2023届广西高三上学期开学摸底考试数学（文）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届广西高三上学期开学摸底考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求集合的补集，再进行交集运算，即可得答案.【详解】因为集合，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力，属于基础题.2．若复数的实部与虚部相等，则b的值为（

）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】C【分析】先利用复数乘法公式得到，进而得到，从而得解.【详解】，因为实部与虚部相等，故，解得：.故选：C.3．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是(

)A．乙销售数据的极差为24 B．甲销售数据的众数为93C．乙销售数据的均值比甲大 D．甲销售数据的中位数为92【答案】D【分析】根据茎叶图中数据逐项分析即可判断.【详解】乙销售数据的极差是112－88＝24，故A正确；甲销售数据的众数为93，故B正确；甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，故C正确；甲销售数据的中位数为93，故D错误.故选：D.4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()

A．15 B．105 C．245 D．945【答案】B【详解】试题分析：采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选B．【解析】算法与程序框图．5．有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“”的概率为，故选：C.6．已知函数，若把的图像向左平移个单位后为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据左右平移原则可得解析式，根据奇偶性可得，结合的范围可求得结果.【详解】由题意得：.为偶函数，，解得：.∵，.故选：D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（

）A．14 B．20 C． D．【答案】D【分析】根据三视图复原几何体可求表面积.【详解】根据三视图复原几何体如下图：则表面积为.故选：D.8．已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，利用韦达定理求得，，再根据求得，在求导，根据极值的定义即可得出答案.【详解】解：因为，，所以有两个不同的实数解，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．故选：B．9．函数在区间[－，]上的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用的奇偶性和函数值的特点可选出答案.【详解】因为，所以f（x）为偶函数，其图像关于y轴对称，排除A项；当时，，排除D项；因为，，所以，排除C项，故选：B．10．已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形，又，所以是矩形，由的面积可得，再由双曲线的定义得，两者结合可得，由勾股定理得关系，从而得离心率．【详解】如图，不妨设在第一象限，设是双曲线的左焦点，显然关于原点对称，因此是平行四边形，又，所以是矩形，，，又，所以，所以．故选：D．11．在长方体中，，，点、分别是棱、的中点，、、平面，直线平面，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平行定理对直线进行平移、从而实现在三角形内求解角度．【详解】如图，连接并延长，交线段的延长线于点，连接交于点．则易知．连接，因为，所以异面直线与所成的角为．在中，易得，，，则．故选：B．12．设实数，e为自然对数的底数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可对原不等式进行变形，再将转换成，构造函数，研究其函数的单调性，并根据和的大小关系，利用单调性进行求解即可.【详解】由，可得，两边同除得：，可设函数，，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，故由可得，所以，整理得得.故选：C.【点睛】指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成lnex然后构造函数；另一种是将x变成elnx然后构造函数.二、填空题13．已知向量的，，，若A，C，D三点共线，则m=______.【答案】【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值.【详解】由，又A，C，D三点共线，所以且，则，可得.故答案为：14．已知是椭圆上任何一点，则的最大值为______.【答案】【分析】设，，利用辅助角公式可化简得到，由此可得的最大值.【详解】在椭圆上，可设，，（其中，），当时，取得最大值.故答案为：.15．在平面直角坐标系中，直线与直线被圆截得弦长之比为:，则______________.【答案】【分析】根据点到直线距离公式以及垂径定理可以用将两直线被圆所截弦长表示出来，再根据题目信息求解的值【详解】由题意知因为所以即可得故答案为：三、双空题16．在中，内角、、所对的边分别为、、，且，则角__________，当时，的取值范围是__________.【答案】

【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；利用余弦定理结合基本不等式可求得的取值范围，再结合平面向量数量积的定义可求得的取值范围.【详解】由及正弦定理可得，、，则，故，故；由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，所以，，故.故答案为：；.四、解答题17．晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式，某机构随机抽取了某社区200名运动爱好者进行问卷调查，其中男、女生的人数化为3：2，得到如下的2×2列联表．喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生40女生50合计(1)完成表中数据并判断是否有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关?(2)若从这200名运动爱好者中任意选取了5人，其中女生3人．再从这5人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中男生与女生都有的概率．参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)详见解析，没有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关；(2).【分析】（1）通过男女比例关系及表格中的数据分别得到男生、女生爱晨跑与不爱晨跑的人数，再用公式计算即可求得答案；（2）运用列举法计算即可.【详解】(1)因为男､女生的人数比为3：2，所以男生有120人，女生有80人，又由表格中可知不喜欢晨跑的男生有40人，所以喜欢晨跑的男生80人，不喜欢晨跑的女生有30人．列联表如下：喜欢晨跑不喜欢晨跑合计男生8040120女生503080合计13070200所以，所以没有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关．(2)由题可知5人中，女生3人，分别记为，男生2人，分别记为，现从中抽取2人，所有组合有：，，，，，，，，，，共10种，其中男生与女生均有的情况有：，，，，，，共有6种，所以在5人中选取的2人中男生与女生都有的概率.18．已知是数列的前项和，且．(1)求的通项公式．(2)若，是的前项和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求通项公式，注意；（2）从第2项向后用裂项相消法求和．【详解】(1)时，，，所以；(2)时，，，所以，所以.19．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）证明出平面，即可证得；（2）根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．【详解】(1)∵，，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，又平面，∴．(2)∵平面，平面ABC，∴，又∵，，∴平面．，20．已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求在内的单调区间.(2)设函数，证明：.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)证明见解析【分析】（1）求导根据切线公式得到，，再根据导数的正负得到函数单调区间.（2），设，求导得到函数单调区间，计算最小值为1，设，求导得到单调区间，计算，得到证明.【详解】(1)因为，所以，又，所以.当时，；当时，.所以在内的单调递减区间为，单调递增区间为.(2).设函数，则.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以，所以.设函数，则，设，则，令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.则，所以，从而増函数，则，因此，故.【点睛】本题考查了函数图像的切线问题，求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中将函数转化为两部之积分分别计算最小值是解题的关键.21．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，(1)求抛物线方程；(2)若，求的值；(3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；（2）由可得，设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由可构造方程求得；（3）设，，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点坐标，进而表示出，由，利用基本不等式可求得最小值.【详解】(1)抛物线的顶点在原点，焦点为，抛物线方程为：；(2)由题意知：，可设直线，，，，，即，由得：，，，即，解得：，；(3)由题意知：直线的斜率均存在，不妨设，，，，，则；由得：，则，即；，，，；同理可得：，，（当且仅当，即时取等号），面积的最小值为.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求．【答案】(1)曲线C的普通方程为：；直线l的直角坐标方程为：(2)【分析】（1）消去参数求解曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；（2）写出直线的参数方程，利用的几何意义求解.【详解】(1)因为曲线的参数方程为，（为参数），所以曲线的普通方程为．将，代入，得直线的直角坐标方程为．(2)因为直线的直角坐标方程为，所以它的参数