(新高考)高考数学一轮复习讲与练第7章§7.9《空间动态问题突破　培优课》(含详解)

1、7.9空间动态问题突破题型一空间位置关系的判定例1(1)如图，在矩形ABCD中，BC1，ABx，BD和AC交于点O，将BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是()A存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ABOCB存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得ACBDC存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB平面ACDD存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC平面ABD答案D解析当ABx1时，此时矩形ABCD为正方形，则ACBD，将BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD平面BCD时，由OCBD，OC平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以OC平面ABD，又AB平面ABD，所以ABOC，故A正确；

2、又OCBD，OABD，且OAOCO，OA，OC平面OAC，所以BD平面OAC，又AC平面OAC，所以ACBD，故B正确；在矩形ABCD中，ABAD，ACeq r(1x2)，所以将BAD沿直线BD翻折时，总有ABAD，取xeq f(1,2)，当将BAD沿直线BD翻折到ACeq f(r(3),2)时，有AB2AC2BC2，即ABAC，且ACADA，AC，AD平面ACD，则此时满足AB平面ACD，故C正确；若AC平面ABD，又AO平面ABD，则ACAO，所以在AOC中，OC为斜边，这与OCOA相矛盾，故D不正确. (2)(多选)(2022烟台质检)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段

3、BC1上运动，则下列判断中正确的是()A平面PB1D平面ACD1BA1P平面ACD1C异面直线A1P与AD1所成的角的范围是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,3)D三棱锥D1APC的体积不变答案ABD解析对于A，根据正方体的性质，易证DB1平面ACD1，又DB1平面PB1D，则平面PB1D平面ACD1，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1(图略)，易证明平面BA1C1平面ACD1，又A1P平面BA1C1，所以A1P平面ACD1，故B正确；对于C，当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成的角取最小值eq f(,3)，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成的角

4、取最大值eq f(,2)，故A1P与AD1所成的角的范围是eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,2)，故C错误；对于D， SKIPIF 1 0，则x21，在AD1P中，AD1eq r(2)，cosAD1Peq f(r(2)2r(3)21,2r(2)r(3)eq f(r(6),3)，于是由余弦定理得x22t22eq r(2)teq f(r(6),3)，于是2t22eq r(2)teq f(r(6),3)1，即3t24eq r(3)t30，解得teq r(3)或t1(舍去)或0eq f(1,3).5(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M分别为棱CD，C

5、C1的中点Q为线段A1B上任一点，则下列说法正确的是()A平面APM内存在直线与A1D1平行B平面APM截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面的面积为eq f(9,8)C直线AP和DQ所成的角可能为60D直线AP和DQ所成的角可能为30答案BC解析对于选项A，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BCA1D1，在平面ABCD中，直线AP，BC相交，所以直线BC与平面APM相交，故直线A1D1与平面APM相交，故平面APM内不存在直线与A1D1平行，所以选项A错误；对于选项B，如图，连接C1D，AB1，因为P，M分别为棱CD，CC1的中点，所以PMC1D，PMeq f(1,2)C1D，在正方体A

6、BCDA1B1C1D1中，AB1C1D，所以PMAB1，连接B1M，则梯形AB1MP为所求的截面，易知APB1Meq r(1f(1,4)eq f(r(5),2)，PMeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(2),2)，AB1eq r(2)，所以等腰梯形AB1MP的高为eq r(AP2blc(rc)(avs4alco1(f(AB1PM,2)2)eq r(f(5,4)blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)2)eq f(3r(2),4)，所以梯形AB1MP的面积为eq f(1,2)eq blc(rc

7、)(avs4alco1(f(r(2),2)r(2)eq f(3r(2),4)eq f(9,8)，选项B正确；对于选项C，D，以D为坐标原点，eq o(DA,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DD1,sup6()的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，eq o(A1B,sup6()(0,1，1)，eq o(DA1,sup6()(1,0,1)，eq o(PA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco

8、1(1，f(1,2)，0)，设eq o(A1Q,sup6()eq o(A1B,sup6()(0,1，1)(0，)，01，所以eq o(DQ,sup6()eq o(DA1,sup6()eq o(A1Q,sup6()(1，1)，所以|coseq o(PA,sup6()，eq o(DQ,sup6()|eq f(blc|rc|(avs4alco1(1f(1,2),f(r(5),2)r(1212)eq f(2,r(10)r(21).当eq f(2,r(10)r(21)cos 60eq f(1,2)，即210时，解得eq f(r(5)1,2)，其中eq f(r(5)1,2)0,1，当eq f(2,r(10

9、)r(21)cos 30eq f(r(3),2)，即132770时，方程无解所以直线AP和DQ所成的角可能为60，但不可能为30，选项C正确，选项D错误6(多选)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN.给出的下列说法中正确的是()A点P可以是棱BB1的中点B线段MP的最大值为eq f(3,4)C点P的轨迹是正方形D点P的轨迹长度为2eq r(5)答案BD解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的

10、中点，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，1)，C(0,1,0)，eq o(CN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，1)，设P(x，y，z)，则eq o(MP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)，yf(1,2)，zf(1,2)，MPCN，eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)zeq f(1,2)0，即2x4z30，当x1时，zeq f(1,

11、4)，当x0时，zeq f(3,4)，取Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,4)，Feq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,4)，Geq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(3,4)，Heq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(3,4)，连接EF，FG，GH，HE，则eq o(EF,sup6()eq o(HG,sup6()(0,1,0)，eq o(EH,sup6()eq o(FG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，四边形EFGH为矩形，又eq o(EF,sup6()eq o(CN,sup

12、6()0，eq o(EH,sup6()eq o(CN,sup6()0，即EFCN，EHCN，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，CN平面EFGH，又eq o(EM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,4)，eq o(MG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,4)，M为EG的中点，则M平面EFGH，为使MPCN，必有点P平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，点P的轨迹为四边形EFGH，点P不可能是棱BB1的中点，故选项A错误；又EFGH1，EHFGeq f(r(5),2)，EFE

13、H，则点P的轨迹是矩形不是正方形，且矩形EFGH的周长为22eq f(r(5),2)2eq r(5)，故选项C错误，选项D正确；点P的轨迹为矩形EFGH，当P点在矩形的四个端点时，MP取得最大值，且MP的最大值为eq f(3,4)，故B正确7.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为线段AB1上的动点(含端点)，则下列结论正确的是()A平面BCM平面A1AMB三棱锥BMB1C体积的最大值为eq f(1,6)C当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为eq f(r(2),3)D直线CM与A1D所成的角不可能是eq f(,4)答案ABC解析对于A，BCAB

14、，BCBB1，ABBB1B，AB，BB1平面AA1M，BC平面AA1M，又BC平面BCM，平面BCM平面A1AM，A正确；对于B， SKIPIF 1 0 M为AB1上的动点，当M与A重合时， SKIPIF 1 0 取得最大值为eq f(1,2)ABBB1eq f(1,2)， SKIPIF 1 0 eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,6)，B正确；对于C，以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，当M为AB1的中点时，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,2)，又B1(1,1,0)，C(0,1,1)，D(0,0,1)，eq o(B1D,sup

15、6()(1，1,1)，eq o(CM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,2)，coseq o(B1D,sup6()，eq o(CM,sup6()eq f(o(B1D,sup6()o(CM,sup6(),|o(B1D,sup6()|o(CM,sup6()|)eq f(1,r(3)f(r(6),2)eq f(r(2),3)，当M为AB1的中点时，直线B1D与直线CM所成的角的余弦值为eq f(r(2),3)，C正确；对于D，如C中所建立的空间直角坐标系，设M(1，y，z)，eq o(AM,sup6()eq o(AB1,sup6()(01)，又A(1,0

16、,1)，eq o(AB1,sup6()(0,1，1)，eq o(AM,sup6()(0，y，z1)，(0，y，z1)(0，)，则y，z1，M(1，1)，eq o(CM,sup6()(1，1，)，又eq o(A1D,sup6()(1,0,1)，|coseq o(CM,sup6()，eq o(A1D,sup6()|eq f(|o(CM,sup6()o(A1D,sup6()|,|o(CM,sup6()|o(A1D,sup6()|)eq f(|1|,r(1122)r(2)，若直线CM与A1D所成的角为eq f(,4)，则eq f(|1|,r(1122)r(2)eq f(r(2),2)，解得2eq r(

17、3)，又0,1，当2eq r(3)，即eq o(AM,sup6()(2eq r(3)eq o(AB1,sup6()时，直线CM与A1D所成的角为eq f(,4)，D错误8(多选)正三棱柱ABCA1B1C1(底面是正三角形，侧棱垂直底面)的各条棱长均相等，D为AA1的中点M，N分别是BB1，CC1上的动点(含端点)，且满足BMC1N.当M，N运动时，下列结论中正确的是()A平面DMN平面BCC1B1B三棱锥A1DMN的体积为定值CDMN可能为直角三角形D平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,4)答案ABD解析如图，当M，N分别是BB1，CC1

18、上的动点(含端点)，且满足BMC1N时，则线段MN一定过正方形BCC1B1的中心O，而DO平面BCC1B1，DO平面DMN，可得平面DMN平面BCC1B1，故A正确；当M，N分别是BB1，CC1上的动点(含端点)时，过点M作A1D边上的高，其长等于AB的长，所以A1DM的面积不变，由于C1N平面A1DM，故点N到平面A1DM的距离等于点C1到平面A1DM的距离，则点N到平面A1DM的距离为定值，故三棱锥A1DMN的体积为定值，所以B正确；由BMC1N可得，DNDM ，若DMN为直角三角形，则一定是以MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DN，DM的长都大于BB1，故DMN不可

19、能为直角三角形，所以C不正确；当M，N分别是BB1，CC1的中点时，平面DMN与平面ABC平行，所成角为0度；当M与B重合，N与C1重合，平面DMN与平面ABC所成锐二面角最大；延长C1D交CA于G，连接BG，则平面DMN平面ABCGB，由于D为AA1的中点，AA1CC1，所以DACC1，且DAeq f(1,2)CC1，故在C1GC中，D为C1G的中点，A为CG的中点，在C1GB中，D为C1G的中点，O为BC1的中点，故DOGB，由于DO平面BCC1B1，所以GB平面BCC1B1，则GBBC，GBBC1，所以平面DMN与平面ABC所成锐二面角最大为C1BCeq f(,4)，故D正确9如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD的中点，点P在底面ABCD内(不包括边界)运动，若B1P平面A1BM，则C1P的长度的取值范围是_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(r(30),5)，r(2)解析如图，取BC的中点N，连接B1D，B1N，DN，过C作CODN于O，连接C1O，由正方体的性质知DNMB，A1MB1N，