高等数学随堂讲义函数的极限函数极限概念课件

1、一、x趋于时的函数极限 在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理.1 函数极限概念 数学分析 第三章函数极限二、 x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限*点击以上标题可直接前往对应内容x趋于时的函数极限极限. f(x)当 x 趋于 时以A为我们就称函数f (x)当 x 沿着 x 轴的正向上,无限远离原点时,也无限地接近A,定义在设函数后退 前进 目录 退出x趋于时的函数极限趋于例如 函数当时,10203040O0.51为极限.以x趋于时的函数极限任意给定存在x趋于时的函数极限任意给定存在x趋于时的函数极限

2、注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 所以(由定义1),例1 证明 任给证取与不同点.比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点请大家x趋于时的函数极限例2证任给这就是说x趋于时的函数极限定义3记为或存在当x趋于时的函数极限例4证明所以结论成立.证 对于任意正数 , x趋于时的函数极限x趋于x0 时的函数极限设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 内有定义. 为极限的定义.下面我们直接给出函数 f (x) 时以常数 A x趋于x0 时的函数极限定义1或者记为x趋于x0 时的函数极限 x趋于x0 时的函数极限例5证明分析时, 使 x趋于x0 时的函数极限这就证明了证只要 式就能成立, 因

3、 x趋于x0 时的函数极限故取 即可.例6证明因为此时有可以先限制故只要所以要使分析 x趋于x0 时的函数极限例7证明：注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 x趋于x0 时的函数极限证首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故 x趋于x0 时的函数极限OCDBAyxx例8证明：证 因为则这就证明了所需的结论. x趋于x0 时的函数极限在上面例题中, 需要注意以下几点：, 我们强调其存在性. 1. 对于的不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3. 正数是任意

4、的,一旦给出,它就是确定的常数., 那么比它更小的正是不唯一的, 一旦求出了 换句话说,对于固定有时为了方便,需要让 小于某个正数. 当然也能满足要求. 样的 能找到相应的 , 那么比它大的 , 这个 一旦对这 x趋于x0 时的函数极限单侧极限x 既可以从 x0但在某些时在定义区间的端点和分段函数的分界点等.候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数单侧极限定义5则称 A 为函数 f 当时的右(左)右极限与左极限统称为单侧极限. 极限,记作有时记 A为常数. 若对于任意正数 ,单侧极限为了方便起见, 例7 讨论函数解因为所以单侧极限例9 证明狄利克雷函数证 处处无极限.单侧极限则有也有证毕.例10 对于黎曼函数证 因为在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理数至多只有个 , 单侧极限故可设这些有理数为这就是说，除了这 n 个点外 , 其他点的函数值都对以上两种情形都有这就证明