最新直线与椭圆几种题型答案

1、精品文档直线与圆椭圆的几种题型一、面积问题：1.【 2012 高考安徽文20】（本小题满分13 分）x 2+y2=1（a b0）的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2如图， F1, F2 分别是椭圆 C ：22ab与椭圆 C 的另一个交点，F1A F2 =60.（）求椭圆 C 的离心率；（）已知 A F1 B 的面积为403 ，求 a, b的值 .解：（ I） F1 AF260a2cc1e2a（）设 BF2m ；则 BF12am2BF2222 BF2F1F2cos120在BF1 F2 中， BF1F1F2(2 a m)2m2a2am m3 a5S1F2F1ABsin601

2、a(a 3 a)340 3AF1B 面积2252a 10,c5,b532.【 2102高考北京文 19】 (本小题共14 分)已知椭圆 C： x2y22a2+ b2 =1（a b 0）的一个顶点为A （ 2,0），离心率为2与不同的两点M,N（）求椭圆C 的方程， 直线 y=k(x-1) 与椭圆 C 交（）当 AMN 的面积为10 时，求 k 的值3a2解：（ 1）由题意得c2解得 b2 .所以椭圆 C 的方程为 x2y21.a242a2b2c2yk( x1)（ 2）由 x2y2得 (1 2k2 ) x24k 2 x 2k 24 0.421设点 M,N 的坐标分别为 (x1, y1 ) ， (

3、x2 , y2 ) ，则 y1k( x1 1) ， y2k(x21) ，x1x24k2，x1x22k 24.12k 212k 2精品文档精品文档所以 |MN|= (x2 x1 )2( y2y1 )2(1 k2)( x1x2 )24x1 x2 =2 (1k2 )(46k2 )=12k 2.| k |由因为点A(2,0) 到直线y的距离d，k (x 1）12k 2所以 AMN 的面积为 S1| MN | d| k |4 6k 2. 由 | k |46k 210 ，解得 k1 .212k212k 23二、定值问题3. 【 2012 高考江苏 19】（ 16分） 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭

4、圆 x2y21(ab 0)的左、右焦点分a2b2别为 F1( c，0) ， F2 (c ，0) 已知 (1，e) 和 e，3 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率2（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设 A, B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF1 与直线 BF2 平行， AF2 与 BF1 交于点 P（ i）若 AF1 BF26，求直线 AF1 的斜率；2（ ii）求证： PF1PF2 是定值解：（ 1）由题设知， a2 =b2c2，e= c ，由点 (1，e) 在椭圆上，得a12e211c2222 222222= a21。由点e， 3在椭圆上，a2b2a2a2b2 =1bc= a ba=

5、a bb=1， c23232222222 e1c1a131a44a24=0a2 =2xy21b21a4a2a4422）由（ 1）得 F1 ( 1，0) ， F2 (1，0) ，又 AF1 BF2 ，设 AF1 、 BF2 的方程分别为my=x1，my=x1， A x1，y1 ，B x2，y2 ，y1 0，y2 0。x 2221y11m2222my11=0 y1m 2m 22y1=2my1 =x11m2精品文档精品文档2222222 m1m m1 AF1 = x1 1y12 = m2 1 m2m 2y1 0 = my1m22。m22同理， BF2 =2 m21m m21m22。（ i ）由得，

6、AF1BF22mm221 。解 2m m21 =6 得 m2 =2。m2m222（ ii ）注意到 m 0 ， m=2 。直线 AF1的斜率为1 =2 。m2（ ii ）证明： AF1 BF2， PBBF2，即 PB1BF21PBPF1BF2AF1。PF1AF1PF1AF1PF1AF1 PF1=AF1BF1 。由点 B 在椭圆上知，BF1BF222，AF1BF2 PF1=AF122BF2。同理。 PF2 =BF222AF1。AF1BF2BF2AF1 PF1+PF2 =AF122BF2BF222 AF12 22 AF BF2AF1AF1BF2BF2BF2AF122 m2121 ， PF1 +PF

7、2 =2由得， AF1BF =m22， AF BF = m22=32 。m2222 PF1 PF2 是定值。 20.【 2012高考天津19】（本小题满分14 分）4.【 2012 高考湖南文21】（本小题满分 13 分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1 的椭圆 E 的一个焦点为圆C： x2+y 2-4x+2=0 的圆心 .2（）求椭圆E 的方程；（）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为1 的直线 l 1， l 2.当直线 l1， l2 都与圆 C 相切时，求 P2的坐标 .解析：（）由 x2y24x 20 ，得 ( x2)2y22 .故圆的圆心为点x2y21

8、(ab0), 其焦距为2c ，由题设知(2,0), 从而可设椭圆的方程为b2a2c2, ec1 ,a2c4, b2a2c212.a2故椭圆的方程为：x2y21.1612精品文档精品文档（ ） 设 点p 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， l1 , l2 的 斜 分 率 分 别 为 k1 , k2. 则 l1 , l2 的 方 程 分 别 为l: yyk(x)x,2l:y0y( k且x ),x1由 l 与圆 c : ( x2) 2y 22 相切，得1010212.122k1y0k1 x02 ，即(2x0 ) 22k122(2x0 ) y0 k2y0220.k121同理可得222.( 2 x

9、0)2k22 ( x2 y0 k)2y0200从而 k1, k2 是方程(2x0 )02k 22(2x0 ) y0ky0220 的两个实根，于是(2 x0 ) 22 0,且 k k2y0222.8 (2 x0 ) 2y0220,1(2 x2 ) 22x02y021,161210由得 5x028x0 360. 解得 x02, 或 x0.y02215(2x0 ) 222由 x02 得 y03; 由 x018得 y057 , 它们满足式，故点的坐标为55(2,3) ，或 (2,3) ，或 (18 ,57)，或 (18,57).5555三、比值问题5.【 2012 高考山东文 21】 ( 本小题满分

10、13 分 )223 ，直线 x如图，椭圆 M : x2y21(ab0) 的离心率为a 和 yb 所围成的矩形 ABCD 的面ab2积为 8.( )求椭圆 M 的标准方程；( ) 设直线 l : yxm(m R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点P, Q, l 与矩形 ABCD有两个不同的交点S,T .求 | PQ | 的最大值及取得最大值时m 的值 .|ST |22解： (I) ec3ab3 矩形ABCD 面积为 8，即 2a 2b 8 a2a 24精品文档精品文档由解得： a2,b1，椭圆 M 的标准方程是 x2y214.(II)x24 y24,5 x28mx4m24 0，yxm,设 P( x

11、1 , y1 ), Q(x2 , y2 ) ，则 x1x28 m, x1 x24m24 ，5524 4m2由64m220(4 m24) 0得5m5.| PQ|28 m4 4 25 m2555.当 l 过 A 点时， m1 ，当 l 过 C 点时， m1 .当5m1时，有 S(m1,1),T (2,2m),| ST |2(3m) ，|PQ|45m2446，其中 tm 3 ，由此知当 13| ST | 5 (3 m)25t 21tt4 ，即 t4, m5(5,1) 时， | PQ | 取得最大值 25 .33| ST|5由对称性，可知若1m5 ，则当 m5时， | PQ | 取得最大值 25 .3

12、|ST|5当 1 m 1 时， | ST | 2 2 ， | PQ | 25m2 ，|ST|5由此知，当 m0时， | PQ | 取得最大值 25.综上可知，当 m5 和 0 时， |PQ|取得最大值 25|ST|53|ST |5四、向量问题：6.【 2012 高考陕西文20】（本小题满分13 分）已知椭圆 C1 : x2y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与C1 有相同的离心率。4（ 1）求椭圆 C2 的方程；（ 2）设 O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， OB2OA ，求直线 AB 的方程。y2x21 a2 ，解析：（）由已知可设椭圆C2 的方程为4a

13、23a 243，则 a4其离心率为2，故a2C2y2x2故椭圆的方程为161 4（）解法一：A， B 两点的坐标分别为x A， y A ，xB， yB，精品文档精品文档由 AB2OA 及（）知，O， A， B 三点共线且点A，B不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为ykx 将 yx221中，得22424kx 代入y1 4kx，所以 xA4k 2，41将 ykx 代入 y2+x21 中，得 4 k2 x216，所以 xB216，1644 k 2又由 AB2OA ，得 xB24xA2 ，即16164k 21 4k 2解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx 解法二： A， B 两点的坐标分别为x A , y A , xB , y B ，由 AB 2OA 及（）知，O， A， B 三点共线且点A， B 不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为ykx 将 y kx 代入x221中，得1 4224，所以24，ykxxA1 4k 24216216k 2又由 AB 2OA ，得 xB14k 2， yB1 4k 2，将 xB2 , yB2 代入 y2x214 k 21，即 4 k 21 4k 2 ，164中，得 1 4k 2解得 k1，故直线 AB 的方程为 yx 或 yx五、参数方程问题精品文档精品文档7.已知椭圆（ ab0） ,点 P（,）在椭圆上。（ I）求椭圆的离心率。（