(新高考)高考数学一轮复习课时练习4.4.1《利用导数证明不等式》(含解析)

1、第4讲导数的综合应用第1课时利用导数证明不等式作差构造法 设f(x)2xln x1.求证：f(x)x2xeq f(1,x)2ln x.【证明】x2xeq f(1,x)2ln xf(x)x(x1)eq f(x1,x)2(x1)ln x(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)2ln x)(x0)，令g(x)xeq f(1,x)2ln x，则g(x)1eq f(1,x2)eq f(2,x)eq f(（x1）2,x2)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，所以当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，所以(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x

2、)2ln x)0，即f(x)x2xeq f(1,x)2ln x.eq avs4al()待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证 已知f(x)1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x.证明：当x1时，f(x)eq f(2,x).证明：由f(x)eq f(2,x)得1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x0.令h(x)1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x(x1)，则h(1)0，h(x)eq f(1ln x,x2)eq f(e,ex)e

3、q f(1,x2)1eq f(ln x,x2)eq f(e,ex)1.因为x1，所以h(x)eq f(ln x,x2)eq f(e,ex)10，所以h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)h(1)0，即1eq f(ln x,x)eq f(e,ex)eq f(1,x)x0，所以当x1时，f(x)eq f(2,x).隔离分析法 (2020福州模拟)已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0.【解】(1)f(x)eq f(e,x)a(x0)，若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0 x0；当xeq f(e,

4、a)时，f(x)0，所以只需证f(x)eq f(ex,x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1)e.记g(x)eq f(ex,x)2e(x0)，则g(x)eq f(（x1）ex,x2)，所以当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e.综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)eq f(ex,x)2e，即xf(x)ex2ex0.方法二：由题意知，即证exln xex2ex2ex0，从而等价于ln xx2eq f(ex,ex).设函数g(x)ln xx2，则g(x)eq f(1,x)

5、1.所以当x(0，1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而g(x)在(0，)上的最大值为g(1)1.设函数h(x)eq f(ex,ex)，则h(x)eq f(ex（x1）,ex2).所以当x(0，1)时，h(x)0，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而h(x)在(0，)上的最小值为h(1)1.综上，当x0时，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0.eq avs4al() (1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题(2)在证明过程中，“隔离”化是关键，此处

6、f(x)ming(x)max恒成立从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值” 设函数f(x)x2(x1)ln x，求证：当0eq f(1,2)x.证明：只需证xeq f(ln x,x)ln xeq f(1,2)，即xln xeq f(ln x,x)eq f(1,2)，令g(x)xln x，h(x)eq f(ln x,x)eq f(1,2)，由g(x)1eq f(1,x)0，解得x1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2上单调递增，故g(x)ming(1)1，由h(x)eq f(1ln x,x2)可知h(x)在(0，2上单调递增，故h(x)maxh

7、(2)eq f(1ln 2,2)1g(x)min，故h(x)eq f(1,2)x.换元构造法 已知函数f(x)ln xax(x0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1x2)求证：x1x2e2.【证明】不妨设x1x20，因为ln x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以eq f(ln x1ln x2,x1x2)a，欲证x1x2e2，即证ln x1ln x22.因为ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证aeq f(2,x1x2)，所以原问题等价于证明eq f(ln x1ln x2,x1x2)eq f(2

8、,x1x2)，即lneq f(x1,x2)eq f(2（x1x2）,x1x2)，令ceq f(x1,x2)(c1)，则不等式变为ln ceq f(2（c1）,c1).令h(c)ln ceq f(2（c1）,c1)，c1，所以h(c)eq f(1,c)eq f(4,（c1）2)eq f(（c1）2,c（c1）2)0，所以h(c)在(1，)上单调递增，所以h(c)h(1)ln 100，即ln ceq f(2（c1）,c1)0(c1)，因此原不等式x1x2e2得证eq avs4al()换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量ceq f(x1,x2)，从而构造相

9、应的函数其解题要点为： 联立消参利用方程f(x1)f(x2)消掉解析式中的参数a抓商构元令ceq f(x1,x2)，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)用导求解利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论 已知函数f(x)ln xx2x.若正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20.求证：x1x2eq f(r(5)1,2).证明：f(x)ln xx2x(x0)由f(x1)f(x2)x1x20，得ln x1xeq oal(2,1)x1ln x2xeq oal(2,2)x2x1x20.从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)令(t)tln t

10、，得(t)1eq f(1,t)eq f(t1,t).易知(t)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2eq f(r(5)1,2). A级基础练1若0 x1x2a都有x2ln x1x1ln x2x1x2成立，则a的最大值为()Aeq f(1,2) B1Ce D2e解析：选B.原不等式可转化为eq f(1ln x1,x1)eq f(1ln x2,x2)，构造函数f(x)eq f(1ln x,x)，则f(x)eq f(ln x,x2)，故函数在(0，1)上导数大于零，单调递增，在(1，)上导数小于零，

11、单调递减由于x1x2且f(x1)f(x2)，故x1，x2在区间(0，1)上，故a的最大值为1.2若0 x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2解析：选C.令g(x)exln x，则当x(0，1)时，g(x)exeq f(1,x)的符号不确定，所以在区间(0，1)上的单调性不确定，因此选项A，B中的大小关系无法确定令f(x)eq f(ex,x)，则f(x)eq f(xexex,x2)eq f(ex（x1）,x2).当0 x1时，f(x)0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0 x1x21，所以f(x2)f(x1)，即eq f(ex2,x2)x1ex2，故

12、选C.3已知函数f(x)aexln x1(e2.718 28是自然对数的底数)(1)设x2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexeq f(1,x).由题设知，f(2)0，所以aeq f(1,2e2).从而f(x)eq f(1,2e2)exln x1，f(x)eq f(1,2e2)exeq f(1,x).当0 x2时，f(x)2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当aeq f(1,e)时，f(x)eq f(ex,e)ln x

13、1.设g(x)eq f(ex,e)ln x1，则g(x)eq f(ex,e)eq f(1,x).当0 x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此，当aeq f(1,e)时，f(x)0.4已知函数f(x)1eq f(x1,ex)，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1eq f(1,e2).证明：(1)由题意得g(x)eq f(x1,x)(x0)当0 x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数所以g(x)g(1)1.(2)由f(x)1eq f(x1,ex)

14、，得f(x)eq f(x2,ex)，所以当0 x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，所以f(x)f(2)1eq f(1,e2)，当且仅当x2时，等号成立又由(1)知xln x1，当且仅当x1时，等号成立，且等号不能同时取到，所以(xln x)f(x)1eq f(1,e2).B级综合练5已知函数f(x)axxln x在xe2(e为自然对数的底数)处取得极小值(1)求实数a的值；(2)当x1时，求证：f(x)3(x1)解：(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因为函数f(x)在xe2处取得极小值，所以f(e2)0，即aln

15、e210，所以a1，所以f(x)ln x2.当f(x)0时，xe2；当f(x)0时，0 x0)g(x)ln x1，由g(x)0，得xe.由g(x)0，得xe；由g(x)0，得0 x0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)6已知函数f(x)xln xax.(1)当a1时，求函数f(x)在(0，)上的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1eq f(1,ex1)eq f(2,e2x)成立解：(1)函数f(x)xln xax的定义域为(0，)当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得xeq f(1,e2).当xeq blc(rc)(a

16、vs4alco1(0，f(1,e2)时，f(x)eq f(1,e2)时，f(x)0.所以f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,e2)上单调递减，在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e2)，)上单调递增因此f(x)在xeq f(1,e2)处取得最小值，即f(x)minfeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,e2)eq f(1,e2).(2)证明：当x0时，ln x1eq f(1,ex1)eq f(2,e2x)等价于x(ln x1)eq f(x,ex1)eq f(2,e2).由(1)知a1时，f(x)xln xx的最小值是eq f(1,e2)，当且仅当xeq f(1,e2)时取等号设G(x)eq f(x,ex1)eq f(2,e2)，x(0，)则G(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,eex)f(2,e2)eq f(1x,ex1)，易知G(x)maxG(1)eq f(1,e2)，当且仅当x1时取到，从而可知对一切x(0，)，都有f(x