f（x）在（0,+）上是减函数，若f（）0f（），则方程f（x）=0的根的个数是. 数形结合，易知方程f（x）=0在区间（,）,（,）上各有一个根，故原方程共有2个根.人教版-奇偶性ppt1

5、人教版-奇偶性ppt194.偶函数f（x）在（0,+）上是减函数，若f（）105.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=. 取x=-1，则f（1）=f（-1）+f（2）= -f（1）+f（2），得f（2）=2f（1）.因为f（1）=，所以f（2）=1.故f（5）=f（3+2）=f（3）+f（2）=f（1+2）+f（2）=f（1）+2f（2）=.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1105.设函数f（x）为R上的奇函数，f（1）=，f（111.函数的奇偶性和周期性（1）函数f（x）,g（x）在区间-a,a上都是奇函数，设h（x）=f（x）+

6、g（x）,v（x）=f（x）g（x），判断h（x）,v（x）的奇偶性，h（x）是；v（x）是.奇函数偶函数人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1111.函数的奇偶性和周期性奇函数偶函数人教版-奇偶性p12（2）给出下列函数：（）y=lg|x|；（）y=xsinx；（）y=xcosx；（）y=2x+2-x，其中偶函数的个数是.（3）已知函数f（x）=cos2x，若对于正数b，有f（2b+x）=f（x），则b的最小值为.（4）分析函数f（x）=x2+的奇偶性：.3若a=1，则是偶函数，若a1，则是非奇非偶函数人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt112（2）给出下列函数：（）y=lg|x

7、|；（）y=x132.函数的奇偶性与周期性的应用（1）已知f（x）=x3+bsinx+1（b0）.若f（-3）=5，则f（3）=.（2）已知f（x）=，若f（x）+f（-x）=0，则a=.-3人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1132.函数的奇偶性与周期性的应用-3人教版-奇偶性pp14（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=.若f（1）=，则f（2011）=.（4）函数f（x）=ax2+bx+3a+b是区间a-1,2a上的偶函数，则a=，b=.20110人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt114（3）已知R上的函数f（x）满足f（x+2）=.153.抽象函数的奇偶性与周期

8、性（1）已知函数y=f（x+2）是奇函数，若f（5）=3，则f（-1）=.（2）已知f（x）是R上的奇函数，下列判断正确的是.（）f（x）f（-x）0；（）f（x）f（-x）0；（）f（x）-f（-x）0；（）f（x）-f（-x）0.-3（）人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1153.抽象函数的奇偶性与周期性-3（）人教版-奇偶性16（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）具有奇偶性，是奇函数还是偶函数.（4）已知定义在R上的函数f（x），对正数b，总有f（x-b）=f（x+b）成立，则f（x）是周期函数，周期T=.（5）函

9、数f（x）满足f（x+1）=，则f（x）是周期函数，周期T=.奇函数2b2人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt116（3）已知f（x）是R上的函数，若对任意的实数x、y，17题型1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt117题型1 判断函数的奇偶性人教版-奇偶性ppt1人教版18（1）由0，得-1x1,故f（x）的定义域关于原点对称.又f（-x）=-f（x），故原函数是奇函数.（2）由0，得-1x0，得-1x0时，f（x）=x2+x，则当x0,故f（-x）=x2-x=f（x）;当x0时，-x0或x0，得-1x0，得-1x0，所以a=.方法2：

10、因为奇函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有定义，则f（0）=0,即，则2a2=1,得a=.【评注】抓住奇函数的定义或特殊性质，是解决此类问题的重要法宝.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt125因为a0，所以a=.人教版-奇偶性ppt1人教版-26已知函数长方形和部（a,b,cZ）是奇函数，又f（1）=2，f（2）3，且f（x）在1，+）上递增，求a,b,c的值. 由f（-x）=-f（x），得.比较等式两边的系数知c=0，所以.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt126已知函数长方形和部（a,b,cZ）是奇27因为f（1）=2，所以，即2b=a+1.又因为f（2）3，f（x）在

11、1，+）上递增，所以2f（2）3，即23.联立解得a2.因为aZ，所以a=1，则b=1.综上所述，a=b=1,c=0.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt127因为f（1）=2，所以，即2b=a+1.又28题型3函数的周期性 偶函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当x-3,-2时，f（x）=2x，求f（1165）的值. 因为f（x+6）=f3+（x+3）=-f（x+3）=f（x），所以函数f（x）的周期T=6.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt128题型3函数的周期性人教版-奇偶性ppt1人教版-奇29又1165=196+25，所以f（1165）=f（25）=f（-25）=

12、2（-25）=-5.【评注】求周期函数的函数值，要根据函数的周期性，将自变量的范围转化到已知区间上，利用已知区间上函数的表达式求函数的值.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt129又1165=196+25，人教版-奇偶性ppt1人30已知函数f（x）（xR）的图象经过原点，且f（x+2）=f（x+5），求f（2010）的值. 令u=x+2，得x=u-2，则f（u）=f（u+3），所以函数f（x）的周期为3.依题意，f（0）=0，且2010=6703，所以f（2010）=f（0）=0.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt130已知函数f（x）（xR）的图象经过原点，且31 已知f（x

13、）是定义在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x）,f（x+2）=.（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期;（2）判断f（x）的奇偶性. （1）f（x）是周期函数.因为f（x+4）=f2+（x+2）=国家的共和=f（x），人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt131 已知f（x）是定义在R上的函数，f（2+x）32故其周期为4.（2）由f（2+x）=-f（2-x），令u=2-x,则x=2-u,故f（u）=-f（4-u）,即f（x）=-f（4-x）.用-x代x，得f（-x）=-f（x+4）.结合（1）知，f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数.人教版-奇偶性ppt1人教版

14、-奇偶性ppt132故其周期为4.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性p33【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性是紧密联系在一起的，如偶函数具有对称轴x=a（a0），则一定是周期函数.因为图象关于x=a（a0）对称，则f（a-x）=f（a+x）成立，所以f（2a+x）=fa+（a+x）=fa-（a+x）=f（-x）=f（x），所以周期为2a.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt133【评注】在抽象函数讨论中，函数的奇偶性、周期性与函数34 f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+3）=f（3-x）.若x（0,3）时，其解析式为y=x2+1,求x（-6,-3）

15、时，函数f（x）的解析式. 因为f（x）在R上是奇函数, 所以f（6+x）=f3+（3+x）=f3-（3+x）=f（-x）=-f（x），所以f（x）=-f（x+6）.当x（-6,-3）时，x+6（0,3），所以f（x+6）=（x+6）2+1，则f（x）=-x2-12x-37（x（-6,-3）.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt134 f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+35题型4 函数性质的综合应用 已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+2）=-f（x）.（1）求证：f（x）是周期函数；（2）若f（x）为奇函数，且当0 x1时，f（x）=x.求使f（x）=1（x0,2011）的

16、所有x的个数.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt135题型4 函数性质的综合应用人教版-奇偶性ppt1人教36（1）证明：因为f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=-f（x+2）=-f（x）=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数.（2）当0 x1时，f（x）=x.设-1x0，则0-x1，所以f（-x）=-x.因为f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=x.故f（x）=x（-1x1）.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt136（1）证明：因为f（x+2）=-f（x37又设1x3，则-1x-21，所以f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=2-x.所以由f（x

17、）=1，解得x=1.因为f（x）是以4为周期的周期函数，所以使f（x）=1的x满足x=4n+1（nZ）.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt137又设1x3，则-1x-21，所以f（x）=f38令04n+12011，则.又因为nZ，所以0n502（nZ），所以在0，2011上共有503个x使f（x）=1.【评注】判断函数的周期只需证明f（x+T）=f（x）（T0），便可证明函数是周期函数.函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，合理地进行转化是解决这类问题的关键.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt138令04n+12011，则.人教版-39已知梦里不知身是客是奇函数.（1）求k的

18、值和函数的定义域；（2）由（1）判断f（x）在（1,+）上的单调性.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt139已知梦里不知身是客是奇函数.人教版40（1）由f（x）+f（-x）=0，得,则k2=1.依题意，k1，所以k=-1.于是由，得x1.故函数f（x）的定义域为（-,-1）（1,+）.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt140（1）由f（x）+f（-x）=0，人教版-奇偶性41（2）设x1,x2（1,+）,x10,x2-10,所以u（x1）-u（x2）0,即u（x）在（1,+）上是减函数.由于y=logau（a1）在（0,+）是增函数，故函数f（x）在（1,+）上是减函数.人教

19、版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt141（2）设x1,x2（1,+）,x10），如果函数y=f（x+a）（a0）为偶函数，则用-x代x得f（a-x）=f（a+x），于是函数有对称轴x=a.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（x）的图象，该函数的图象关于y轴对称；人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1464.函数的奇偶性与周期性人教版-奇偶性ppt1人教版47如果函数y=f（x+a）（a0）为奇函数，则用-x代x得f（a-x）=-f（a+x），于是函数有对称点（a,0）.事实上，将函数y=f（x+a）的图象向左平移a个单位长度，可得到函数g=f（

20、x）的图象，该函数的图象关于原点对称.人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt147如果函数y=f（x+a）（a0）为奇函数，则用-x481.（2008辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-a）为偶函数，则a=（）A. -2B. -1C. 1 D. 2 由f（-1）=f（1），得0=2（1-a），所以a=1.答案：C人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt1481.（2008辽宁卷）若函数y=（x+1）（x-492.（2009山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x）,且在区间0,2上是增函数,则（）A.f（-25）f（11）f（80）B.f（80）f（11）f（-25）C.f（11）f（80）f（-25）D.f（-25）f（80）f（0）=0,所以-f（1）0,即f（-25）f（80）f（11）,故选D.答案：D人教版-奇偶性ppt1人教版-奇偶性ppt150 因为f（x）满足f（x-4）=-f（x）,所以513.（2009江西卷）已知函数f（x）是（-,+）上的偶函数，若对于x0，都有f（x+2）=f（x），且当x0，2）时，f（x）=log2（x+