考点例析：生活中的优化问题举例

1、PAGE5生活中的优化问题举例知识梳理1、在生产实践及科学实验中，常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2、不少优化问题，可以化为求函数最值问题，对于函数的最值问题，多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大（小）值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题

2、；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题等。3、利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决数学模型建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值。解决生活中的优化问题应当注意的问题：（1）在求实际问题的最大值、最小值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去；（2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极

3、大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值；（3）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应该确定函数关系式中自变量的定义区间。典例剖析题型一面积最小问题例1如图，等腰梯形的三边分别与函数，的图象切于点求梯形面积的最小值。解：设梯形的面积为，点P的坐标为。由题意得，点的坐标为，直线的方程为。，直线的方程为即：令得，令得，当且仅当，即时，取“=”且，时，有最小值为梯形的面积的最小值为。评析：本题用不等式求最小值，也可以用导数求最小值。题型二最大利润问题例2某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量t与每吨产品的价格p元/t之间的关系式为:p=

4、242002,且生产t的成本为:R=50000200元问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大最大利润是多少利润=收入成本解:每月生产吨时的利润为f=24200250000200=324000500000由f=224000=0,解得1=200,2=200舍去f在0,内只有一个点1=200使f=0,它就是最大值点f的最大值为f200=3150000元每月生产200t才能使利润达到最大,最大利润是315万元评析：当只有一个点使时，就是最大利润。例3：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升），关于行驶速度（千米/时）的函数，解析式可以表示为（），已知甲、乙两地相距100千米，（1）当

5、汽车以40千米/（2）当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升解：（1）当=40千米时，汽车从甲地到乙地，行驶了小时，要消耗汽油。（2）当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地，行驶了小时，设耗油量为h升，依题意得h=令=0，解得=80当（0，80）时，因为0,h是增函数所以当=80时，因为h在（0，120上只有一个极值，所以这个极值就是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25评析：函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决思悟小结在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，