2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第2章 第2节第3课时幂函数与函数的性质

10/10第3课时幂函数与函数的性质[考试要求]1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))的图象，了解它们的变化情况.3.会灵活应用函数的性质解题.1．幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))y＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)提醒：(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．eq\o([常用结论])函数的周期性与对称性的关系(1)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x＝b(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝4|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(2)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)(a≠b)对称，则函数f(x)的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)(3)若函数f(x)关于直线x＝a与直线x＝b(a≠b)对称，那么函数的周期T＝2|a－b|.(类比y＝sinx的图象)一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2xeq\s\up12(eq\f(1,3))是幂函数． ()(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数． ()(3)若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0. ()[答案](1)×(2)√(3)√二、教材习题衍生1．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应的是()①②③④A．①y＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))；②y＝x2；③y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))；④y＝x－1B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))；④y＝x－1C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))；④y＝x－1D．①y＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))；②y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))；③y＝x2；④y＝x－1B[y＝x2为偶函数，对应②；y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))的定义域为x≥0，对应③；y＝x－1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y＝x3与y＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))均为奇函数，在第一象限内，y＝x3的图象下凸，y＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))的图象上凸，故①对应y＝x3.故选B．]2．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(eq\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3))，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cD[因为y＝xeq\s\up12(eq\f(2,3))在第一象限内是增函数，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3))＞b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(eq\f(2,3))，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是减函数，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3))＜c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3))，所以b＜a＜c.]3．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a[－1,1)[由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤a＋1≤2，,－2≤2a≤2，,a＋1>2a，))解得－1≤a<1.]4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]考点一幂函数的图象及性质 1．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1D[幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D．]2．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是()A．y＝x－1 B．y＝x－2C．y＝x3 D．y＝xeq\s\up12(eq\f(1,3))B[对于A，y＝x－1是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，y＝x－2是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C，D中的函数不符合条件．]3．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(eq\r(2)，2eq\r(2))，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln2)，则()A．c<b<a B．c<a<bC．b<c<a D．a<b<cB[因为函数f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(eq\r(2)，2eq\r(2))，所以(eq\r(2))n＝2eq\r(2)，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，则函数为增函数，因为n>m>ln2，故c<a<b，故选B．]4．若(a＋1)eq\s\up12(eq\f(1,2))<(3－2a)eq\s\up12(eq\f(1,2))，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))[易知函数y＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).]与幂函数有关问题的解题思路(1)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点二函数性质的综合应用 单调性与奇偶性eq[典例1－1](1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3][真题衍生]定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x＋2)，对∀x1，x2∈[0,4]，x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则有()A．f(1921)＝f(2021)＜f(1978)B．f(1921)＜f(1978)＜f(2021)C．f(1921)＜f(2021)＜f(1978)D．f(2021)＜f(1978)＜f(1921)B[因为f(x－2)＝－f(x＋2)，所以f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝8.由条件可知函数f(x)在区间[0,4]上单调递增，f(1921)＝f(240×8＋1)＝f(1)，f(2021)＝f(252×8＋5)＝f(5)＝f(－3)＝f(3)，f(1978)＝f(247×8＋2)＝f(2)．因为函数f(x)在区间[0,4]上单调递增，所以f(1)＜f(2)＜f(3)，即f(1921)＜f(1978)＜f(2021)．](2)(多选)定义在R上的奇函数f(x)为减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，则下列不等式中成立的是()A．f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)B．f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)C．f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)D．f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)(1)D(2)AC[(1)法一：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1,0]∪[1,3]，选D．法二：当x＝3时，f(3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f(4－1)＝f(3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．(2)函数f(x)为R上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，由a>b>0，得f(a)<f(b)<0，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)；对于A，f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)<0(因为f(a)＝g(a)在a对于B，f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)⇔f(b)＋f(a)－g(a)＋g(b)＝2f(b)>0，这与f(b对于C，f(a)＋f(－b)<g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]<0，这与f(a)<f(b)符合，所以C正确；对于D，f(a)＋f(－b)>g(b)－g(－a)⇔f(a)－f(b)－g(b)＋g(a)＝2[f(a)－f(b)]>0，这与f(a)<f(b)矛盾，所以D错误．]奇偶性与周期性eq[典例1－2](1)(2021·全国甲卷)设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝()A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,3)(2)已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(x＋8)＋f(x)＝0，且f(5)＝5，则f(2019)＋f(2024)＝()A．－5 B．5C．0 D．4043(1)C(2)B[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3).故选C．(2)由f(x＋8)＋f(x)＝0，得f(x＋8)＝－f(x)，所以f(x＋16)＝－f(x＋8)＝f(x)，故函数y＝f(x)是以16为周期的周期函数．在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝0，得f(8)＋f(0)＝0，因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(8)＝0.故f(2024)＝f(16×126＋8)＝f(8)＝0.又在f(x＋8)＋f(x)＝0中，令x＝－3，得f(5)＋f(－3)＝0，得f(5)＝－f(－3)＝f(3)＝5，则f(2019)＝f(16×126＋3)＝f(3)＝5，所以f(2019)＋f(2024)＝5.故选B．]函数性质的综合问题[典例1－3](1)函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)()A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数(2)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50 B．0C．2 D．50(3)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中所有正确命题的序号是________．(1)B(2)C(3)①②④[(1)由f(x)＝f(2－x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．(2)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.(3)在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x单调递增，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上单调递减，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误；f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又T＝2，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(－x)＝f(x＋2)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．eq\o([跟进训练])(1)(2021·广东揭阳一模)已知函数feq(\a\vs4\al\co1(x))定义域为R，满足feq(\a\vs4\al\co1(x))＝feq(\a\vs4\al\co1(2－x))，且对任意1≤x1<x2均有eq(\a\vs4\al\co1(x1－x2))·[f(x1))－f(x2)]<0成立，则满足f(2x－1)－f(3－x)≥0的x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－2))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))(2)(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是()A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．若f(－5)＝－1，则f(2019)＝－1(3)已知函数f(x)的定义域为R，且f