(新高考)高考数学一轮考点复习8.4《椭圆》教案 (含详解)

PAGEPAGE25第四节椭圆核心素养立意下的命题导向1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．[理清主干知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．常用结论(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为eq\f(2b2,a)，过焦点最长弦为长轴．(2)过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b(3)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；③△PF1F2的周长为2(a＋c[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(椭圆的定义)设P是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝()A．4 B．8C．6 D．18解析：选C由定义知|PF1|＋|PF2|＝2a2．(椭圆的离心率)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3) B．eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(5,9)解析：选B∵椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故选B.3．(椭圆的方程)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,3)，则椭圆C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1解析：选D依题意，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(求参数)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m＝________.解析：椭圆x2＋my2＝1可化为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，因为其焦点在y轴上，所以a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依题意知eq\r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)二、易错点练清1．(忽视椭圆定义中2a>|F1F2|)到两定点F1(－2,0)和FA．椭圆 B．线段C．圆 D．以上都不对答案：B2．(忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.解析：①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.答案：4或83．(忽视椭圆上点的坐标满足的条件)已知点P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为______________．解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考点一椭圆定义的应用考法(一)利用定义求轨迹方程[例1](2021·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[解析]设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.[答案]D考法(二)求解“焦点三角形”问题[例2]椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq\r(3)，则△PF1F2的周长是()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3)) B．4＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3) D．eq\r(2)＋2eq\r(3)[解析]如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋eq\r(3))，故选A.[答案]A考法(三)利用定义求最值[例3]设点P是椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．[解析]如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，∴|AF′|＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq\r(2)＋eq\r(17)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4eq\r(2)－eq\r(17).∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4eq\r(2)－eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)]．[答案][4eq\r(2)－eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)][方法技巧]椭圆定义应用的类型及方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程焦点三角形问题利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a[针对训练]1．(多选)(2021·日照模拟)已知P是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，则()A．△PF1F2的周长为12 B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．点P到x轴的距离为eq\f(2\r(10),5) D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2解析：选BCD由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A选项错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，解得d＝eq\f(2\r(10),5)，故C选项正确；eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝|eq\o(PF1,\s\up7(→))|·|eq\o(PF2,\s\up7(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D选项正确．2．(2021·惠州调研)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为eq\f(2－\r(3),2)，点P为椭圆上的任意一点，则eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范围是________．解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1.①∵△F1AB的面积为eq\f(2－\r(3),2)，∴eq\f(1,2)(a－c)b＝eq\f(2－\r(3),2)，∴a－c＝2－eq\r(3).②由①②联立解得，a＝2，c＝eq\r(3).由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a∴eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq\f(4,|PF1|4－|PF1|)＝eq\f(4,－|PF1|2＋4|PF1|)，又2－eq\r(3)≤|PF1|≤2＋eq\r(3)，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)≤4，即eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范围是[1,4]．答案：[1,4]考点二椭圆的标准方程[例1]过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1[解析]法一：定义法椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故选C.法二：待定系数法设所求椭圆方程为eq\f(y2,25＋k)＋eq\f(x2,9＋k)＝1(k>－9)，将点(eq\r(3)，－eq\r(5))的坐标代入，可得eq\f(－\r(5)2,25＋k)＋eq\f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝－5，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故选C.[答案]C[例2]如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1[解析]由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故选C.[答案]C[方法技巧]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[针对训练]1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正确解析：选C直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.2．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由点P(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.所以椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.考点三椭圆的几何性质考法(一)求椭圆的离心率[例1](1)(2021·武汉模拟)已知椭圆方程为eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)(2)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，则C的离心率为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)因为a，b，a＋b成等差数列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因为a，b，ab成等比数列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，椭圆方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，c＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以离心率e＝eq\f(\r(2),2).故选C.(2)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，由eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，又点A在椭圆上，则eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故选D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒]在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.考法(二)求椭圆的离心率的范围[例2](1)(2021·湛江模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，则离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))(2)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF))＝6，点P到直线l的距离不小于eq\f(6,5)，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,9))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(\r(3),2)))[解析](1)设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，kPAkPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)×eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1)).又eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，两式做差，代入上式得kPAkPB＝－eq\f(b2,a2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故0<eq\f(b2,a2)<eq\f(1,3)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).(2)如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3.取P(0，b∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于eq\f(6,5)，∴eq\f(|3b|,\r(16＋9))≥eq\f(6,5)，解得b≥2.∴c≤eq\r(9－4)＝eq\r(5)，∴0<eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),3).∴椭圆E的离心率范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),3))).故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]求椭圆离心率范围的2种方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系直接法根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式题设条件直接有不等关系考法(三)与椭圆性质有关的最值或范围问题[例3]如图，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))的最大值为()A．1 B．2eq\r(3)C．4 D．4eq\r(3)[解析]设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.∴－2≤x0≤2，－eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).又F(－1,0)，A(2,0)，eq\o(PF,\s\up7(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PA,\s\up7(→))＝(2－x0，－y0)，∴eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o\al(2,0)－x0－2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)－x0＋1＝eq\f(1,4)(x0－2)2.当x0＝－2时，eq\o(PF,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))取得最大值4.故选C.[答案]C[方法技巧]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒]求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[针对训练]1．(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则下述正确的是()A．椭圆C的长轴长为10B．椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0,3)C．椭圆C的离心率等于eq\f(3,5)D．若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则|PQ|＝eq\f(32,5)解析：选ACD∵16x2＋25y2＝400，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴长轴长2a对于选项D，|PQ|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,5)，正确．故选A、C、D.2．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(6),3)解析：选D直线l的方程为y＝x±c，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB＝2c，设OC⊥AB，垂足为C，则OC＝eq\f(|±c|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2⇒a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2＋eq\f(1,2)c2⇒a2＝eq\f(3,2)c2⇒c＝eq\f(\r(6),3)a⇒e＝eq\f(\r(6),3)，故选D.3．已知F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选A设P(x0，y0)，由题易知|x0|<a，因为∠F1PF2为钝角，所以eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))<0有解，即c2>xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)有解，即c2>(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))min，又yeq\o\al(2,0)＝b2－eq\f(b2,a2)xeq\o\al(2,0)，xeq\o\al(2,0)<a2，故xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝b2＋eq\f(c2,a2)xeq\o\al(2,0)∈[b2，a2)，所以(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))min＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝eq\f(c2,a2)>eq\f(1,2)，解得e>eq\f(\r(2),2)，又0<e<1，故椭圆C的离心率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，故选A.一、创新思维角度——融会贯通学妙法椭圆中的垂径定理：kAB·kOM＝－eq\f(n,m).[证明]设椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上的两点，把点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),m)＋\f(y\o\al(2,1),n)＝1，,\f(x\o\al(2,2),m)＋\f(y\o\al(2,2),n)＝1，))将两式作差并整理得eq\f(x1－x2x1＋x2,m)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,n)＝0，记弦AB的中点为M(x0，y0)，若x1≠x2，则eq\f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝－eq\f(n,m)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(n,m)，从而kAB·eq\f(y0,x0)＝－eq\f(n,m)，即kAB·kOM＝－eq\f(n,m).[应用体验]1．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D．eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1解析：选D设AB的中点为M(1，－1)，则kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)，而kAB＝kMF＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，kOM＝－1，故eq\f(1,2)×(－1)＝－eq\f(b2,a2)，故a2＝2b2，①又a2＝b2＋9，②由①②解得a2＝18，b2＝9，故椭圆E的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.2．如果AB是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1 B．1－eC．e2－1 D．1－e2解析：选C易知kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)＝eq\f(c2,a2)－1＝e2－1.二、创新考查方式——领悟高考新动向1．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为eq\f(\r(7),4)，面积为12π，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,32)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,36)＝1解析：选A由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(abπ＝12π，,\f(c,a)＝\f(\r(7),4)，,a2＝b2＋c2，))解得a＝4，b＝3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1.2．(2021·宜昌夷陵中学模拟)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则()A．e1>e2B．e1<e2C．e1＝e2D．e1与e2的大小关系不能确定解析：选A设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1,2a2，焦距分别为2c1,由题意知a1>a2>0，c1>c2>0，且a1－c1＝a2－c2.令a1－c1＝a2－c2＝t，t>0，则a1＝t＋c1，a2＝t＋c2.所以eq\f(1,e1)＝eq\f(a1,c1)＝eq\f(c1＋t,c1)＝1＋eq\f(t,c1)，eq\f(1,e2)＝eq\f(a2,c2)＝eq\f(c2＋t,c2)＝1＋eq\f(t,c2).因为c1>c2>0，t>0，所以eq\f(t,c1)<eq\f(t,c2)，所以eq\f(1,e1)<eq\f(1,e2)，即e1>e2.故选A.3.如图，点A，B分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<5)的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为eq\r(15)x＋y－4eq\r(15)＝0，且eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))＝0，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，则椭圆上的点到点M的距离d的最小值为()A.eq\f(\r(7),4) B．eq\f(4\r(7),3)C.eq\f(\r(7),3) D．eq\f(3\r(7),4)解析：选D依题意得直线AP的方程为x－eq\r(15)y＋5＝0，直线PF与x轴的交点为(4,0)，即F(4,0)，∴b2＝25－16＝9，即椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.设M(m,0)(－5≤m≤5)，则M到直线AP的距离为eq\f(|m＋5|,4)，又|MB|＝|5－m|，∴eq\f(|m＋5|,4)＝|5－m|，∵－5≤m≤5，∴eq\f(m＋5,4)＝5－m，解得m＝3，∴M(3,0)．设椭圆上的点(x，y)(x∈[－5,5])到M(3，0)的距离为d，则d2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25)))＝eq\f(16,25)x2－6x＋18＝eq\f(16,25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(75,16)))2＋eq\f(63,16)，∵x∈[－5,5]，∴当x＝eq\f(75,16)时，d2最小，此时dmin＝eq\f(3\r(7),4).4．(多选)如图，记椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列命题中正确的是()A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称C．曲线C所围区域的面积必小于36D．曲线C的总长度不大于6π解析：选BC对于A，若点P在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错；对于B，联立两个椭圆的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,25)＋\f(y2,9)＝1，,\f(y2,25)＋\f(x2,9)＝1，))得y2＝x2，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；对于C，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故C正确；对于D，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故D错．故选B、C.eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、基础练——练手感熟练度1．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.()A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq\r(n)D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解析：选AD∵mx2＋ny2＝1，∴eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误．若m＝n＞0，则x2＋y2＝eq\f(1,n)，C是圆，半径为eq\f(1,\r(n))，C错误．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq\f(1,n)，∴y＝±eq\f(\r(n),n)，则C是两条直线，D正确．故选A、D.2．(2019·北京高考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，则()A．a2＝2b2 B．3a2＝4bC．a＝2b D．3a＝4解析：选B因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b3．已知焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,m)＝1的长轴长为8，则m＝()A．4 B．8C．16 D．18解析：选C椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A∵△AF1B的周长为4eq\r(3)，∴由椭圆的定义可知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故选A.5．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，则m＝()A．1 B．eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：选C∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3)，故选C.6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1解析：选D由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.故选D.二、综合练——练思维敏锐度1．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1解析：选C由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a＝2b.因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1，故选C.2．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4 B．3C．2 D．5解析：选A连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.故选A.3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1 D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±eq\r(5))，故可设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，则c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋eq\f(y2,6)＝1.4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq\f(1,4)，则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(1,2).故选B.5．(多选)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<eq\r(3))与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝eq\r(2)时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)解析：选AD设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；将y＝eq\r(2)与椭圆方程联立，可解得A(－eq\r(3)，eq\r(2))，B(eq\r(3)，eq\r(2))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴BA→·eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－2eq\r(3)，0)·(eq\r(6)－eq\r(3)，－eq\r(2))＝6－6eq\r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C错误；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正确．6．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))的值为()A.eq\f(3,4) B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,4) D．eq\f(5,2)解析：选A由AF2⊥F1F2，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，∵OB∥AF2且O为F1F2中点，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(3,4).7．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选B由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，∴a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|＋|MN|＝|F2M|＋|MF1当N，M，F2三点共线时取得最大值(如图)，而|F2M|＋|MF1|＝2∴|NF2|的最大值为4.故选B.8．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2eq\r(a)－1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))D．若eq\o(PF1,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，则椭圆C的长轴长为eq\r(5)＋eq\r(17)解析：选ACD因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2eq\r(a)－|QF2|＋|QP|≥2eq\r(a)－|PF2|＝2eq\r(a)－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,1)＝1，eq\f(1,2)＋eq\f(1,1)＞1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,a－1)＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞eq\f(3＋\r(5),2)＝eq\f(6＋2\r(5),4)＝eq\f(1＋\r(5)2,4)，所以eq\r(a)＞eq\f(1＋\r(5),2)，所以e＝eq\f(1,\r(a))＜eq\f(\r(5)－1,2)，所以椭圆C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5)－1,2)))，故C正确；若eq\o(PF1,\s\up7(→))＝eq\o(F1Q,\s\up7(→))，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝eq\f(11＋\r(85),2)＝eq\f(22＋2\r(85),4)＝eq\f(\r(5)＋\r(17)2,4)，所以eq\r(a)＝eq\f(\r(5)＋\r(17),2)，所以椭圆C的长轴长为eq\r(5)＋eq\r(17)，故D正确．故选A、C、D.9．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝110．设F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________．解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2又知△PF1F2的面积为9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，∴a2－c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∵△PF1F2的周长为18，∴2a＋2c＝18，即a＋又知a2－c2＝9，∴a－c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的椭圆方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝111．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点P是椭圆在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为A，若|OA|＝2b，则椭圆的离心率为________．解析：如图，延长F2A交F1P于点M，由题意可知|PM|＝|PF2|，由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a故有|PF1|＋|PM|＝|MF1|＝2a.连接OA，知OA是△F1F2M的中位线，∴|OA|＝eq\f(1,2)|MF1|＝a由|OA|＝2b，得2b＝a，则a2＝4b2＝4(a2－c2)，即c2＝eq\f(3,4)a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)12．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点．若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为________．解析：∵∠F1AF2＝90°，∴a＝eq\r(2)b，即椭圆方程为eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，n))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，b))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－b))，且eq\f(m2,2b2)＋eq\f(n2,b2)＝1，即n2－b2＝－eq\f(m2,2)，kAMkBM＝eq\f(n－b,m)·eq\f(n＋b,m)＝eq\f(n2－b2,m2)＝eq\f(－\f(m2,2),m2)＝－eq\f(1,2)，又kAM＝－1，∴kBM＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．(2020·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的离心率为eq\f(\r(15),4)，A，B分别为C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．解：(1)由题设可得eq\f(\r(25－m2),5)＝eq\f(\r(15),4)，解得m2＝eq\f(25,16)，所以C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(25,16))＝1.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，由题意知yP>0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y＝－eq\f(1,yQ)(x－5)，所以|BP|＝yPeq\r(1＋y\o\al(2,Q))，|BQ|＝eq\r(1＋y\o\al(2,Q)).因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1，将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直线BP的方程得yQ＝2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6，8)．|P1Q1|＝eq\r(10)，直线P1Q1的方程为y＝eq\f(1,3)x，点A(－5,0)到直线P1Q1的距离为eq\f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝eq\f(5,2)；|P2Q2|＝eq\r(130)，直线P2Q2的方程为y＝eq\f(7,9)x＋eq\f(10,3)，点A到直线P2Q2的距离为eq\f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(130),26)×eq\r(130)＝eq\f(5,2).综上，△APQ的面积为eq\f(5,2).14．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(→))，eq\o(AF1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝eq\r(2)c，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝eq\r(a2－b2)，设B(x，y)．由eq\o(AF2,\s\up7(→))＝2eq\o(