第一和第二可数性公理-精选课件

1、第一与第二可数性公理 可分空间Lindelff空间第一与第二可数性公理 可分空间Lindelff空间5.1 第一与第二可数性公理可 数 基可数邻域基 拓扑空间在某一点处的一个邻域基是一个可数族，则称它是可数邻域基. 拓扑空间的一个基,如果是一个可数族,则称这个基是一个可数基.5.1 第一与第二可数性公理可 数 基可数邻域 定义5.1.1 一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，或简称为A2空间 定义5.1.1 一个第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 定义5.1.2 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个

2、可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为A1空间 定义5.1.2 一第一和第二可数性公理-精选课件不满足第一可数性公理的空间的例子 设X是包含着不可数多个点的可数补空间,则X在它的任何一点处都没有可数邻域基不满足第一可数性公理的空间的例子 设X是包含着不第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 定理5.1.3 每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理反之不成立. 定理5.1.3 每一 定理5.1.4 设 X 和Y是两个拓扑空间， 是一个满的连续开映射.如果X满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)，则Y也满足第二可数性公理(满足第一可数性

3、公理)继续 定理5.1.4 设第一和第二可数性公理-精选课件可遗传性质 如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质可遗传性质 如果一个拓扑空间具有这个对开闭子空间可遗传性质 例: 局部连通空间的任何一个开集作为子空间都是一个局部连通空间对开闭子空间可遗传性质 例: 局部连通空间证明：设X是一个局部连通空间，U是X的一个开集，则对任意xU和x在子空间U中的任意一个邻域V，V也是x在X中的一个邻域,证明：设X是一个局部连通空间，U是X的一个开集，则对任意x由于X是一个局部连通空间，从而 x有一个连通的邻域W,使得 , 从而U是一个局部连通空间.由于X是一个局部连通空间， 定

4、理5.1.5 满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间的任何一个子空间是满足第二可数性公理(满足第一可数性公理)的空间 定理5.1.5 满足第二可数性公理(第一和第二可数性公理-精选课件 推论5.1.7 n维欧氏空间 Rn的每一个子空间都满足第二可数性公理 推论5.1.7 n维欧氏第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件作业:2,6作业:2,65.2 可分空间 定义5.2.1 设X是一个拓扑空间， 如果 ，则称D是X的一个稠密子集5.2 可分空间 定义 定理5.2.1 设X是一个

5、拓扑空间，D是X中的一个稠密子集.又设 都是连续映射,如果 , 则f = g. 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中f(x)g(x)x()(V1V2fgf -1(V1)g -1(V2)UXf(x)g(x)x()(V1V2fgf -1(V1)g - 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间如果X 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间.继续 定理5.2.2 每一个满足第二继续第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都

6、是可分的. 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每定理5.3.2逆不成立可分性出不具有可遗传性(见例5.2.1)继续定理5.3.2逆不成立继续第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 定理5.2.4 每一个可分的度 量空间都满足第二可数性公理. 推论5.2.5 可分度量空间的每一个子空间都是可分空间. 定理5.2.4 每一个可分的度 推论作业：4作业：45.3 Lindelff 空间 定义5.3.1 设A 是一个集族，B是一个集合如果 , 则称集族是集合B的一个覆盖，并且当A是可数族或有限族时，分别称集族是集

7、合B的个可数覆盖或有限覆盖5.3 Lindelff 空间 定义5. 设集族 A 是集合B的一个覆盖如果集族 A 的一个子族A1也是集合B的覆盖，则称集族 A1 是覆盖A (关于集合B)的一个子覆盖. 设集族 A 是集合B的一个覆盖如果集族 设X是一个拓扑空间如果由X中开(闭)子集构成的集族 A 是X的子集B的一个覆盖，则称集族 A 是集合B的一个开(闭)覆盖 设X是一个拓扑空间如果由X中开(闭)子集构成的 定义5.3.2 设X是一个拓扑空间如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindelff空间 定义5.3.2 设X是一个拓扑空间如果 X 定理5.3.1 任何一个满

8、足第二可数性公理的空间都是 Lindelff空间继续 定理5.3.1 任何一第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 推论5.3.2 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindelff空间 特别，n欧氏空间Rn的每一个子空间都是Lindelff空间 定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题不成立.(见例5.3.1) 推论5.3.2 满足第二可数性 定理5.3.3 每一个Lindelff的度量空间都满足第二可数性公理.继续 定理5.3.3 每一个Lindelff的度第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件第一和第二可数性公理-精选课件 定理5.3.4 Lindelff空间的每一个闭子空间都是Lindelff空间继续 定理5.3.4 第一和第二可数性公理-精选课件继续继续第一