理论力学汇总课件

1、理 论 力 学理 论 力 学理论力学第十二章 动量矩定理理论力学第十二章 动量矩定理质点质点系动量定理：动量的改变外力(外力系主矢)质心运动定理：质心的运动外力(外力系主矢)第十二章 动量矩定理动量定理 建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面（平动效应）。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。质点动量定理：动量的改变外力(外力系主矢)质心运动定理：质 动量矩定理是建立质点和质点系相对于某固定点(或固定轴)的动量矩的改变与外力对同一固定点(或固定轴)之矩两者之间的关系。第十二章 动量矩定理动量矩定理: 则是从另一个

2、侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律（转动效应）。 动量矩定理是建立质点和质点系相对于某固定点(或固定轴第十二章 动量矩定理12-1 质点和质点系的动量矩12-2 动量矩定理12-3 刚体绕定轴的转动微分方程12-4 刚体对轴的转动惯量12-5 刚体的平面运动微分方程第十二章 动量矩定理12-1 质点和质点系的动量矩【本章重点内容】第十二章 动量矩定理质点和质点系的动量矩计算定轴转动的转动惯量计算质点和质点系的动量矩定理动量矩守恒定律刚体绕定轴的转动微分方程【本章重点内容】第十二章 动量矩定理质点和质点系的动量矩计12-1 质点和质点系的动量矩第十二章 动量矩定理12-1 质点和质

3、点系的动量矩第十二章 动量矩定理一、质点的动量矩对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩。AB 单位: kgm2/s垂直于矢径与动量形成的平面；大小:方向:矢量符合右手法则；指向:yxzO12-1 质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩。AyxzOABAB 对z轴的动量矩：质点动量在Oxy平面内的投影对z轴之矩。单位:kgm2/s正负:迎着z轴看，逆时针为 正，顺时针为负。代数量质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系:12-1 质点和质点系的动量矩（12-2）一、质点的动量矩yxzOABAB 对z轴的动量矩：质点动量在Oxy二、质点系的动量矩对点的动

4、量矩对轴的动量矩1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。12-1 质点和质点系的动量矩（12-3）（12-4）（12-4）刚体平动可将全部质量集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。二、质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩1、刚体平移 ABz2、刚体绕定轴转动转动惯量12-1 质点和质点系的动量矩二、质点系的动量矩（12-6）定轴转动动量矩ABz2、刚体绕定轴转动转动惯量12-1 质点和质点系的动12-2 动量矩定理第十二章 动量矩定理12-2 动量矩定理第十二章 动量矩定理一、质点的动量矩定理设O为定点，质点对定点O 的动量矩为作用

5、力F 对定点O 的矩为zyxO12-2 动量矩定理（12-7）一、质点的动量矩定理设O为定点，质点对定点O 的动量矩为作用质点的动量矩定理： 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩12-2 动量矩定理（12-7）（12-8）一、质点的动量矩定理质点的动量矩定理：质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于二、质点系的动量矩定理= 0由质点的动量矩定理得：作用于第i个质点的力有内力Fii和外力Fie12-2 动量矩定理（12-9）二、质点系的动量矩定理= 0由质点的动量矩定理得：作用于第i内力不改变质点系的动量矩质

6、点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。质点系动量矩定理： 质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。12-2 动量矩定理（12-9）二、质点系的动量矩定理（12-10）内力不改变质点系的动量矩质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，解： 取小车与鼓轮为 研究对象,画受力图 运动分析 系统对O轴的动量矩系统外力对O轴的力矩例12-1 高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径R,质量m1,轮绕O轴转动;小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度

7、a。12-2 动量矩定理解： 取小车与鼓轮为 运动分析 系统对O轴的动量矩系统 由质点系对O轴的动量矩定理得12-2 动量矩定理例12-1 已知轮半径R,质量m1,轮绕O轴转动;小车和矿石总质量为m2，鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度a。 由质点系对O轴的动量矩定理得12-2 动量矩定理例12三、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律： 如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。12-2 动量矩定理三、动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律： 如

8、果作用于质点质点系动量矩守恒定律： 如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。 如果作用于质点系的外力对某定轴z之矩的代数和恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。三、动量矩守恒定律12-2 动量矩定理质点系动量矩守恒定律： 如果作用于质点系的外力对某定轴人造卫星绕地球运动恒矢量O质点对点O的动量矩的大小不变r 和mv始终在同一平面内， 方向始终不变 人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。12-2 动量矩定理三、动量矩守恒定律人造卫星绕地球运动恒矢量O质点对点O的动量矩的大小不变r 和例12-2 滑轮半径为R,质量不计,猴子,重物质量

9、均为m,初始静止。当猴子以速度u相对绳向上爬时，重物如何运动（速度）解： 取系统为研究对象,画受力图 运动分析 外力对O轴的力矩 由质点系动量矩守恒定律得设重物速度为v猴子速度O12-2 动量矩定理例12-2 滑轮半径为R,质量不计,猴子,重物质量均为m,初12-3 刚体绕定轴的转动微分方程第十二章 动量矩定理12-3 刚体绕定轴的转动微分方程第十二章 动量矩定理主动力:约束力:刚体对于z轴的转动惯量为Jz定轴转动刚体对转轴的动量矩z由动量矩定理 得12-3 刚体绕定轴的转动微分方程一、刚体绕定轴转动的微分方程（12-11）主动力:约束力:刚体对于z轴的转动惯量为Jz定轴转动刚体对转刚体绕定轴

10、的转动微分方程转动惯量 刚体转动时惯性的度量质点的运动微分方程 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。12-3 刚体绕定轴的转动微分方程一、刚体绕定轴转动的微分方程形式相同刚体绕定轴的转动微分方程转动惯量 刚体转动时惯性的度量质1）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化；2）如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动； 如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动；3）在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转惯量越小，转动状态变化越大。这就是说，刚体转动惯量的大

11、小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量是刚体转动时惯性的度量把刚体的转动微分方程与质点的运动微分方程加以对照: 可见它们是相似的，因此求解问题的方法也是相似的。12-3 刚体绕定轴的转动微分方程二、刚体绕定轴转动的分析1）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化；可例12-3 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求微小摆动的周期。解： 取复摆为研究对象,画受力图 由刚体转动微分方程得OC小扰动时，通解线性方程标准非线性方程12-3 刚体绕定轴的转动微分方程例12-3 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对固有圆频率：（2时间内摆

12、动次数）固有频率：（单位时间内摆动次数）初相位：由初始条件确定周期：12-3 刚体绕定轴的转动微分方程例12-3 复摆质量为m ,C为其质心, OC=l , 摆对悬挂点O的转动惯量为JO,求微小摆动的周期。固有圆频率：（2时间内摆动次数）固有频率：（单位时间内摆动例12-4 飞轮对O轴的转动惯量为JO,以角速度0绕O轴转动。制动时,闸块给轮以正压力FN 。已知闸块与轮间滑动摩擦系数为f ,轮的半径,忽略轴摩擦。求制动所需的时间。解： 取飞轮为研究对象,画受力图 由刚体转动微分方程得 积分，由题知确定积分上下限O12-3 刚体绕定轴的转动微分方程例12-4 飞轮对O轴的转动惯量为JO,以角速度0

13、绕O轴转解: 分别以轴、（带轮）为 研究对象,画受力图例12-5 图示传动轴系,轴,的转动惯量为J,J,传动比为i12=R2/R1。轴上作用主动力矩M1,轴上有阻力矩M2。不计摩擦,求轴的角加速度。 运动分析12-3 刚体绕定轴的转动微分方程解: 分别以轴、（带轮）为例12-5 图示传动轴系,轴 由刚体转动微分方程得12-3 刚体绕定轴的转动微分方程例12-5 已知轴,的转动惯量为J,J,传动比为i12=R2/R1。轴上主动力矩M1,轴上阻力矩M2。求轴的角加速度。 由刚体转动微分方程得12-3 刚体绕定轴的转动微分12-4 刚体对轴的转动惯量第十二章 动量矩定理12-4 刚体对轴的转动惯量第

14、十二章 动量矩定理( kgm2 )1、均质细直杆对一端的转动惯量 刚体对轴的转动惯量一、简单匀质几何形体的转动惯量dxxlxzO12-4 刚体对轴的转动惯量（12-12）设杆长为l，单位长度的质量为mi，杆的质量为mz轴的转动惯量为（12-13）( kgm2 )1、均质细直杆对一端的转动惯量 刚体对轴的2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量3、均质圆板对中心轴的转动惯量RzOmiRzOdriri12-4 刚体对轴的转动惯量一、简单匀质几何形体的转动惯量（12-14）（12-15）2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量3、均质圆板对中心轴的转动惯细直杆:均质圆环:均质圆板:二、回转半径（惯性半径） 12-4

15、 刚体对轴的转动惯量（12-16）细直杆:均质圆环:均质圆板:二、回转半径（惯性半径） 12zc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；d z轴与zc 轴之间的距离。 刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。三、平行轴定理 12-4 刚体对轴的转动惯量（12-18）zc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；d z轴与zc 证明:xzy,yxzOdO, Cmi12-4 刚体对轴的转动惯量三、平行轴定理 证明:xzy,yxzOdO, Cmi12-4 刚体例12-6 质量为m ,长为l的均质细直杆,已知JzA =ml2/3,求此杆对于垂直于杆轴且

16、过B和质心C的轴的转动惯量。解：由平行轴定理BAC12-4 刚体对轴的转动惯量例12-6 质量为m ,长为l的均质细直杆,已知JzA =m解：例12-7 钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组成,杆长为l ,圆盘直径为d。求摆对O轴的转动惯量。OC12-4 刚体对轴的转动惯量解：例12-7 钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为m2的均质例12-8 质量为m的均质空心圆柱体外径为R1 , 内径为R2 ,求对于中心轴z的转动惯量。解：12-4 刚体对轴的转动惯量例12-8 质量为m的均质空心圆柱体外径为R1 , 内径为R12-5 刚体的平面运动微分方程第十二章 动量矩定理12-5 刚体的

17、平面运动微分方程第十二章 动量矩定理yxzCOyxz 质点系相对于某一点的动量矩，一般是指质点系在绝对运动中对该点的动量矩，即按绝对速度计算的动量矩。12-5 刚体的平面运动微分方程一、质点系相对于质心的动量矩 以质心为基点的平移坐标系中，以相对速度计算对质心的动量矩，和在绝对坐标系中以绝对速度计算对质心的动量矩，其结果相同。（12-21）（12-20）yxzCOyxz 质点系相对于某一点的动量矩，一yxzCOyxz则质点系对O点的动量矩为 12-5 刚体的平面运动微分方程二、质点系对任意点的动量矩 质点mi对任意点O的矢径绝对速度为（12-22）yxzCOyxz则质点系对O点的动量矩为 12

18、-5 三、质点系相对于质心的动量矩定理yxzCOyxz 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。12-5 刚体的平面运动微分方程（12-23）三、质点系相对于质心的动量矩定理yxzCOyxz yxCOyx刚体平面运动:随质心的平动 + 绕质心的转动:随基点的平动 + 绕基点的转动运动学动力学随质心的平动:绕质心的转动:质心运动定理相对于质心的动量矩定理刚体相对于质心的动量矩12-5 刚体的平面运动微分方程四、刚体平面运动微分方程（12-23）yxCOyx刚体平面运动:随质心的平动 + 绕质心的转动刚体的平面运动微分方程12-5 刚体的平面运动微分方程四、刚体平面运动微分方程（12-25）刚体平面运动微分方程的坐标投影式刚体的平面运动微分方程12-5 刚体的平面运动微分方程四、刚体的平面运动微分方程12-5 刚体的平面运动微分方程四、刚体平面运动微分方程（12-25）刚体