人教A版(2019)数学必修第二册第六章知识点整理

必修第二册第六章重点知识点整理第一部分概念向量的几何表示：用有向线段AB来表示（起点在前，终点在后）向量AB的大小：称为向量的模，记作|AB|零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量向量的字母表示：向量可以用字母a，b，共线向量：方向相同或相反的向量叫做共线向量，记作a//b规定：零向量的方向是任意的；零向量与任意向量共线相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量，记作AB=−AB向量的加减法运算向量加减法运算的结果仍为向量向量加法法则1三角形法则要求：向量首尾相连结果：和向量方向是由最初的起点指向最后的终点字母表示举例：AB+BC=ACOP+PM向量加法法则2平行四边形法则要求：两向量共起点做法：以两向量为邻边做平行四边形结果：和向量是由公共起点出发的对角线向量减法法则要求：两向量共起点结果：差向量是连接两向量终点，方向指向被减向量字母表示举例：AB−AC=CB向量的数乘运算向量共线定理向量数乘运算：表示为λa，其中λ为实数，是实数与向量相乘的运算，结果仍为向量向量数乘运算的几何意义：当实数λ≠0时，表示对原向量在同方向或反方向上的放缩举例：−3a的方向与a的方向相反，−3a的长度是a的长度的3倍12a的方向与a的方向相同，12a的长度是16.λa（1）长度：|λa|=|λ|·|a|（2）方向：当λ>0时，λa的方向与a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a方向相反特别地，当λ=0或a=0时，λa=017.向量共线定理：向量a（a≠0）与向量b共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得b=若向量a与向量b不共线，且λa=μb，那么λ=μ非零向量的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量，记作a利用向量共线定理判定A、B、C三点共线的一般步骤：（1）以A、B、C三点中任意两点为端点构造有一共同端点的向量，比如AB与（2）证明两个向量满足向量共线定理，即存在唯一实数λ，使AC=λAB（AB≠0）成立（3）两向量共线，且有一公共点，可得出结论：A、B、C三点共线若向量OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线向量的数量积运算向量数量积运算：向量与向量相乘的运算，结果是实数已知两个非零向量a与b，二者夹角为θ，二者数量积为a∙b=|a||b|cosθ规定：零向量与任一向量的数量积为0.向量夹角：将两向量平移至共起点，二者之间的角即为向量夹角向量a与b的夹角，记作a，b设向量a与b夹角为θ，夹角公式：设向量a与当θ=0时，两向量同向；当θ=π时，两向量反向；当θ=π2时，两向量垂直，记作a⊥当a与b同向时，a∙b=|a||b|；当a与b反向时，a∙b=−|a||b|当0≤θ＜π2时，cosθ>0，从而a∙b>0；当π2＜θ≤π时，cosθ<0，从而a∙投影向量：a与b夹角为θ，b方向上的单位向量为e，则a投影：a与b夹角为θ，则a若向量a在b上的投影向量为c，则a∙b=两向量垂直，二者数量积为0；反之，两向量数量积为0，二者垂直即a⊥b⇔a∙b=0向量的平方等于向量模的平方，即a∙a=a2=|a求向量的模，先将该向量平方，再开方|a|=a平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1如果e1，e2不共线，我们把{在∆ABC中，D为BC中点，则AD=12(AB+向量的坐标表示向量加减法运算的坐标表示设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内任意一个向量a，若有a＝xi+yj，则a的坐标表示为a＝（x，y）特殊向量的坐标i=（1，0）j=（0，1）0=（0，0）点O为平面直角坐标系的原点，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标A（x1，y1），B（x2，y2）则向量AB=（x2－x1，y2－y1）向量加减法运算的坐标表示若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且a=b⇔x1=x2且y1=y向量数乘运算、数量积运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示已知a＝(x,y)则λa＝(λx,λy)（λ为任意实数）平面向量共线的坐标表示若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且a∥b⇔x1y2−x2y若线段两端点A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB中点坐标为（x1＋x两向量数量积的坐标表示：若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∙b=x1x2+y1y2求向量的模：若a＝（x，y），则|a|2=x2+y2，或|a若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB=（x2−x1，y若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且a⊥b⇔x1x2+y1y余弦定理正弦定理在∆ABC中，三个角A，B，C所对的边分别记为a，b，c余弦定理，对于任意三角形ABC，均有a2=b2+c2−2bccosAb2=a2+c2−2accosBc2=a2+b2−2abcosC余弦定理能解决两类问题：第一类：已知三角形的两边及一角求出第三边的问题第二类：已知三角形的三边求三角的问题余弦定理推论cosA=b2+c2−a22bccosB正弦定理asinA=bsinB=csinC正弦定理能解决两类问题：第一类：已知两角和一边，解三角形第二类：已知两边和其中一边的对角，解三角形正弦定理的常见变形a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(2)sinA=a2R，sinB=b2R(3)a：b：c=sinA:sinB:sinC三角形面积公式S=12absinC=12acsinB=12三角形“四心”向量结论（1）在∆ABC中，若O为∆ABC的重心，则OA+OB+OC=0（2）在∆ABC中，若O为∆ABC的垂心，则OA∙OB=OB（3）在∆ABC中，若O为∆ABC的外心，则|OA|=|OB|=|OC|（或OA2=OB（4）在∆ABC中，若O为∆ABC的内心，则OA∙（ABAB−ACAC）三角函数基本知识复习诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限正弦、余弦、正切在各象限内的符号：

正弦一二正余弦一四正正切一三正两角互余即α+β=π2时有sinα=cosβcosα=两角互补即α+β=π时有sinα=sinβcosα=−cosβ三角形ABC中A+B+C=π，即A与(B+C)互补，则sinA=sin(B+C)，cosA=−cos(B+C)直角三角形中A+B=π2，即A与B互余，则sinA=cosBsin2α+cos2α=1整理得cosα=±1−sin2αsinα=sinαcosα=