2020年山东省菏泽市中考数学试卷（解析版）

第22页（共22页）2020年山东省菏泽市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是A． B． C． D．【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．【解答】解：，，，，绝对值最小的数是．故选：．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．2．（3分）函数的自变量的取值范围是A． B．且 C． D．且【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得且，解得且．故选：．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为A． B． C． D．【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点的坐标，再根据关于轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【解答】解：将点向右平移3个单位得到点，点的坐标是，点关于轴的对称点的坐标是．故选：．【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，以及关于轴、轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为A． B． C． D．【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数画出图形即可．【解答】解：从正面看所得到的图形为．故选：．【点评】考查几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【分析】由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．【解答】解：由矩形的性质知，矩形的四角为直角，即每组邻边互相垂直，故原四边形的对角线应互相垂直．故选：．【点评】此题主要考查了矩形的判定定理（有一个角为直角的平行四边形为矩形），难度不大．6．（3分）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于A． B． C． D．【分析】证明，推出即可解决问题．【解答】解：，，，，，．故选：．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为A．3 B．4 C．3或4 D．7【分析】当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△，解之可得出值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．【解答】解：当3为腰长时，将代入，得：，解得：；当3为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，△，解得：，此时两腰之和为4，，符合题意．的值为3或4．故选：．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出值是解题的关键．8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】先由二二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项正确；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项错误．故选：．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）9．（3分）计算的结果是．【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．10．（3分）方程的解是．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程，去分母得：，整理得：，解得：，经检验是分式方程的解．故答案为：．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．（3分）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为．【分析】过点作，由平行线平分线段定理可得是的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．【解答】解：过点作，垂足为，，，，又点为边的中点，，在中，，故答案为：．【点评】考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．12．（3分）从，2，，4这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：则共有12种等可能的结果，反比例函数中，图象在二、四象限，，有8种符合条件的结果，（图象在二、四象限），故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．13．（3分）如图，在菱形中，是对角线，，与边相切于点，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接，根据菱形的性质得到，得到为等边三角形，根据切线的性质得到，根据余弦的定义求出，根据菱形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接，四边形为菱形，，，，为等边三角形，，是的切线，，，同理可知，为等边三角形，，图中阴影部分的面积，故答案为：．【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．14．（3分）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为．【分析】根据矩形的性质可得，再根据可得，所以得，在中，根据勾股定理即可得的长．【解答】解：矩形中，，，，，，，，，，，，，，在中，根据勾股定理，得．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及积的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．先化简，再求值：，其中满足．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，将最后结果变形为，再由已知等式变形得出，继而代入计算可得．【解答】解：原式，，，则原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：．【分析】由“”可证，可得，，由线段的和差关系可得结论．【解答】证明：，，，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．18．某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了52米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为72米，求大楼的高度．（参考数据：，，【分析】如图，过点作于点，于点，可得四边形是矩形，根据斜坡的坡度为，利用勾股定理可得的值，再根据锐角三角函数即可求大楼的高度．【解答】解：如图，过点作于点，于点，，四边形是矩形，，，在中，，设，，根据勾股定理，得，，解得，，，，在中，，（米．答：大楼的高度约为52米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：；；；，并绘制出如图不完整的统计图．（1）求被抽取的学生成绩在组的有多少人？（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在组的学生有多少人？【分析】（1）根据组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据，即可得到组的人数；（2）根据条形统计图中的数据，可以得到所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这次竞赛成绩在组的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生有：（人，组学生有：（人，即被抽取的学生成绩在组的有24人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在这一组内；（3）（人，答：这次竞赛成绩在组的学生有150人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是4，求点的坐标．【分析】（1）先根据点坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，继而根据点、坐标可得直线解析式；（2）先根据直线解析式求出点的坐标，再设，知，根据求出的值即可得出答案．【解答】解：（1）将点代入，得：，，当时，，，将、代入，得：，解得，；一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）在中，当时，，解得，，设，则，，，解得或，点的坐标为或．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．【分析】（1）设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买根跳绳，则购买个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要元，购买一个毽子需要元，依题意，得：，解得：．答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．（2）设购买根跳绳，则购买个毽子，依题意，得：，解得：．又为正整数，可以为21，22．共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．如图，在中，，以为直径的与相交于点，过点作的切线交于点．（1）求证：；（2）若的半径为5，，求的长．【分析】（1）连接、．先证明，，从而可证明，由可得到，由等腰三角形的性质可知，故此，由三角形的内角和定理可知，于是可得到．（2）由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，根据三角形的面积得出答案．【解答】（1）证明：连接、．是圆的直径，．．是圆的切线，．．．，．．，，．，．．．（2）解：，，，的半径为5，，，，，，．【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．23．如图1，四边形的对角线，相交于点，，．（1）过点作交于点，求证：；（2）如图2，将沿翻折得到．①求证：；②若，求证：．【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；（2）①过点作交于点，由（1）得出，由折叠的性质可得出，则，可得出结论；②过点作交于点，延长交于点，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，根据，可得出结论．【解答】（1）证明：，，，又，，，，，，，；（2）①证明：如图1，过点作交于点，由（1）可知，，，将沿翻折得到，，，，又．②证明：如图2，过点作交于点，延长交于点，，，四边形为平行四边形．，将沿翻折得到．，，又，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题是相似形综合题，考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．如图，抛物线与轴相交于，