专题高中函数值域求法讲义与练习

1、优选文档优选文档PAGEPAGE27优选文档PAGEv1.0可编写可更正专题求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的看法和常有函数的值域-1-四、求函数值域（最值）的常用方法-2-.直接法-2-配方法-2-换元法-3-基本不等式法-4-函数的单调性（导数）法-6-数形结合法-7-函数的有界性法-10-分别常数法-10-三角函数中的值域问题-12-五、高考真题汇编-13-三、值域的看法和常有函数的值域1、定义：函数值y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的会集）。函数的值域取决于定义域和对应法规，不论采用什么方法球函数的值域均应试虑其定义域.2、常有函数的值域：一次函数ykxbk0的值域为R.二

2、次函数yax2bxca0，当a0时的值域为4acb2,，当a0时的值域为4a4acb2.，4a反比率函数ykk0的值域为yRy0.x指数函数yaxa0且a1的值域为yy0.对数函数ylogaxa0且a1的值域为R.正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为R.-1-专题函数的值域的求解第-1-页共26页v1.0可编写可更正四、求函数值域（最值）的常用方法.直接法从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观察看，准确判断函数值域的方法。例：求函数y2x，x2,2的值域。1,44例：求函数y2x25x6的值域。,738例求函数y16x2的值域。解析：016

3、x216，016x24故所求函数的值域为y0，4。练习1、求函数2、求函数yx1x1,x1的值域。2,yx26x10的值域。1,3、求函数yx1的值域。4、（2013重庆理）y3aa66a3的最大值为()9C.332B.D.22【答案】B配方法关于形如yax2bxca0或F2xafxbfxca0类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数yx24x2（x1,1）的值域。解：yx24x2(x2)26，-2-专题函数的值域的求解第-2-页共26页v1.0可编写可更正x1,1，x23,1，1(x2)293(x2)265，3y5函数yx24x2（x1,1）的值域为3,5。例2：求函数的值域：yx

4、26x5解：设x26x50，则原函数可化为：y.又因为x26x5x324，因此04，故，0,2，因此，yx26x5的4值域为0,2.换元法利用代数换元，将所给函数变换成易求值域的函数，形如y1的函数，令fxt；fx形如yaxbcxd(a,b,c,d均为常数,ac0)的函数，令cxdt；形如含a2x2的构造的函数，可利用三角代换，令xacos,0,，或令xasin,.2例1.求以下一元二次函数的值域：(1)yx42x23,;xR(2)y4x2x13,x1,2;(3)ycos2x2sinx4.解析：例(4)令tx2,xR,t0.原函数yt22t3,(t0)又对称轴方程t10,),y2.即原函数的值

5、域为：y|y2;(5)令t2x,x1,2,t2,4.原函数yt22t3,t2,4.与题（3）同理，对称轴t12,4,该函数值域为：y|3y11;-3-专题函数的值域的求解第-3-页共26页v1.0可编写可更正(6)原函数变形为y(1sin2x)2sinx4sin2x2sinx3.令tsinx1,1,原函数yt22t3,t1,1.与题（）近似，对称轴t11,1,该函数值域为：y|2y6.2例：求函数的值域：yx41x.解：设t1x0,则x1t2.因此原函数可化为y1t24t2t25t0，因此y5.因此原函数的值域为,5.练习（1）求函数y2x12x的值域。（2）求函数的值域。答案（1）令t12x

6、（t0），则x1t2，yt2t1(t1)2522413时，ymax5当t，即x4，无最小值。28,5。函数y2x12x的值域为(4（2）令，则，（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，因此2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：基本不等式法利用ab2ab求某些函数值域（或最值），应满足三个条件a0,b0;ab或ab为定值；取等号成立的条件ab.三个条件缺一不能.例1求函数yx2x1的值域.-4-专题函数的值域的求解第-4-页共26页v1.0可编写可更正解答:yx2x112,当且仅当x1时成立.故函数的值域为x1x1y2,).求函数yx22x2例2x1的值域.解析:用基本不等式，要点是凑

7、出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出(x1)项来,可运用的方法是（1）待定系数法：设:(x1)(xb)cx22x2,将左侧张开是x2(b1)x(bc),故而b12,bc2.解得b1,c1.从而原函数y(x1)(x1)1(x1)x11;x1（2）换元法：设x1t，则原式化为f(t)1tt接下类怎么办因为x1的符号不确定，因此需要分类谈论：)当x1时,x10,10,此时y2,等号成立,当且仅当x0.x1)当x1时,(x1)0,10,此时有x1(x1)(x1)1(x1(x12,yx11)1)x1x1等号成立,当且仅当x2.综上,原函数的值域为:y(,22,).例：求函数的值域：

8、y2x2x1x1.2x121解：x1,tx10，则原函数化为f(t)t2122t2-5-专题函数的值域的求解第-5-页共26页v1.0可编写可更正11112时等号成立，t22t22，当且仅当t2时，即xttt2y211.，因此元函数的值域为2,221（2012年上海春）函数ylog2x42,4)的最大值是_.(xlog2x函数的单调性（导数）法利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握比方，fxaxba0,b0.当利用不等式法等号不能够建马上，可考虑利用函数的单调性解x题.例求函数yx1在区间x4,上的值域。x解析与解答：y110，因此该函数在此区间上单调递加x2于是：函数yx1在

9、区间x4,上的值域为17,)。x4例：求函数f(x)x33x在(5,1)内的值域.解析:f()3x23.由f(x)0得f的极值点为x1,x1.xf(1)2,f(10)2.f(50)140.因此,函数f的值域为(2,140).例4.求以下函数的最值：1）已知函数f(x)=x33x29xa,且f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.（2）求函数f(x)ln(1x)1x2在0，2上的最大值和最小值.4解析：题(1)(2)是求函数最值的典型题，难度不算大，要注意导数公式、运算性质以及利用导数求最值的步骤、方法的正确应用.只但是，（1）侧重文科考的题型，（2）侧重于理科考的形式.(

10、1)对原函数求导得：f(x)3x26x9令f(x)=0，解得x=1，或x=3（舍），因为f(1)=5+a，f(2)81218=2，f(2)8121822，aaaa-6-专题函数的值域的求解第-6-页共26页v1.0可编写可更正因此f(2)f(2)f(1)因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2故f(1)=5+a7，即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7(2)对原函数求导得：f(x)11x,令11x0,1x21x2化简为x2x20,解得x12(舍),x21.又因为f(1)ln21，f(0)0,f(2)ln310,f(1)f(2),4因此f(

11、0)0为函数f(x)在0，2上的最小值，1为函数f(x)在0，2上的最大值.f(1)ln24总结：由上面两题的解析我们知道解决这类题的要点是：严格依照利用导数求最值的步骤、方法、技巧来做，这类方法不但易掌握，而且运算速度较快，不简单出错.因为若是只需要求函数的最值，那么我们就不需要求函数的单调区间，判断函数的单调性和极大（小）值了，而只需要求出函数极值、闭区间的端点函数值，再比较大小就可以了.练习4x270,1的值域.求函数f(x),x2x答案：对原函数f(x)求导，得f(x)4x216x7(2x1)(2x7)(2x)2(2x)2令f(x)0解得x1，或x7（舍）22又因为f(0)7,f(1)

12、4,f(1)3.22因此当x0,1时，f(x)的值域为4,3.数形结合法若是所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由y1y2可联想到两点x1,y1与x2x1x2,y2连线的斜率.y例1：求函数y|x3|x5|的值域。8-7-专题函数的值域的求解第-7-页共26页-3o5xv1.0可编写可更正2x2(x3)解：y|x3|x5|8(3x5)，2x2(x5)y|x3|x5|的图像以下列图，由图像知：函数y|x3|x5|的值域为8,)更简单的方法是：该函数的几何意义是，动点到定点（-3,0），（5,0）的距离之和，从图上易见最小值是8例2：求函数yx24x5x24x8的值域。点拨：将

13、原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)(x2)21(x2)222作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则EK=2x,KF=2x,AK=(x2)222,KC=(x2)21。由三角形三边关系知，AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3如例4求函数y1x1x的值域。解析与解答：令u1x，v1x，则u0,v0，u2v22，uvy，原问题转变成：当直线uvy与圆u2v22在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin2；222

14、。当直线与圆相切时，ymaxODOC因此：值域为2y2-8-专题函数的值域的求解第-8-页共26页v1.0可编写可更正VD2BCEOAU2例4.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看作定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，依照三角形两边之差小于第三边，有即：2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。练习-9-专题函数的值域的求解第-9-页

15、共26页v1.0可编写可更正求函数的值域：yx1x42x3x4解：yx1x454x12x3x1y5函数的值域为：5,.函数的有界性法分式型的含sinx或cosx的函数，常用此法，再依照1sinx1，解关于y的不等式，可求y的取值范围.例：求函数y2cosx1的值域。,13,3cosx25例4：求函数y2sinx的值域。1,32sinx3分别常数法分别常数法经常用于解决分子分母都含变量的分式函数问题，设函数h1(x)f(x)，包括两种方h2(x)法：（1）经过恒等变形，使f(x)变形为只在分子或分母中含有变量的形式，如f(x)mg(x)nR)；(m,nh2(x)（2）将f(x)变形为f(x)mg

16、(x)(mR)形式的函数，h2(x)这两种办理的结果，经常会使新函数的性态（如单调性、奇偶性等）比较简单判断.例：求函数y1x的值域。2x51x1(2x5)717222，y52x522x52x7120，y2x，52-10-专题函数的值域的求解第-10-页共26页v1.0可编写可更正函数y1x的值域为y|y1。2x52例、求函数y3x的值域3x1解：则y3x1113x1111，设3x1t1，3x1tt10110y1t原函数的值域为01例求函数f(x)x2x6x7(x1)的值域1解：f(x)x26x7(x1)24(x1)2(x1)24，由x1，得x10，则x1x1x1(x1)242(x1)2422

17、4，当且仅当x12，即x21时，等号x11)1(xx成立，因此当x21时，函数f(x)的最小值是224.例设kR，f(x)x4kx21，若对任意实数a,b,c，都存在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，则实x4x21数k的取值范围是（）A.(1,1B.1,4)C.(1,4)D.以上都不对22解：第一次分别常数将函数f(x)变形为f(x)1(k1)x2x2，再次分别常数得x4x2，令g(x)x4x211g(x)1，易知g(x)(0,11，下面分类谈论：x213x2（1）当k1时，f(x)maxk21，若f(a),f(b),f(c)3，f(x)min构成三角形的三边，则有2f(x)min1

18、f(x)max，即2k2k4.，得13（2）当k1时，f(x)max1，f(x)mink22f(x)min1f(x)max得113，则由k2综上可知实数k的取值范围是(1,4)，选C2使用分别常数法经常要对分子（分母）进行配凑，要构造出含有分母（分子）的形式，这需要较强的代数变形能力，降低难度的一个策略是用换元法，如例1，可设tx1(t0)，则原函数改写为-11-专题函数的值域的求解第-11-页共26页v1.0可编写可更正(t1)26(t1)7t2f(t)t4.t三角函数中的值域问题利用三角函数求值域（最值）也是高考常考的一种题型.这类题型能够是直接求一个基本的三角函数在自变量取一的确数或限制

19、在某一个范围内的值域（最值），也能够是经过一系列三角公式的化简，得出一个基本的三角函数后再求值域（最值），自然也能够是利用圆、椭圆等的参数方程后，得出一个关于三角函数的式子，再求值域（最值）.例3.求以下三角函数的值域：(1)y3sin(2x)5,xR;(2)y2cos(2x)1,x0,；432(3)ysin2x3cos2x,x(0,3)；(4)ysin2x2sin2x,x(0,)；2(5)已知圆的标准方程为：(x1)2(y1)24,求2xy的取值范围.解析：例3中的题目都是关于利用三角函数求值域的题目.(1)(2)都是直接给出基本的三角函数式，只但是（1）中自变量取一的确数，（2）中自变量限

20、制了范围.(3)(4)都是需要利用三角函数的一些公式，经过一系列变换最后能够化成题（2）的形式来做.（5）是需要利用圆的参数方程把所求式子化成基本三角函数式来求的题型.(1)xR,2xR,sin(2x)1,1,y2,8;44(2)x0,2x3,2sin(2x)3,1y31,1;23332(3)原函数利用辅助角公式得y2sin(2x3),x(0,).以下与（2）做法近似.y(3,2;3（）利用三角函数的降次公式得原函数等价于ysin2x(1cos2x)4sin2xcos2x12sin(2x)1,x(0,2).4以下做法与题（）近似.y(2,21;2由圆的标准方程得它的参数方程：x12cos(其中

21、为参数).y12sin,因此2xy4cos2sin125sin()1(其中tan2).因此2xy251,251.总结：这类题型的基本解法是：先把所给的关于三角函数的式子化成基本的三角函数式,如：yAsin(x)m,或yAcos(x)m(其中A,m为常数，且A,0)的形式.尔后再由所限制的自变量的范围求出括号内式子的范围，从而依照基本的三角函数的图像得函数值的范围.若是没有限制自变-12-专题函数的值域的求解第-12-页共26页v1.0可编写可更正量的范围，则易得sin(x)或cos(x)1,1.从而得y的范围.练习3.求以下三角函数的最值：（1）函数ysinx1cosx(xR)的最大值为；2（

22、2）函数ysinx3cosx在区间0,上的最小值为；2（3）求函数y2cos(x4)cos(x4)3sin2x的最值（4）已知向量a(sin,1),b(1,cos),.22（I）若ab,求;（II）求ab的最大值.参照答案：（1）5；（2）1；（3）ymax2,ymin2;（4）,21.24五、高考真题汇编较简单的基础题：1.函数f(x)sinxcosx的最大值为（）A1B2C3D22.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为（）A1B2C3D23.函数y2sin(x)cos(x)(xR的最小值等于（）36)A3B2C1D54.设a1，函数

23、f(x)logax在区间a2a上的最大值与最小值之差为1，2则a（）222245.在函数f(x)ax2bxc中，若a，b，c成等比数列且f(0)4，则f(x)有最值（填“大”或“小”），且该值为.6.函数f(x)3sinxsin2x的最大值是_.7.函数f(x)1cos2(x).2-13-专题函数的值域的求解第-13-页共26页v1.0可编写可更正8.函数f(x)2cos2xsin2x的最小值是.9.已知在ABC中，ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的离乘积的最大值是.中等难度的提高题：1.已知函数f(x)asinxbcosx（a、b为常数，a0，xR）在x处

24、获取最f(34小值，则函数yx)是（）4A偶函数且它的图像关于点(,0)对称B偶函数且它的图像关于点(3,0)对称(32C奇函数且它的图像关于点,0)对称D奇函数且它的图像关于点(,0)对称22.用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(赞同连接,但不相赞同折断),能够获取期的三角形面积的最大值为（）A.85cm2B.610cm2C.355cm2D.20cm2193.函数f(x)xn的最小值为（）n1A.190B.171C.90D.454.设x,yR,a1,b1,若axby3,ab23,则11的最大值为()xyA.2B.3C.1D.1225.当0 x时，函数f(x)1

25、cos2x8sin2x）2sin2x的最小值为（A.2B.23C.4D.436.抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A4B7C8D33557.已知F是双曲线x2y21的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值412为.8.已知AC、BD为圆O:x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为.-14-专题函数的值域的求解第-14-页共26页v1.0可编写可更正9.若x，则函数ytan2xtan3x的最大值为.4210.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总储藏花销为4x万元，要使一年的总

26、运费与总储藏花销之和最小，则x吨11.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsinA（）求B的大小；（）求cosAsinC的取值范围12已知函数f(x)sin2x（0）的最小正周期为2（）求的值；（）求函数f(x)在区间20，上的取值范围313.ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,cosA+cosBC获取最大值,并求出这个最大值.214.在ABC中，已知内角A，边BC23设内角Bx，周长为y（）求函数yf(x)的解析式和定义域；（）求y的最大值15.求函数f(x)sin4xcos4xsin2xcos2x的最大值和最小值.sin2x某单位用木材制作以下列图的框

27、架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形,上部是等腰直角三角形.2要求框架围成的总面积8m.问x、y分别为多少(精确到时用料最省17某村计划建筑一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大最大种植面积是多少18.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,尔后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大最大容积是多少-15-专题函数的值域的求解第-15-页共26页v1.0可编写可更正较难的综

28、合题：1.用mina、b、c表示a、b、c三个数中的最小值.设f(x)min2x,x2,10 x(x0),则fx的最大值为()A.4B.5C.6D.7有两个相同的直三棱柱,高为2,底面三角形a的三边长分别为3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是3.已知菱形ABCD的极点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1（）当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；（）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值4.设P为椭圆x2y21(a1)短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值a25.

29、已知椭圆x2y21的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线32交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P（）设P点的坐标为x02y02(x0，y0)，证明：1；32（）求四边形ABCD的面积的最小值6.设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个极点，直线ykx(k0)与AB订交于点D，与椭圆订交于E、F两点（）若ED6DF，求k的值；（）求四边形AEBF面积的最大值7.已知点M(2,0),N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|22.-16-专题函数的值域的求解第-16-页共26页v1.0可编写可更正记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A

30、,B是W上的不相同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.较简单的基础题的参照答案：1.B2.B3.C4.D5.大，3;6.2;38.12;9.37.;4第2题解析：由条件知|MN|sinacosa|sin(a)|最大值为2.4第3题解析：方法一：利用三角函数的和差角公式张开、化简和辅助角公式得：ysin(x)ymin1.3方法二(3x)(x),由引诱公式知sin(x)cos(x)ysin(x)ymin1.62363第4题解析：a1,函数f(x)在区间上为增函数.a,2af(2a)f(a)loga2alogaa1,a4.loga22第5题解析：a,b,c成等比数列且f(0)4,b2ac,且c4

31、0.a0,且ab2.4b23b2张口向下则f(x)有最大值.ymax4ac,ymax3.4ab2第6题解析：sin(2x)cosx,函数f(x)3sinxcosx2sin(x).ymax2.6第7题解析：cos2x2cos2x1函数f(x)cos2xcosx1,令tcosx1,1,123原函数等价于f(t)t2再利用一元二次函数求最值的方法得最大值为.42第8题解析：2cos2x1cos2x,f(x)1cos2xsin2x12sin(2x)最小值是12.4第9题解析：设P点到BC的距离PD为x(0 x4)，则BDPD33.BCAC44因此S=x(33x)(0 x4).当x2时,S有最大值3.4

32、-17-专题函数的值域的求解第-17-页共26页v1.0可编写可更正中等难度题的参照答案：1.D2.B3.C4.C5.C6.A7.98.59.-810.20第1题解析：f(x)在x处获取最小值，能够看作右移3不如设f(x)a2b2sin(x3444则函数yf(3x)a2b2sinx.因此选D.4第2题解析：能够英勇猜想：三角形的周长越大，形状越凑近正三角形时面积就越大.因此，当三角形的边长为7，7，6时，最凑近正三角形，此时面积最大.最大面积为610.因此选B.第3题解析：f(x)|x1|x2|x18|x19|,因此我们知道当x取119的中间数字，或凑近中间的数字时f(x)取最小.因此最小值为

33、f(10)2(1239)90.因此选C.第4题解析：因为axby3,xloga3,ylogb3，因此11log3ablog3(ab)21xy2第5题解析：原式f(x)2cos2x8sin2xcotx4tanx.0 xtanx0,cotx0.2sinxcosx2f(x)4,当且仅当tanxcotx，即x(0,)时,f(x)获取最小值4.选C.42第6题解析：由直线和抛物线的图像知，当一条直线与已知直线平行且与抛物线相切时，这时两直线间的距离即为所求的最小值.因此，能够设与直线4x3y80平行的直线的方程为：为常数).4x3yc0(c又因为该直线与抛物线相切，因此由4x3yc0联立，消去得：24x

34、c0,yx2y3x4|84|4再令，得因此最小距离为3因此A选项正确.342323第7题解析：因为P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是依照双曲线第必然义（距离定义）知：|PF|PF|2a4，而且|PA|PF|AF|5两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.-18-专题函数的值域的求解第-18-页共26页v1.0可编写可更正第8题解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为222d、d,则d+dOM3.1212四边形ABCD的面积S1|AB|CD|2(4d2)(4-d2)8(d2d2)521212第9题解析：令tanxt,4xt1,2y3x2tan4x2

35、t42228tan2xtan1tan2x1t211(11211t4t22)44t2第10题解析：设一年的总运费与总储藏花销之和为y,则由题目条件知y40044x160(万元).x1600当且仅当4x,即x20(吨)时，等号成立,ymin160(万元).第11题解析：1（）由a2bsinA，依照正弦定理得sinA2sinBsinA，因此sinB，2由ABC为锐角三角形得B6（）cosAsinCcosAsinAcosAsinAcosA1cosA3sinA3sinA6223由ABC为锐角三角形，且A.B知，632因此2A3，因此1sinA33623233sinA33，由此有223因此，cosAsin

36、C的取值范围为332，2第12题解析：（）1cos2x33sin2x11f(x)2sin2x2cos2x222-19-专题函数的值域的求解第-19-页共26页v1.0可编写可更正sin2x162因为函数f(x)的最小正周期为0，因此2，解得1，且2（）由（）得f(x)sin2x162因为0 x271sin2x1，3，因此62x，因此2666因此0sin2x13，即f(x)的取值范围为36220，2第13题解析：A、B、C为三角形的内角，BCA,且0A即0A.22cosAcosBC12sin2AsinA(0sinA1),利用一元二次函数求最值得：2222当sinA1时，BC获取最大值12248第

37、14题解析：（）ABC的内角和ABC，由A，B0，C0得0B2应用正弦定理，知ACBCsinB23sinx4sinx，ABBCsinC4sin2xsinAsinsinA因为yABBCAC，因此y4sinx4sin2x230 x2;3（）因为y4sinxcosx1sinx23243sinx23x5，因此，当x，即x时，y获取最大值63第15题解析：-20-专题函数的值域的求解第-20-页共26页v1.0可编写可更正(sin2xcos2x)2sin2xcos2x因为f(x)22sinxcosx1sin2xcos2x1(12(1sinxcosx)2因此函数f(x)的最大值是3,最小值是4sinxco

38、sx)1sin2x1.421.4第16题解析：y+18x2=8x(由题意得x2=8,y=42).xx、y0，0 x44xx4于是,框架用料长度为L=2x+2y+2(2x)=(3+2)x+16216(32)=4642.22x2当(3+2)x=16,即x=842时等号成立.2x此时,x,y=22.故当x为,y为时,用料最省.第17题解析：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab800.蔬菜的种植面积S(a4)(b2)ab4b2a88082(a2b).因此S80842648(m2).ab当a2,即a40(m),b20(),Smax648(m2).bm时2答：当矩形温室的左侧边长为40m，后

39、侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m.第18题解析：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=(902x)(482x)x=4x3276x2+4320 x(0 x24)V=12x2552x+43202552x+4320=0得12由V=12xx=10，x=36（舍去）因为在开区间x(0,24)上，只有一个极值点，因此,当x=10,V有极（最）大值V(10)=1960.较难的综合题的参照答案：1.C2.0a153.（）xy20;（）43.3-21-专题函数的值域的求解第-21-页共26页v1.0可编写可更正4.a2a21当a时，获取最大值;当1a2时，|PQ|获取最大值2.2|P

40、Q|a21（）证明参照解析；（）四边形ABCD的面积的最小值为96.256.（）k2,或k3;（）四边形AEBF面积的最大值为22.87.（）W的方程为x2y21,(x2);（）最小值为2.22第1题解析：画出三个函数的图像，利用图像知当yx2与y10 x订交时，即x4,也即y6时成立.第2题解析：由实质情况知，当两个大面重合时，所构成的四棱柱在所有四棱柱中全面积最小.最小面积为：（3a4a）223a4a22824a2.a当这两个直三棱柱叠在一起时，所构成的三棱柱的全面积为：（3a4a5a）43a4a4812a2.a因此，2824a24812a2a25.15a15,且a0.因此0a15.333

41、3第3题解析：（）由题意得直线BD的方程为yx1因为四边形ABCD为菱形，因此ACBD于是可设直线AC的方程为yxn由x23y2，6nx3n404得4x22yxn因为A，C在椭圆上，因此12n2640，解得43n4333设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x23n3n24又因为y1x1n，y2x2n，x1x24，2因此y1y2n3nn，因此AC的中点坐标为4，24由四边形ABCD为菱形可知，点3nn在直线yx1上，4，4-22-专题函数的值域的求解第-22-页共26页v1.0可编写可更正因此n3n1，解得n2因此直线AC的方程为yx2，即xy2044（）因为四边形ABC

42、D为菱形，且ABC60，因此ABBCCA因此菱形ABCD的面积S32AC2由（）可得AC(x1x2)2(y1y2)23n216，22因此S3(3n216)43n43.433因此当n0时，菱形ABCD的面积获取最大值43第4题解析：依照题目条件可设点P(0,1),Q(x,y),则|PQ|x2(y1)2.又因为Q在椭圆上，因此x2a2(1y2).因此|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1y1)因为a1,因此1a20,对应的以为自变量的一元二次函数的图像张口向下，y且对称轴方程为：y10.1a2当11,1,即a时，y1时，获取最大值a2a211a2a2a211当1即a时，y时，获取最大值2.1a21,121|PQ|第5题解析：证明：（）椭圆的半焦距c321，由ACBD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，22x02y02x02