(新高考)高考数学一轮复习第43讲《利用空间向量求空间角和距离》达标检测(解析版)

1、第43讲 利用空间向量求空间角和距离（达标检测）A组应知应会1（让胡路区校级三模）在长方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出 SKIP

2、IF 1 0 的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成角的大小【解答】解：如图，以 SKIPIF 1 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的方向为 SKIPIF 1 0 轴、 SKIPIF 1 0 轴、 SKIPIF 1 0 轴的正方向建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， S

3、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 所成角的大小为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 2（春济宁期末）已知正四棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0

4、C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】以 SKIPIF 1 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解空间角【解答】解：如图，以 SKIPIF 1 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 轴建立空间直角坐标系则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

5、 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 直线 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 3（春如东县期末）在长方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF

6、1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值【解答】解：在长方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF

7、1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， S

8、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，则直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为： SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 4（武侯区校级模拟）如图示，三棱锥 SKIPIF 1 0 的底面 SKIPIF 1 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则

9、SKIPIF 1 0 与面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值等于 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】可以把三棱椎 SKIPIF 1 0 补成棱长为1的正方体，以 SKIPIF 1 0 为原点建立空间直角坐标系，求得面 SKIPIF 1 0 的法向量即可求解【解答】解： SKIPIF 1 0 三棱椎 SKIPIF 1 0 的底面 SKIPIF 1 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

10、可以把三棱椎 SKIPIF 1 0 补成棱长为1的正方体，如图所示如图，以 SKIPIF 1 0 为原点建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设面 SKIPIF 1 0 的法向量为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1

11、0 与面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值等于 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 5（春上饶期末）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的中点，当 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKI

12、PIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】设 SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为原点，以垂直于 SKIPIF 1 0 的直线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 0 ，求出 SKIPIF 1 0 得到 SKIPIF 1 0 ，再求出平面 SKIPIF 1 0 的法向量，由此能求出 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角

13、的正弦值【解答】解：设 SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为原点，以垂直于 SKIPIF 1 0 的直线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，

14、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与平

15、面 SKIPIF 1 0 所成角 SKIPIF 1 0 的正弦值为： SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 6（春绵阳期末）在三棱锥 SKIPIF 1 0 中，面 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点设 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值的范围为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKI

16、PIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由题意画出图形，证明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为坐标原点，过 SKIPIF 1 0 作平行于 SKIPIF 1 0 的直线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 轴建立空间直角坐标系设 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，分别求出平面 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 的一个法向量，得到二面角 SKIPI

17、F 1 0 的余弦值，再由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 得答案【解答】解：如图，由面 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ，面 SKIPIF 1 0 面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，以 SKIPIF 1 0 为坐标原点，过 SKIPIF 1 0 作平行于 SKIPIF 1 0 的直线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 轴建立空间直角坐标系设 SKIPI

18、F 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPI

19、F 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ；设平面 SKIPIF 1 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 由图可知，二面角 SKIPIF 1 0 的平面角为锐角，则二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 则二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值

20、范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 7（2019秋莲都区校级月考）如图，四棱柱 SKIPIF 1 0 中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线 SKIPIF 1 0 与直线 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，二面角 SKIPIF 1 0 的平面角为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】连结

21、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，交于点 SKIPIF 1 0 ，连结 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：连结 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，交于点 SKIPIF 1 0 ，连结 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， S

22、KIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0，

23、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

24、 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 8（春洮北区校级期末）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别在棱 SKIPIF 1 0 和棱 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则二面角 SKIPIF 1 0 的正切值为 【分析】以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKI

25、PIF 1 0 轴，过 SKIPIF 1 0 作平面 SKIPIF 1 0 的垂线为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 SKIPIF 1 0 的正切值【解答】解：以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，过 SKIPIF 1 0 作平面 SKIPIF 1 0 的垂线为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

26、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

27、 ，则 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，设二面角 SKIPIF 1 0 的平面角为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二面角 SKIPIF 1 0 的正切值为 SKIPIF 1 0 9（2019秋阳泉期末）在正方体 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 【分

28、析】以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值【解答】解：在正方体 SKIPIF 1 0 中，设棱长为1，以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1

29、 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0

30、 ，设 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 10（2019秋泰安期末）已知四棱锥 SKIPIF 1 0 的底面 SKIPIF 1 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKI

31、PIF 1 0 所成角的正弦值是 【分析】以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，过 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 平行线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值【解答】解：以 SKIPIF 1 0 为原点， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 轴，过 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 平行线为 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 为 SK

32、IPIF 1 0 轴，建立空间直角坐标系， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ，

33、设直线 SKIPIF 1 0 与平面 SKIPIF 1 0 所成角为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 11（长春四模）已知正方体 SKIPIF 1 0 的棱长为2，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别是棱 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中点，则二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值为 SKIPIF 1 0 若动点 SKIPIF 1 0 在正方形 SKIPIF 1 0 （包括边界）内运动，且 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，则线段 SKIPIF 1 0 的长度范围是【分析】易知 SKI

34、PIF 1 0 为二面角 SKIPIF 1 0 的平面角，利用相似的性质可求得 SKIPIF 1 0 ，进而求得 SKIPIF 1 0 ，由此得解二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；建立空间直角坐标系，可求得点 SKIPIF 1 0 的轨迹为经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 中点的线段，再根据对称性即可求得线段 SKIPIF 1 0 长度的最值，进而得到取值范围【解答】解：延长 SKIPIF 1 0 至 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，如图，由于 SKIPIF 1 0 为正方体，由三垂线定理易知 SKIPIF 1 0

35、为二面角 SKIPIF 1 0 的平面角，而 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ；以点 SKIPIF 1 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，2， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，0， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，

36、 SKIPIF 1 0 ，设平面 SKIPIF 1 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，故可取 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 的轨迹为经过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 中点的线段，根据对称性可知，当点 SKIPIF 1 0 在两个中点时， SKIPIF 1 0 ，当点 SKIPIF 1 0 在两个中点的中点时， SKIPIF 1 0 ，故选段 SKIPIF 1 0 的长度范围是 SKIPIF

37、1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 12.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解：(1)证明：由已知得AMeq f(2,3)AD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNeq f(1,2)BC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而A

38、EAD，AEeq r(AB2BE2) eq r(AB2blc(rc)(avs4alco1(f(BC,2)2)eq r(5).以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(eq r(5)，2,0)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(PM,sup7()(0,2，4)，eq o(PN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，1，2)，eq o(AN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5

39、),2)，1，2).设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则eq blcrc (avs4alco1(no(PM,sup7()0，,no(PN,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y4z0，,f(r(5),2)xy2z0，)可取n(0,2,1)于是|cosn，eq o(AN,sup7()|eq f(|no(AN,sup7()|,|n|o(AN,sup7()|)eq f(8r(5),25).设AN与平面PMN所成的角为，则sin eq f(8r(5),25)，即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为eq f(8r(5),25).13已知在四棱锥PABCD中，平面PDC平面

40、ABCD，ADDC，ABCD，AB2，DC4，E为PC的中点，PDPC，BC2eq r(2).(1)求证：BE平面PAD；(2)若PB与平面ABCD所成角为45，点P在平面ABCD上的射影为O，问：BC上是否存在一点F，使平面POF与平面PAB所成的角为60？若存在，试求点F的位置；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取PD的中点H，连接AH，EH，则EHCD，EHeq f(1,2)CD，又ABCD，ABeq f(1,2)CD2，EHAB，且EHAB，四边形ABEH为平行四边形，故BEHA.又BE平面PAD，HA平面PAD，BE平面PAD.(2)存在，点F为BC的中点理由：平面PDC平面ABC

41、D，PDPC，作PODC，交DC于点O，连接OB，可知O为点P在平面ABCD上的射影，则PBO45.由题可知OB，OC，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，由题知OC2，BC2eq r(2)，OB2，由PBO45，可知OPOB2，P(0,0,2)，A(2，2,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)设F(x，y，z)，eq o(BF,sup7()eq o(BC,sup7()，则(x2，y，z)(2,2,0)，解得x22，y2，z0，可知F(22，2，0)，设平面PAB的一个法向量为m(x1，y1，z1)，eq o(PA,su

42、p7()(2，2，2)，eq o(AB,sup7()(0,2,0)，eq blcrc (avs4alco1(mo(PA,sup7()0，,mo(AB,sup7()0，)得eq blcrc (avs4alco1(2x12y12z10，,2y10，)令z11，得m(1,0,1)设平面POF的一个法向量为n(x2，y2，z2)，eq o(OP,sup7()(0,0,2)，eq o(OF,sup7()(22，2，0)，eq blcrc (avs4alco1(no(OP,sup7()0，,no(OF,sup7()0，)得eq blcrc (avs4alco1(2z20，,22x22y20，)令y21，得

43、neq blc(rc)(avs4alco1(f(,1)，1，0).cos 60eq f(|mn|,|m|n|)eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(,1),r(11)r(blc(rc)(avs4alco1(f(,1)21)，解得eq f(1,2)，可知当F为BC的中点时，两平面所成的角为60.14.如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，且PDAB.(1)从下列两个条件中任选一个条件证明：AB平面PAD.O是AD的中点，且BOCO；ACBD.(2)在(1)条件下，若AD2AB4，PAPD，点M在侧棱PD上，且PD3MD，二面角PBCD的大小为eq f(,4)，求直线BP与平面MA

44、C所成角的正弦值解：(1)证明：选择条件四边形ABCD为平行四边形，且ACBD，四边形ABCD为矩形，ABAD.又ABPD，且ADPDD，故AB平面PAD.选择条件在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，如图，因为O是AD的中点，所以ABON.又BOCO，所以ONBC.所以ABBC，又在平行四边形ABCD中，BCAD，所以ABAD.又ABPD，且PDADD，AD平面PAD，PD平面PAD，故AB平面PAD.(2)由(1)知AB平面PAD，又AB平面ABCD，于是平面PAD平面ABCD，连接PO，PN，由PAPD，可得POAD，则POBC，又ONBC，PONOO，所以BC平面PNO，

45、所以PNBC，故二面角PBCD的平面角为PNO，则PNOeq f(,4).由此得POAB2.以O为坐标原点，ON，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，2,0)，B(2，2,0)，C(2,2，0)，P(0,0,2)，由PD3MD可得Meq blc(rc)(avs4alco1(0，f(4,3)，f(2,3)，所以eq o(AC,sup7()(2,4,0)，eq o(AM,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(10,3)，f(2,3)，eq o(BP,sup7()(2,2,2)设平面MAC的法向量为n(x，y，z)，由eq blcrc (a

46、vs4alco1(no(AC,sup7()0，,no(AM,sup7()0)eq blcrc (avs4alco1(2x4y0，,10y2z0，)令y1，得eq blcrc (avs4alco1(x2，,z5，)所以n(2,1，5)为平面MAC的一个法向量设直线BP与平面MAC所成的角为，则sin eq blc|rc|(avs4alco1(f(o(BP,sup7()n,|o(BP,sup7()|n|)eq f(|4210|,2r(3)r(30)eq f(r(10),15)，故直线BP与平面MAC所成角的正弦值为eq f(r(10),15).15（合肥三模）如图，边长为2的等边 SKIPIF 1

47、 0 所在平面与菱形 SKIPIF 1 0 所在平面互相垂直， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 的中点（1）求证：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离【分析】（1）由已知得 SKIPIF 1 0 ，求解三角形得 SKIPIF 1 0 ，进一步得到 SKIPIF 1 0 在等边 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 由直线与平面垂直的判定得到 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，从而得到平面 SKIPI

48、F 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）证明 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，知直线 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两两垂直以点 SKIPIF 1 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面 SKIPIF 1 0 的一个法向量 SKIPIF 1 0 ，再求出 SKIPIF 1 0 的坐标，利用公式 SKIPIF 1 0 求点 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距离【解答】（1）证明： SKIPIF 1 0 四边形 SKIPIF 1 0 是菱形， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 是等边三角形 SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 的中点， SKIP