机械制图第一章 点直线平面的投影

机械制图第一章点直线平面的投影第1页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四第一章投影法和点、直线、平面的投影§1投影法§2点的投影§3直线的投影§4平面的投影§5直线与平面以及两平面之间的相对位置第2页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四§1投影法实例：物体在光线的照射下，就会在地面或墙面上产生投影。投影第3页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四一、投影法的基本概念PABCabcS投影投影面

投射线投射中心第4页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四二、投影法的分类投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法第5页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四中心投影法：投射线汇交于一点的投影法ABC中心投影法SPabc投射中心投影面投射线投影（投影图）透视投影、透视图或透视

通常用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图第6页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四平行投影法：所有投射线都互相平行的投影法平行投影法（正、斜投影）ABC投影面P投射线abc投射方向ABC投影面P投射线投影（投影图）投影（投影图）投射方向abc投射方向垂直于投影面第7页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四注：正投影的基本性质HabHHHcedECDABEFACDBabABdabccedDECABabef1.积聚性3.类似性2.真实性4.平行性OK第8页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四§2点的投影一、两投影面体系二、点在两投影面体系中的投影三、点在三投影面体系中的投影四、两点的相对位置第9页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Pa一、两投影面体系AA0A1由点的一个投影不能确定点的空间位置第10页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四V-H两投影面体系的形成正立投影面（V面）水平投影面（H面）OK投影轴（OX）第11页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四二、点在两投影面体系中的投影OAHVXaxaa正面投影水平投影立体图演示OVXaxaHa投影面展开后投影图OXaa点A的水平投影——

a点A的正面投影——

a第12页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四点在两投影面体系中的投影特性（1）点的投影连线垂直于投影轴，即a’a⊥OX;（2）点的投影与投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即a’ax=Aa,aax=Aa’。

OAHVXOVXaxaHa投影面展开后投影图OXaa立体图axaa第13页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四三、点在三投影面体系中的投影

三投影面体系构成Ⅰ侧立投影面（W面）正立投影面（V面）水平投影面（H面）第14页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四点在三投影面体系中的投影ⅠOAHXaxaa正面投影水平投影立体图WVa"azayZY侧面投影第15页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四点在三投影面体系中的投影ⅡOVXaxaHa投影面展开后a"ZWazayHayWYHYWOXaa投影图a"ZYHYW第16页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四1.aaX轴，aaz=aay

=

XA2.aaZ轴，aax

=aay=

ZA3.aax

=aaz

=YA(A)点在三投影面体系中的投影规律三面投影特性：（1）点的投影连线垂直于投影轴（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与对应的相邻投影面的距离Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazayHVXOZYWa'aa"Aaxazay第17页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四ZYHXYWOa'a"a[例题1]已知点A的正面投影a’和水平投影a，求其侧面投影a”。1.a’aOX;2.a’a”OZ;3.aax=a”az

第18页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四OXaaa"ZYHYW[例题2]求点A的水平投影第19页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazay(xA,zA)(xA,yA)(yA,zA)HVXOZYWa'aa"ayaxazxyzA1.点的坐标XA(Oax)=Aa”——点到W投影面的距离；YA(Oay)=Aa’——点到V投影面的距离；ZA(Oaz)=Aa——点到H投影面的距离。点到投影面的距离2.点的投影(B)点的投影和坐标第20页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影面和投影轴上的点投影规律VXZYWOaaaAbBbb"ccc"ddd"CDOaaa"ZYHYWbbb"ccc"ddd"投影面和投影轴上的点投影特性：（1）投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。（2）投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与点O重合。第21页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHXOa'ab'bc'cABC〔例题3〕根据投影图判断点在空间的位置OK第22页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四XOZY四、两点的相对位置两点中X值大的点——在左两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上XZYWYHOa'a"ab'bb"a"a'ab"b'bBA上-下左-右后-前后-前后-前两点间的相对位置可用它们同方向的坐标差值来判断第23页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四[例题4]已知点A、B的两面投影，求作第三面投影，并判断这两点的相对位置。XAXB，点A在点B的

方YAYB，点A在点B的

方ZAZB，点A在点B的

方结论：点A在点B的、、方OXaa"ZYHYWbb第24页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四[例题4]题解XA

<XB，点A在点B的

右

方YA

<YB，点A在点B的

后

方ZA

>ZB，点A在点B的

上

方结论：点A在点B的

右、后、上

方aOXaa"ZYHYWbbb"OXaa"ZYHYWbb第25页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四重影点及可见性OAHXa(b')a立体图WVa"ZYbb"BaOXZYHYWb"a"ba'(b)投影图当空间两点在某一投影面上的投影重合成一点时称为对该投影面的重影点。第26页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四如何判断重影点的可见性？正面投影----前遮后水平投影----上遮下侧面投影----左遮右不可见的点的投影用投影符号外加括号方式表达第27页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四[例题5]已知点B距离点A为15，点C与点A是对V面投影的重影点，点D在点A的正下方20，补全诸点的三面投影，并表明可见性。YW第28页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四[例题5]已知点B距离点A为15，点C与点A是对V面投影的重影点，点D在点A的正下方20，补全诸点的三面投影，并表明可见性。YW第29页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四一、直线的投影二、直线对投影面的各种相对位置三、一般位置直线的实长及其

对投影面的倾角（直角三角形法）四、直线上的点的投影五、两直线的相对位置六、垂直两直线的投影(直角投影定理)§3直线的投影第30页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四直线的投影一般情况下仍为直线，特殊情况下为一点。HABabDCc(d)一、直线的投影第31页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四一、直线的投影oxzyHyWbabaabγαβbabaabAB直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影但不能确定直线对投影面的倾角OK第32页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四二、直线对投影面的各种相对位置特殊位置直线（一）投影面平行线（二）投影面垂直线水平线//水平面正平线//正平面侧平线//侧平面铅垂线水平面正垂线正平面侧垂线侧平面（三）一般位置直线与三个投影面均倾斜的直线第33页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）投影面平行线——水平线VHWOXYZbabaabABγγββ投影特性：1.a'b'//OX，a"b"//OY2.ab=AB3.反映、角的真实大小oxzyHyWbabaab第34页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）投影面平行线——正平线投影特性：1.ab//OX，a"b"//OZ2.a'b'=AB3.反映、角的真实大小第35页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）投影面平行线——侧平线投影特性：1.a'b'//OZ，ab//OY2.a"b"=AB3.反映、角的真实大小第36页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影面平行线的投影特性1.在与其平行的投影面上的投影反映实长,其与相邻投影轴的夹角反映直线对另外两投影面的真实倾角；2.另两投影长度缩短,且分别平行与相应的投影轴。第37页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影特性：1.ab积聚成一点2.a’b’OX;a"b"

OY

3.a’b’=a"b"=AB（二）投影面垂直线——铅垂线oxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)第38页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四HW（二）投影面垂直线——正垂线投影特性：1.a’b’

积聚成一点2.abOX;a"b"OZ3.ab=a"b"=AB第39页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四HW（二）投影面垂直线——侧垂线投影特性：1.a’’b’’

积聚成一点2.abOY;a’b’

OZ3.ab=a’b’=AB第40页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四HW投影面垂直线的投影特性在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点;另两投影反映实长,且分别垂直于相应的投影轴。第41页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（三）一般位置直线的投影特性oxzyHyWbabaabbabaabAB1.直线的三个投影均为长度缩短的直线;2.直线的投影中不能反映直线的实长和倾角。OK第42页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四1.求直线的实长及对水平投影面的倾角角2.求直线的实长及对正立投影面的倾角角3.求直线的实长及对侧立投影面的倾角角三、一般位置直线的实长及其对投影面的倾角（直角三角形法）第43页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四1.求直线的实长及对水平投影面的夹角角ZAB

ABZABabZABABABabZAB第44页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四2.求直线的实长及对正面投影面的夹角角a’b’ABYABABABa’b’YABYABYAB

第45页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Xa’b’b30°ababaa例1已知AB直线的正面投影a’b’及点B的水平投影b,=30°,求ab。OK第46页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHAB

AC：CB=ac：cb=a’c’：c’b’=a’’c’’：c’’b’’Cbaabcc2.点分线段成定比，其空间比等于投影比。四、直线上点的投影1.点在线上，则点的投影必在直线的同面投影上；第47页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四OXbabacc

AC:CB=ac:cb

=a’c’:c’b’=2:1

例2已知线段AB的投影图，试将AB分成

AC:CB=2:1两段，求分点C的投影。第48页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四cabcc’例3已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。OK第49页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）平行两直线（二）相交两直线

（三）

交叉两直线共面直线异面直线两直线相对位置的投影规律两直线相对位置的判别方法五、两直线的相对位置第50页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHOXb’aa’d’bbcc’xob’a’abdc’d’c1.平行两直线的同面投影仍然平行。DCBA2.平行两直线在投影后，长度比保持不变。（一）平行两直线平行两直线投影特性：第51页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四

若两直线的各同面投影均互相平行,则它们空间平行。Xabcda’b’d’c’ZOYHYWa”b”c”d”判别：第52页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四CDABVHXOcdabacdbbacdcadb

相交两直线的同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。k'kKXOk'k（二）相交两直线第53页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四

若两直线的各同面投影均相交,且交点的投影符合点的投影规律，则两直线空间相交。判别：若两直线的同面投影相交，但交点的投影不符合点的投影规律，则不是相交的空间两直线。第54页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四ob’xa’abc’d’dc11’(2’)2

交叉两直线的同面投影中，可能有一组或两组同面投影互相平行，但它们的第三组同面投影是不平行的。

同理，交叉两直线的同面投影中，可能有一组、两组或三组同面投影相交，但它们的交点不符合点的投影规律。（三）交叉两直线第55页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四d"a"c"b"oYWYHz结论：空间直线AB和CD是两交叉直线例4判断空间两直线AB、CD的相对位置。第56页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例5判断空间两直线AB、CD的相对位置。1’11’d’1’c’结论：直线AB、CD是两交叉直线。第57页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四XOdcbaabcd判断两直线重影点的可见性。3’4’341’2’12()()OK第58页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四H空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。ABCxobcacabcab若两直线的某面投影互相垂直，且其中一条平行于该投影面，则两直线空间互相垂直。六、垂直两直线的投影(直角投影定理)第59页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四交叉垂直的两直线的投影第60页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Xa’b’c’bcad’d例6已知长方形ABCD中BC边的两投影、AB边的正面投影（a’b’//OX)，求作长方形的两投影。第61页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Xa(b)a’b’cdc’d’HABCDEFabecdfff’ee’例7求直线AB和CD间的最短距离。OK第62页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四§4平面的投影一、平面的表示法二、平面对投影面的各种相对位置三、平面上的点和直线第63页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四一、平面的表示法（一）、用几何元素表示平面

用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。（二）、平面的迹线表示法

平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。第64页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）、用几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd第65页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（二）、平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQVQOK第66页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影面平行面投影面垂直面特殊位置平面水平面//H面正平面//V面侧平面//W面铅垂面H面正垂面V面侧垂面W面一般位置平面二、平面对投影面的各种相对位置第67页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHWOXYZPHoxzyHyWbcaPABCbcabcabca（一）投影面垂直面——铅垂面投影特性：1.abc积聚为一条线。2.abc,abc为ABC的类似形。3.abc与OX,OYH的夹角反映、角的真实大小第68页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHWOXYZQVQαoxzyHyWbacbcabcabca投影特性：1.abc积聚为一条线。2.abc,abc为ABC的类似形。3.abc'与OX,OZ的夹角反映α,角的真实大小。ABC（一）投影面垂直面——正垂面第69页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四VHWOXYZ（一）投影面垂直面——侧垂面投影特性：1.abc积聚为一条线。2.abc,abc为ABC的类似形。3.abc与OZ,OYw的夹角反映α、角的实大小。αβSWSABCbcaoxzyHyWbcabcabca第70页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影面垂直面的投影特性VHWOXYZQVQαoxzyHyWbacbcabcabcaABC在所垂直的投影面上的投影积聚为直线;其积聚性投影与投影轴的夹角反映了平面对另两投影面的真实倾角。2.另两投影为缩小的类似形。第71页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影特性：(1)abc、abc积聚为一条线，具有积聚性，且分别平行于投影轴OX和OY(2)水平投影

abc反映

ABC真形CABa"b"c'baca'b'c"cab'b"baa"cc"（二）投影面平行面——水平面第72页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影特性：(1)abc

、abc积聚为一条线，具有积聚性，且分别平行于投影轴OX和OZ(2)正平面投影

abc反映

ABC真形c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBA（二）投影面平行面——正平面第73页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影特性：(1)abc

、abc积聚为一条线，具有积聚性，且分别平行于投影轴OY和OZ(2)侧平面投影

abc

反映

ABC真形a'b'b"ba"c'c"cab"c'baca'b'c"CABa"（二）投影面平行面——侧平面第74页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四投影面平行面的投影特性1.在所平行的投影面上的投影反映真形;2.另两投影积聚为直线,且分别平行于相应的投影轴。c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZ第75页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（三）一般位置平面投影特性：1.三个投影均为缩小的类似形。2.各投影都不反映实形与倾角。

第76页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例1根据投影判定平面的位置a’b’c’abca'b'abc'cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"caa'b'bc'cb'bc'ca'aabca'b'c'正平面铅垂面正垂面水平面侧垂面侧平面第77页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例2过点A作铅垂面，使=30º。Xa’a30ºb’c’bc例3过直线AB作正垂面。Xa’b’abcc’OK第78页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四EDFd'de'ef'f1.直线和点在平面上的几何条件1）直线过平面上两点；2）直线过平面上一点且平行于平面内任意直线。3）点在平面内的任意直线上。三、平面上的点和直线第79页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四已知平面的投影和其上点或直线的一个投影,根据它们的从属关系,求出点或直线的未知投影。2.在平面上取点和直线FffQ第80页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例4

已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ee第81页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例5

已知点D在

ABC上，试求点D的水平投影。deexocbacbad第82页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例6已知MN是平面ABCD内的一条直线，求其水平投影。a'b'c'd'abdcm'n'mn绿色的直线在平面内吗？第83页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例7判定点K、E点是否在平面ABC内。a'b'c'abce'ek'k不在！在！平面是可以无限延伸的第84页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例8完成平面四边形ABCD的投影。abcda'b'c'od'第85页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四线在面上的几何条件；平行线的投影特性。3.平面上的投影面平行线第86页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例9

已知ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点B作属于该平面的水平线。mn1'mn1第87页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四mnmnrsrs1015ee例10

已知点E

在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。OK第88页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四§5直线与平面以及两平面之间的相对位置一、平行问题二、相交问题三、垂直问题第89页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（一）直线与平面平行PABCDEF几何条件：若直线平行于平面上任意直线，则线、面平行。2.若线、面平行，则过平面内任一点必能在平面内作一直线平行于已知直线。一、平行问题第90页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四例1判断直线AB是否平行于ΔCDE平面。fg’f’g结论：直线AB不平行于ΔCDE平面。b’a’abc’e’d’edcOX第91页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四b’a’例2过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面c’e’d’dk’kXOecaf’fb第92页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四Xabca’b’c’d’de’eL当直线平行于特殊位置平面时，平面的积聚性投影平行于直线的同面投影。例3过点A作一铅垂面平行与BC直线第93页，共105页，2022年，5月20日，21点2分，星期四（二）两平面互相平行几何条件：两平面内各有一对相交直