同步检测：立体几何中的向量方法

1、PAGE10新课标高二数学同步测试（21第三章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A60B90C105D75图2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（图ABCD图3如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，

2、则BD1与AF1图ABCD4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）ABCDAA1DCBB1C1图5已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱AA1DCBB1C1图ABCD6在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（）ABCD7在三棱锥1C1C1C1C1C分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC17（12分）在四棱锥2a1C1C1C1CABCDOS图ABCDA1B1C1D1E图AEA1DCBB1C1D1F图BA1yFEB1C1D1DCAED1yAC1B1A1BDCyD1A1DB1C1CBAFyEMD1C1B1A1CDBAC的法向量，ABCDOS图ABCDA1B

3、1C1D1E图AEA1DCBB1C1D1F图BA1yFEB1C1D1DCAED1yAC1B1A1BDCyD1A1DB1C1CBAFyEMD1C1B1A1CDBA由可得即解得：（1，1，1）由可得即解得（1，1，1），所以，所以平面A1EF平面B1MC注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用来证明17（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD

4、所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=AE与CD所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段18解：（1）略（2）如图，建立空间直角坐标系Dy,则知B（1，1，0），设得则令设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段即点A1到平面BDFE的距离为1（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则A1HD为等

5、腰直角三角形，A1B1C1D1AA1B1C1D1ABCDEy，（）不难证明为平面BC1D的法向量，D1E与平面BC1D所成的角的大小为（即）（）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，二面角DBC1C的大小为（）B1D1平面BC1D，B1D1与BC1之间的距离为20证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EFAC，EGB1C，FGAB11分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（E，0，a），F（

6、0，yF，a），G（0，0，G）=（a，a，a），=（0，a，a），（E，yF，0），=（a，a，0），=（a，0，a），=a，a，a0，a，a=0，同理，而与不共线且相交于点A，平面ACB1，又已知平面EFG，平面EFG平面ACB1；又因为平面EFG，所以，则=0，即a，a，aE，yF，0=0，化简得EyF=0；同理EG=0,yFG=0，易得=，EFG为正三角形2解：因为EFG是正三角形，显然当EFG与A1C1D重合时，EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=a，=sin600=a2=a2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1HD1B并交BB1于点H，则O1H平面A1C1D，垂足为O1，则O1，a，Ha，a，而作为平面A1C1D的法向量，所以异面直线EF与B1C的距离设为d是d=a证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只