知识讲解-三角函数的概念

1、.三函的念考纲要1.了解任意角的概念和弧度制概能进行弧度与角度的互.2.会表示终边相同的角；会象限的表示方.3.理解任意角三角函数正弦、弦、正切的定练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊的 三角函数值4.熟练掌握同角三角函数的基本系式和诱导公式并能运用他们解决有关问.知识网三角函数的概念角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数同角三角函数的基本关系正弦、余弦的诱导公式式考点梳考一角概与广1任意角的概念：正角、负角零角 2象限角与轴线角：与 终相的角的集合： k 第一象限角的集合： 2 k Z 第二象限角的集合：2 k Z 第三象限角的集合：k2 k Z 第四象限角的集合：2 k Z 终边在轴上的

2、角的集合： k / 8.终边在 轴的角的集合：2, k Z终边在坐标轴上的角的集合：k2, Z要诠：要熟悉任意角的概念,要注意角的集合表现形式不是唯一终相同的角不定相等,但相等的角终边一定 相同还要注意区间角与象限角轴线角的区别与联.考二弧制1弧长公式与扇形面积公式：弧长l ,扇形面积扇形1 1 lr r2 2其中 r 是的半径 是所对圆心角的弧度.2角度制与弧度制的换算：180 ；1 180rad ； 1rad 180) 18要诠：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公. 考三任角三函1. 定：在角 上终边上任取一点 ( x y ) ,记 r OP x2y2则sin y x x r

3、, cos , , cot , , r r x y r.2.三角函数线：如图,单位圆中的有向线段 OM 分别做 正弦线余弦线正切线3. 三函数的定义域：y , y cos的定义域是 ； y , 的定义域是 2, k Z ； ,y csc的定义域是 Z .4.三角函数值在各个象限内的符：要诠：三角函数的定义是本章内容的基础和出发,正确理解了三角函数的定,则三角函数的定义域三 角函数在各个象限内的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握利用定义求三函数值 也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨.三角函数线是三角函数的几何表,是处理有关三角问题的重要工具它把某些繁杂的三角问形 象直观地

4、表达出来有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集确定等问 题的解决常结合使用三角函数,是数形结合思想在三角中的具体运.考四同三函间基关式1.平方关系：sin2 2sec2 tan2 csc2 cot2.2. 商关系：tan cos ; .3. 倒关系： csc / 8 .要诠：同角三角函数的基本关系主要用于 已某一角的三角函,求其它各三角函数值 证明角 恒等式 化简三角函数.三角变换中要注意1的妙用解决某些问题若代换如1 2 ,1 2tan2 ,则可以事半功倍；同时三角变中还要注意使用 化弦 、去法及方程思想的运用 考五诱公1.2 Z ), 的三角函数值等于 的同名三角

5、数,前加上一个把 看成锐角时原函数值所在象限的符.2.2,32的三角函数值等于 的余函数值,前加上一个把 看锐角时原函数值所在象限的符号要诠：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为 角的三角函数值,本节公式较多,正确理解和记忆诱公式可以用奇变偶不变符号看象限奇、偶指的是 典型例类一角相概2的奇数倍、偶数倍这口诀进记.例 1.已知 是三象限角,求角2的终边所处的位.答案2是第二或第四象限角解析方一： 第三象限角即232, Z,k 2 , Z,当k 时 2 是第二象限角, 2 3 n , n Z 2 2 ,当k 时23 7 , Z 2 2 4, 是四象限角, 22是第二或第四象限角方法二：由图知的

6、终边落在二,四象限 / 8y .y 总结升华1 要练掌握象限角的示方法本题容易误认为2是第二象限角,其错误原因为认第三象限角的范围是2)解决本题的关键就是为了凑出的整数倍,需要对整数进行分类2 确定分角所在象限的方法若是第 k 限的角利单位圆判断,是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n 等,并从 正半开始,沿时针方向依次在每个区域标上 1、2、3、4,再循环直填满为止,则有标号 k 的域就是角k=3,如下图中标有号码 3 的域是 终所在位置2举反：终所在的范围。如：变式 1已 是二象限,求角 的终边所处的位.3 答案 是第一或第二或第四象限角 x3解析方一：角即 2k Z2, k Z

7、3 6 3 3,当 n时 2 , Z6 3 3, 是一象限角, 3当 n , n n Z 6 3, 是二象限角, 3当 n 时 3 5 , k 2 3 3, 是四象限角, 33是第一或第二或第四象限.方法二：k=2,如图中标有号码 2 的区就是3终边所在位置由图知：3的终边落在一,二四限变式 2已弧长 50cm 的所对圆心角为 度求这条弧所在的圆的半径精确到 1cm. 答案29cm.类二任角三函例 2.若sin ,则角 在象限. / 8.答案第或第三 解析方一由sin 知1sin 或2 cos 由1 知 在一象限由2 知 在三象限所以在第一或第三象.方二由sin 有 sin 2,所以2,即2当

8、k ( n Z )时为第一象限当k Z )时为第三象限故 为一或第三象.方三分别令 5 11 6,代入sincos,只有6、满足条,所以为第一或第三象.总结升华角的象限和角的三角函数值符号可以相互判,方法三只能用于选择题或填空 举反：变式 1确tan( 5cos1的符号答案原小于零解析因分别是第三、第四、第一象限的,以 sin5 所以原式小于零变式 2知tan则是第象限角答案二解析sin 1 cos 则是第二象限 x | | x变式 3 的 | cos | 答案当 x 为第一象限角值为 ；当 x 为二、三、四象限角,值-例 3. 已知 的点在原点 , 始与 轴非负半轴重合 , 终为射线 (si

9、n cot 的值是答案 / 84 x , 则解析在 的终边上任取一点.P(3, ,有 r 则原式 3 8 ) 5 5 故选.举反：变式已知角的终边过点( a,2 ,求sin、tan的值解析r a2 a2 5| |1 当a 时r 5a, 2 5 , 5 5,；2 当a 时 r 2 5 , cos 5 5,tan .类三诱公例.知 3 ,求 cos( ( ) 3 6 的值.答案 3解析5cos( 6( ) 2 6 6举反： 1 2 3 3 3变式 1计：sin 330 答案解析原式 ) cos(180 30 60 变式 2化 答案sin( ) )4 .解析原式4 ) sin( ) ) 4 .类四同

10、三函的本系例 知sin15,且0 sin的值；答案12 ；25 5 / 8.解析方法：sin15可得：sin22sin2125即1 125,sin1225sin15,sin1225 sin 、 cos 是程x21 12x 5 25的两根 4 或 3 4cos cos 535 , sin,sin45,35,sin75方二由sin15可得：sin22125即1 1 12 , sin cos 25 25 sin , cos , sin sin 12 4925 sin75举反：变式已知 2 1,求 2 sin cos 的值.答案解析由 可得：sin 2 2sin cos 2 2sin cos 12；于是sin cos 14,1 sin 2 sin2 22 例 知,求下列各式的值15