苏教版高一数学必修一辅导讲义共16讲定稿

第1讲集合的概念与运算1.元素与集合的概念(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合.(2)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A3.集合的分类(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或N*ZQR5.列举法把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.6.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.7.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.8.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}[玩转典例]题型一集合的基本概念例1(大纲全国，1)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6例2已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．[玩转跟踪]1.(新课标全国，1)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A.3 B.6 C.8 D.102.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1).求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集.题型二集合的表示方法例3下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？例4已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.[玩转跟踪]1.已知x，y为非零实数，则集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m|m＝\f(x,|x|)＋\f(y,|y|)))＋eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(xy,|xy|)))为()A.{0,3} B.{1,3}C.{－1,3} D.{1，－3}2.(探究与创新)已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}：(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.题型三集合间的基本关系例5(2013·江苏，4)集合{－1，0，1}共有________个子集.例6设集合，，则() A． B． C．D．例7已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围.[玩转跟踪]1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2.(2016·山东北镇中学、莱芜一中、德州一中4月联考)定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B},若集合M＝{1,2,3,4,5},集合N＝{x|x＝2k－1,k∈Z},则集合M－N的子集个数为()A.2B.3 C.4D.无数个3.已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合.题型四集合的基本运算例8(2016·全国Ⅰ,1)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0},B＝{x|2x－3>0},则A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))例9(2015·四川,1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|－1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}例10(1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|－3<x<－1}B．{x|－3<x<0}C．{x|－1≤x＜0}D．{x|x<－3}(2).(2011·江西，2)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)))≤0))，则A∩B＝()A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0<x≤1}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}例11已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.[玩转跟踪]1.(2016·安徽安庆市第二次模拟)若集合P＝{x||x|＜3,且x∈Z},Q＝{x|x(x－3)≤0,且x∈N},则P∩Q等于()A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(∁IS)D.(M∩P)∪(∁IS)3.(探究与创新)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.[玩转练习]1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B2．设集合M＝{－1,1}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)<2))))，则下列结论中正确的是()A．NM B．MNC．N∩M＝∅ D．M∪N＝R3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．44.(2018·济南模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x<3} B．{x|－3<x≤1}C．{x|x<2} D．{x|－2<x≤1}5．(2018·潍坊模拟)设集合A＝N，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－3)≤0))))，则A∩B等于()A．[0,3) B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,3}6．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}7．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)8.满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________.9.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________.10.已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.11.已知全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，若A＝{b,2}，∁IA＝{5}，求实数a，b.12.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.13.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合.14.已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，B＝{x|－eq\f(a,2)＜x≤6}.(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求a的取值范围.第2讲充分必要条件和命题1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)[玩转典例]题型一充分条件与必要条件的判断例1（湖南高考）设集合则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件例2设x∈R，则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的（

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【玩转跟踪】1．设x∈R，则“|x-2|<1”是“x+2x-1>0”的（

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（） A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件题型二根据充要条件求解参数的取值范围例3已知全集U＝R，非空集合A={x|x（1）当时，求；（2）命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【玩转跟踪】1．设p：－2<x<4，q：(x＋2)(x＋a)<0；若q是p的必要而不充分条件，则a的取值范围是（） A．(4，＋∞) B．(－∞，－4) C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)2．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（） A．[0，eq\f(1,2)] B．(0，eq\f(1,2)) C．(－∞，0]∪[eq\f(1,2)，＋∞) D．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞)题型三含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假例4(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝mC．∀n∈R，∃m0∈R，meq\o\al(2,0)<nD．∀n∈R，n2<n(2)给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2﹣2x＞0；④∃x∈R，2x+1为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（）A．①④B．②④C．①②③④D．③命题点2含一个量词的命题的否定例5(1)命题p：，的否定是A．：， B．：，C．：， D．：，(2)命题，的否定是（）A． B．C． D．[玩转跟踪]1.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x＋m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．2.写出命题“，使得”的否定_______．题型四全称和特称命题中参数的取值范围例6已知命题“∀x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．[玩转跟踪]1.若∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，2eq\r(2)] B．(2eq\r(2)，3]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(9,2))) D．{3}[玩转练习]1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，a，b}，则“a＝2”是“A⊆B”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．条件“”是“”成立的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设x∈R，则“2-x≥0”是“|x+1|≤1”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．使不等式x2-x-6<0成立的一个充分不必要条件是 A．-2<x<0 B．-3<x<2

C．-2<x<3

D．-2<x<45．设集合A={x|x2≤4}，B={x|-3≤x≤2}，则“x∈A”是“x∈B”的（

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件6．若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．7．已知条件p：x2-3x-4≤0；条件q：x2-6x+98．若“，”为真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（） A．任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．存在x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy C．任意x＞0，y＞0，都有x2＋y2≥2xy D．存在x＜0，y＜0，都有x2＋y2≤2xy10．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（） A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤111．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（） A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0 D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<012．写出下列命题的否定形式，并判断其真假（1）∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0； （2）对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3；第3讲不等式的性质和基本不等式1．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc注意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n>1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N＋，n>1)2．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)3．基本(均值)不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．4．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．5．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．6．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)[玩转典例]题型一不等式的性质应用例1(1)给出下列命题：①若ab>0，a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③对于正数a，b，m，若a<b，则eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).其中真命题的序号是________．（2）已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是()A．P>QB．P≥QC．P<QD．P≤Q（3）已知12<a<60,15<b<36.求a－b和eq\f(a,b)的取值范围．【玩转跟踪】1．下列命题中一定正确的是()A．若a>b，且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a>0，b<0B．若a>b，b≠0，则eq\f(a,b)>1C．若a>b，且a＋c>b＋d，则c>dD．若a>b，且ac>bd，则c>d2．已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．3.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b>a B．a>c≥bC．c>b>a D．a>c>b题型二基本不等式求最值角度一：通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值例2(1)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)(2)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．4(3)①已知x<eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；②已知x为正实数且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值；③求函数y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值．角度二：通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值例3已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．[探究1]本例的条件不变，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))的最小值为________．[探究2]本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝4，则a＋b的最小值为________．[探究3]若将本例中的“a＋b＝1”换为“a＋2b＝3”，如何求解？题型三均值不等式实际应用例4某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[玩转跟踪]1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[玩转练习]1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\r(－a)<eq\r(b)C．a2<b2 D．|a|>|b|2．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．ac>bcC.eq\f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥03．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中可使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的个数是()A．1B．2C．3D．44．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥25．设x>0，则3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．3－2eq\r(2)C．－1 D．3－2eq\r(3)6．已知eq\f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于()A．1＋eq\r(2) B．2C．3 D．47．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为________．8．已知a>0，b>0，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为()A．8B．7C．6D．59．设a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2)，z＝eq\r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小顺序是________．10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.11．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．12．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.(1)求xy的最大值；(2)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．13．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(x2,360)))L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)第4讲一元二次不等式1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数2.一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[玩转典例]题型一解不含参的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.【玩转跟踪】1解下列不等式：(1)4x2－4x＋1>0；(2)－x2＋6x－10>0.题型二解含参的一元二次不等式例2设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.【玩转跟踪】1．若a>0，求关于x的不等式x2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0的解集．2．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分条件，则a的取值范围是（） A．[0，eq\f(1,2)] B．(0，eq\f(1,2)) C．(－∞，0]∪[eq\f(1,2)，＋∞) D．(－∞，0)∪(eq\f(1,2)，＋∞)题型三三个“二次”间的关系及应用例3已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3<x<2}．(1)求二次函数的解析式；(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．例4若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．[玩转跟踪]1.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2))))).(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.题型四不等式恒成立、能成立问题例5(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．例6当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．例7已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．[玩转跟踪]1.设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，求m的取值范围．2.若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．题型五不等式恒成立、能成立问题例8某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[玩转跟踪]1.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq\f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq\f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？[玩转练习]1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N等于()A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}2．若0<m<1，则不等式(x－m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))<0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<m)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,m)或x<m))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>m或x<\f(1,m))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<x<\f(1,m)))))3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2}4．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1<x<3}，则b＋c的值是()A．5B．－5C．－25D．105．与不等式eq\f(x－3,2－x)≥0同解的不等式是()A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1C.eq\f(2－x,x－3)≥0 D．(x－3)(2－x)>06．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式eq\f(ax＋b,x－2)>0的解集为()A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2}C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2}7．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}8．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是()A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20}9．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．10．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，则m的取值范围是________．11．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.(1)求A∩B；(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．12．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?第5讲函数的概念1.函数(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.2.区间设a，b∈R，且a＜b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.无穷区间的表示定义{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x＜a}{x|x≤a}R符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a)(－∞，a](－∞，＋∞)4.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).5.分段函数定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.[玩转典例]题型一函数的概念和判断例1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C.A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)[玩转跟踪]1.下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是()2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是函数关系？题型二同一函数的判断例2下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.y＝x－1和y＝eq\f(x2－1,x＋1)B.y＝x0和y＝1C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)[玩转跟踪]1.下列函数完全相同的是()A.f(x)＝|x|，g(x)＝(eq\r(x))2B.f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)C.f(x)＝|x|，g(x)＝eq\f(x2,x)D.f(x)＝eq\f(x2－9,x－3)，g(x)＝x＋32.下列各组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是()A.f(x)＝x－1与g(x)＝eq\r(x2－2x＋1)B.f(x)＝x与g(x)＝eq\f(x2,x)C.f(x)＝x与g(x)＝eq\r(3,x3)D.f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)与g(x)＝x＋2题型三函数的定义域例3(1)函数f(x)＝lneq\f(x,x－1)＋的定义域为()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)(2)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1) B．(－1，－eq\f(1,2))C．(－1,0) D．(eq\f(1,2)，1)[玩转跟踪]1.已知函数的定义域为[－2，2]，则的定义域为()A．[－1，1] B．[－2，2]C．[1，3] D．[－1，5]2.(1)已知函数f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f(x＋eq\f(1,2))＋f(x－eq\f(1,2))的定义域是________．(2)函数y＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定义域为__________________________________．题型四求函数的解析式例4(1)已知f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，则f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f(eq\f(1,x))·eq\r(x)－1，则f(x)＝________.(4)已知，对于任意实数x、y，等式恒成立，求．[玩转跟踪]1.(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)＝________.(2)(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，则f(x)＝________.题型五分段函数例5已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2＜x＜2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，f(f(－eq\f(5,2)))的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值.[玩转跟踪]1.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，|x|≤1，,1＋x2，|x|＞1，))则f[f(eq\f(1,2))]＝________；2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,\f(1,|x|)，x＜0，))若f(x)＝2，则x＝________.[玩转练习]1.函数y＝eq\r(1－x)＋eq\r(x)的定义域是()A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|x≥1，或x≤0} D.{x|0≤x≤1}2.已知函数f(x)＝2x－1，则f(x＋1)等于()A.2x－1 B.x＋1C.2x＋1 D.13.设函数f(x)＝eq\f(4,1－x)，若f(a)＝2，则实数a＝________.4.求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(1,x＋1)；(2)y＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)y＝2x＋3；(4)y＝eq\f(x＋1,x2－1).5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)，x＜1，,\r(x－1)，x＞1，))则f(2)等于()A.0 B.eq\f(1,3)C.1 D.26.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321(1)f[g(1)]＝______；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝______.7.已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，则a的值为________.8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x＞2.))(1)求f(2)，f[f(2)]的值；(2)若f(x0)＝8，求x0的值.9.如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于()A.eq\f(1,x) B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x) D.eq\f(1,x)－110.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x＞1，))则feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))的值是________.11.已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且对任意x∈R总有f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).12.求下列函数的解析式：(1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)；(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.第6讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1＞0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数改变量Δx＝x2－x1＞0，当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[玩转典例]题型一函数单调性的判断和证明例1判断并证明函数y＝eq\f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上的单调性．例2.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．例3.函数的单调递增区间为.[玩转跟踪]1.已知函数f(x)＝eq\f(2－x,x＋1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为减函数.2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有eq\f(fa－fb,a－b)>0，则必有()A.函数f(x)先增后减B.f(x)是R上的增函数C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数3.画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.题型二函数单调性的应用角度一：利用函数的单调性求最值例4(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．(2)已知函数f(x)＝ax＋eq\f(1,a)(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．角度二：利用函数的单调性求解不等式例51.(1)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.(2)已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．探究与创新设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；(2)f(2)＝1；(3)在(0，＋∞)上是增函数.如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围.角度三：利用函数的单调性求参数例6(1)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))(2).已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x＜1，,－x＋1，x≥1))是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是________.题型三分类讨论二次函数单调性和最值例7求函数在闭区间上的单调性和最小值．【玩转跟踪】1．已知函数，求在上的最大值与最小值．2．已知函数，当，时，求的最大值与最小值．题型四抽象函数单调性和最值例8已知函数对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－eq\f(2,3).（1）求证：在R上是减函数；（2）求在[－3,3]上的最大值和最小值．【玩转跟踪】1.已知函数的定义域为，，且当时，且．求的值；证明在定义域上的增函数；解不等式．[玩转练习]1.下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－eq\f(1,x)在定义域上是增函数；④函数y＝eq\f(1,x)的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A.y＝|x| B.y＝3－xC.y＝eq\f(1,x) D.y＝－x2＋43.若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是()A.(－∞，40) B.[40,64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞) D.[64，＋∞)4.若f(x)为R上的增函数，kf(x)为R上的减函数，则实数k的取值范围是()A.k为任意实数 B.k＞0C.k＜0 D.k≤05.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是________.6.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7.求证：函数f(x)＝－eq\f(1,x)－1在区间(－∞，0)上是增函数.8.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.a＞－eq\f(1,4) B.a≥－eq\f(1,4)C.－eq\f(1,4)≤a＜0 D.－eq\f(1,4)≤a≤09.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()A.f(－1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(－1)C.f(2)<f(－1)<f(1) D.f(1)<f(－1)<f(2)10.讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性.11.已知函数f(x)在实数集中满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(x)在定义域内是减函数.(1)求f(1)的值；(2)若f(2a－3)＜0，试确定a的取值范围.第7讲函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.3.判断奇偶性的步骤.4.奇偶性的有关结论(1)若奇函数在处有意义，则有.(2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同;偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。[玩转典例]题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(3)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2).[玩转跟踪]1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(x)；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x)；2.判断函数的奇偶性：；例2判断函数的奇偶性.[玩转跟踪]1.判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.题型二已知函数奇偶性求参数值例3(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.(2)设函数为奇函数，则a＝________.[玩转跟踪]1.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.2.定义在上的奇函数，则常数____,_____题型三奇偶性求解析式或函数值例4已知是R上的偶函数，且当x>0时，，则当时，＝________.思考：如果改为是R上的奇函数，则当时，＝________.例5设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式[玩转跟踪]1.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式.2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．题型四函数奇偶性与单调性的综合应用例6设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)例7已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))[玩转跟踪]1.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．2.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．[玩转练习]1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数2.若函数f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.13.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A.－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.－eq\f(1,2)5.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为________.6.已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.7.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))8.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A.4B.3C.2D.19.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a－a2)，则实数a的取值范围是________.10.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围.第8讲幂函数与函数应用1.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减(4INCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2015\\幻灯片\\一轮\\数学\\A版\\WORD\\考点自测.tif"INETINCLUDEPICTURE"D:\\数学一轮A版WORD\\考点自测.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2015\\幻灯片\\一轮\\数学\\数学一轮A版WORD\\考点自测.tif"INETINCLUDEPICTURE"E:\\莫成程\\2015\\幻灯片\\一轮\\数学\\人教A版（理）WORD\\word\\考点自测.tif"INET)幂函数的共性α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.[玩转典例]题型一幂函数的概念例1函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.[玩转跟踪]1.已知函数为偶函数，且在上为增函数.题型二幂函数的图像例2如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq\f(1,2)四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A.－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B.2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C.－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D.2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)[玩转跟踪]1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A.－1＜n＜0＜m＜1B.n＜－1,0＜m＜1C.－1＜n＜0，m＞1D.n＜－1，m＞1题型三幂函数的性质例3若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－\r(5)－1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，＋∞))C．(－1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，2))例4比较下列各组数中两个数的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.[玩转跟踪]1.若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．2．比较下列各组数的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))0.5；(2)－3.143与－π3；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))).3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A.y＝x－2 B.y＝x－1C.y＝x2 D.y＝x题型四函数应用例5经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值．[玩转跟踪]1.手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？[玩转练习]1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝3．已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()A．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为()A．－3B．2C．－3或2D．35.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±eq\f(1,2)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．10．点(eq\r(3)，3)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?11．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y关于x的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，每天至少卖出多少张门票？12．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A，B两地的总运费为y元，求y关于x的函数解析式；(2)若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？第9讲指数运算和指数函数1.基本概念整数指数n次方根分数指数an＝a0＝1(a≠0)a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1且n∈N＋)，则x叫做a的n次方根，eq\