湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案

第11页共11页湖南大学研究生工程数学历年试卷及答案湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：工程数学专业年级：2022级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器)考试时间：120分钟………………………注：答题〔包括填空题、选择题〕必须答在专用答卷纸上，否那么无效。一．填空题〔每题5分，共30分〕1.用作为圆周率的近似值时，有位有效数字。2.要使迭代法部分收敛到那么的取值范围是.3.假设那么谱条件数.4.设为个互异的插值节点，为拉格朗日插值基函数，那么.5.实验数据01231245那么拟合这组数据的直线为.6.要使求积公式具有2次代数精度，那么，二．(11分)给定方程(1)证明该方程在区间内存在唯一实根(2)用牛顿迭代法求出的近似值，取初值要求三．(10分)用高斯列主元素消去法解线性方程组四．(10分)给定线性方程组写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析^p雅可比迭代法的收敛性。五．(13分)试根据数表021014161－1构造Hermite(埃尔米特)插值多项式六．(10分)求常数使积分取最小值。七．(16分)用龙贝格方法求积分的近似值，要求误差不超过工程数学试题参考答案一．(1)7;(2);(3)3;(4);(5);(6)二．解.(1)因为所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根(4分)(2)牛顿迭代格式为(7分)取初值计算结果如下：012341.51.2380951.1968151.1958241.195823(11分)三．解.(2分)(4分)(5分)(7分)等价的上三角形方程组为回代得(10分)四.解.雅可比迭代格式为雅可比迭代矩阵(5分)其特征方程的特征值(8分)因为谱半径所以雅可比迭代法收敛。(10分)五．列表计算差商一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商－110－1101014432161－1216－1－10(10分)(13分)六．解.取定义内积那么(5分)正规方程组为(8分)解得(10分)七.解.计算结果见下表01.333333311.16666671.111111221.11666671.10000001.099259331.10321071.09872541.09864041.0986306(14分)因为所以(16分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：工程数学(A卷)专业年级：2022级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器)考试时间：120分钟………………………注：答题〔包括填空题、选择题〕必须答在专用答卷纸上，否那么无效。三．填空题〔每题4分，共20分〕1.设那么导数值有位有效数字。2.假设那么，条件数.3.设，那么差商，.4.拟合三点的直线是.5.参数时，求积公式的代数精度到达最高，此时代数精度为.四．(12分)给定方程(3)证明该方程在区间内存在唯一实根(4)写出牛顿迭代法求的迭代格式；(5)假设取初值牛顿迭代法是否收敛？假设收敛，指出收敛阶数。三．(12分)用三角分解法解线性方程组四．(16分)分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组时，对任意初始向量都收敛的充要条件.五．(16分)用插值法求一个二次多项式使得曲线在处与曲线相切，在处与相交，并证明六．(12分)求在上的一次最正确平方逼近多项式。七．(12分)函数表00.1250.2500.3750.50010.99739780.98961580.97672670.95885100.6250.7500.87510.93615560.90885160.87719250.8414709请分别用的复化梯形公式和的复化辛浦生公式计算积分的近似值.〔取7位浮点数〕工程数学试题(A卷)参考答案一．(1)3;(2);(3);(4);(5).二．解.(1)因为在上连续，并且所以由零点定理和单调性知原方程在内存在唯一实根(4分)(2)牛顿迭代格式为(8分)⑶因为所以牛顿迭代法收敛，且收敛阶为2.(12分)三.解.用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得于是得(9分)回代求解上三角形线性方程组得原方程组的解为即(12分)四．解.雅可比迭代矩阵其特征方程为(4分)的谱半径所以J法收敛的充要条件是.(8分)赛德尔迭代矩阵其特征方程为(12分)的谱半径所以G-S法收敛的充要条件是.(16分)五．解.由条件得(3分)(6分)作差商表一阶差商二阶差商010100(9分)(12分)记令得所以故(16分)六．解.(1)取并设一次最正确平方逼近多项式为那么(6分)正规方程组为(8分)解得故所求的最正确平方逼近多项式为(12分)七．解..(6分)=(12分)湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目：数值分析^p〔A卷〕参考答案专业年级：11级各专业考试形式：闭卷〔可用计算器〕考试时间：120分钟………………………注：答题〔包括填空题、选择题〕必须答在专用答卷纸上，否那么无效。一、简答题(20分)1、防止误差危害的主要原那么有哪些？答：〔1〕两个同号相近的数相减〔或异号相近的数相减〕，会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量防止。〔2分〕〔2〕很小的数做分母〔或乘法中的大因子〕会严重扩大误差，应该尽量防止。〔3分〕〔3〕几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进展。〔4分〕〔4〕采用稳定的算法。〔5分〕2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：〔1〕假设出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。〔3分〕〔2〕当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。〔4分〕〔3〕当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。〔5分〕3．求解非线性方程的Newton迭代法的收敛性如何？答：〔1〕Newton迭代法是部分收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。〔2分〕〔2〕用Newton迭代法求方程的单根时，其收敛至少是平方收敛，假设求重根，那么只有线性收敛。〔5分〕4．Newton-Cotes积分公式的稳定性怎么样？答：〔1〕Newton-Cotes积分公式当时，Cotes系数都为小于1的正数，因此是稳定的。〔3分〕〔2〕当时，出现了绝对值大于1的Cotes系数，因此是不稳定。〔5分〕二、(10分)证明函数关于点的k阶差商可以写成对应函数值的线性组合，即其中节点。证明：通过简单计算，可知〔2分〕。Newton插值多项式为，〔5〕Lagrange插值多项式为其中，〔8分〕由于插值多项式的唯一性，比拟两个多项式的系数，他们应该相等，从而。〔10分〕此题也可以用数学归纳法证明。三、(10分).求解非线性方程在区间[0,1]内的根，误差不超过0.001.〔简单迭代法和Newton迭代法中选一种方法。〕解：因为，在区间恒成立，所以取初值假设，〔3分〕那么Newton迭代收敛，取0.8，详细迭代过程如下：〔7分〕x=0.8;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x))y=0.75061432494672》》x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x))y=0.74844662434814》》x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x))y=0.74844244703132〔10分〕》》注：假设是采用简单迭代法：那么计分如下：写出迭代格式〔3分〕，证明格式的收敛性〔4分〕，计算过程〔3分〕，共10分。四、(10分)求函数在区间上的一次最正确平方逼近多项式。解：设一次最正确平方逼近多项式为y=a+bx,正规方程组为：解：系数矩阵的三角分解A=LU,其中，A=3232203012L=1002/3101-31U=32302/3-2003〔6分〕求解方程组Ly=b,那么y’=[5-1/31];〔8分〕求解方程组Ux=y,那么x’=[11/21/3]〔10分〕六、(10分)写出求解线性方程组Gauss-Seidel迭代格式，并判断收敛性