数学物理方法：数理方法复习

1、复习数学物理方法复变函数3、复数的除法2、复数的乘法复数的运算1、复数的加减法4、复数的乘方与方根例：方程 sinz=2设复变函数导数（C.R.条件）u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程又特别称为共轭调和函数C.R.方程的极坐标表示：若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一共轭调和函数方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法故u为调和函数例：已知 u(x,y)=x2-y2,求 v(x,y)单连通区域复变函数积分柯西定理l2l1lABABCDCD复连通区域(l不包围)(l包围)lCR柯西积分公式1、比值判别法幂级数绝对收

2、敛2、根值判别法的收敛半径例：求幂级数解：泰勒级数洛朗级数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数留数定理如何求a-1？若z0为单极点m阶极点的极点，求留数例：确定函数解：例：计算回路积分例：计算积分例：计算积分无穷积分含三角函数的无穷积分其中F(z)为偶数，G(x)为奇数例：计算积分付里叶级数奇函数偶函数复数形式的付里叶变换函数阶跃函数例：称为 f(t) 的拉普拉氏变换函数（像函数）称 f(t) 为原函数拉普拉氏变换其中导数定理卷积定理例：求电路方程解：扩散方程弦的横振动张应力（单位横截面的力）为均匀杆的纵振动扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位面积的分子数或质量；浓度 u(单位体积内的粒子数

3、）弦的横振动边界自由，张应力为零边界固定边界与外界无粒子交换扩散边界浓度为零边界与外界绝热热传导边界温度为零称为泊松方程称为 Laplace 方程达朗贝公式分离变数法4类边值问题分离变数法 齐次方程的分离变数法弦两端固定泛定方程边界条件初始条件弦两端自由本征振动系数泛定方程边界条件初始条件泛定方程边界条件初始条件非齐次振动方程和输运方程非齐次边界条件的处理例：求定解问题：泛定方程边界条件初始条件解：代入泛定方程有泛定方程边界条件初始条件边界条件的齐次化非齐次边界条件的处理辅助函数w(x,t) 的选取令使于是定解问题成为：泛定方程边界条件初始条件弦两端固定边界条件例：研究半带形区域的电势 u(x

4、, y) Laplace方程解：考虑xy0等式右边作付氏展开直角坐标系中球坐标系中在柱坐标系中球坐标系连带勒让德方程柱坐标系柱坐标系常点邻域的级数解法比较系数或正则奇点邻域上的级数解其中 s1 和 s2 是如下判定方程的两个根阶贝塞尔方程判定方程代入阶贝塞尔函数称为阶诺伊曼函数阶虚宗量贝塞尔方程连带勒让德方程自然边界条件施图姆刘维本征值问题贝塞尔方程自然边界条件有带全重 (x) 的正交关系令Nm 称为 ym (x) 的模勒让德多项式勒让德多项式的微分式勒让德多项式的模勒让德多项式的正交性系数勒让德多项式的母函数例：以勒让德多项式为基，在-1，1上把f(x)=x 展开为广义傅里叶级数解：前几项系

5、数u与无关例：求积分连带勒让德函数的表示式令为连带勒让德函数勒让德函数的模u与有关球函数的表示式有 2l+1 个独立的球函数复数形式复数形式的模三角函数形式正交归一、独立的球函数Ylm 正交归一、独立的 Ylm 有 2l+1 个球函数如柱坐标系中Laplace方程为将变量变 与 和 z 分离称为贝塞尔方程称为虚宗量贝塞尔方程三类柱函数第二类柱函数第一类柱函数第三类柱函数为阶贝塞尔函数为阶诺伊曼函数为第一种和第二种汉克尔函数三类柱函数的递推关系、 是常数，=0或=0，或、均不为零时，分别表示 =a 端有第一、第二、第三类齐次边界条件贝塞尔方程柱侧面有齐次边界条件0=a 端有第一类齐次边界条件广义Fourier级数系数积分带全重第一类例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体，下底和侧面保持温度为零，上底温度分布为u=u0。泛定方程边界条件解：一般形式虚宗量贝塞尔方程在柱上、下底有齐次边界条件时 0有虚宗量贝塞尔方程令和为虚宗量贝塞尔方程例：柱内稳定温度分布问题，设半径为a高为h的圆柱体，上底和下底保持温度为零，侧面温度分布为u=u0。泛定方程边界条件解：一般形式球贝塞尔方程亥姆霍兹方程在球坐标系中表示为