(新高考)高考数学二轮复习分层练习11《圆锥曲线的方程与性质》（解析版）

解密11圆锥曲线的方程与性质A组考点专练一、选择题1.【2020北京卷】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示，连接PF，则|PF|＝|PQ|，∴QF的垂直平分线过点P.故选B.2.(多选题)【2020新高考全国卷】已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论正确的是()A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为eq\r(n)C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】对于A，当m＞n＞0时，有eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，方程化为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝eq\f(1,n)，该方程表示半径为eq\r(\f(1,n))的圆，B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为y＝±eq\r(－\f(m,n))x，C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，D正确.3.(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为eq\r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是()A.p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4【答案】ABC【解析】如图，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由直线l的斜率为eq\r(3)，可得其倾斜角为60°.∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，A正确.∵|AE|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为AD的中点，则eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，B正确.又∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C正确.由C选项知|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，D错误.故选ABC.4.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且有eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若点P到x轴的距离为eq\f(1,4)|F1F2|，则双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)【答案】A【解析】因为eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以PF1⊥PF2，则∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2.由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2.因此2(c2－a2)＝|PF1|·|PF2|，①在Rt△PF1F2中，|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,4)|F1F2|·|F1F2|＝c2.代入①式，得2(c2－a2)＝c2，则c2＝2a2，故双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(2).5.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))【答案】B【解析】依题设x0≥0时，当点P在椭圆的上(下)顶点时，∠PF1F2最大.若在椭圆C上存在P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2＝30°，则90°＞(∠PF1F2)max≥30°，∴tan(∠PF1F2)max≥tan30°＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即b≥eq\f(\r(3),3)c.又a2＝b2＋c2，得3a2≥4c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))≤eq\r(\f(3,4))＝eq\f(\r(3),2).故椭圆离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2))).二、填空题6.【2020北京卷】已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】(3，0)eq\r(3)【解析】由eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(3),\r(6))x，即x－eq\r(2)y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝eq\f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq\r(3).7.设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\r(5).P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.【答案】1【解析】法一设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，从而c2＝a2＋4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，从而a＝1.法二由题意得，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan45°)＝4，得b2＝4，又e2＝eq\f(c2,a2)＝5，c2＝a2＋b2，所以a＝1.8.设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.【答案】(3，eq\r(15))【解析】不妨设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，则|MF1|>|MF2|，|F1F2|＝2c＝2eq\r(36－20)＝8，因为△MF1F2是等腰三角形，|MF1|>|MF2|，且|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|>6，|MF2|<6，所以△MF1F2是以MF2为底边的等腰三角形.故点M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上.因为点M在椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋4）2＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq\r(15)).三、解答题9.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，椭圆C2与C1是“相似椭圆”，且椭圆C2的短半轴长为b.(1)写出椭圆C2的方程；(2)若在椭圆C2上存在两点M，N关于直线y＝x＋1对称，求实数b的取值范围.【解析】(1)依题意，设椭圆C2的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则由椭圆C2与C1是“相似椭圆”，可得eq\f(4,a2)＝eq\f(1,b2)，即a2＝4b2.所以椭圆C2的方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1(b＞0).(2)设直线MN的方程为y＝－x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为(x0，y0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋t，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y并整理得5x2－8tx＋4(t2－b2)＝0，易知Δ＝64t2－80(t2－b2)＝16(5b2－t2)＞0，①则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(4t,5)，y0＝eq\f(t,5).由题意知线段MN的中点在直线y＝x＋1上，所以eq\f(t,5)＝eq\f(4t,5)＋1，解得t＝－eq\f(5,3)，则直线MN的方程为y＝－x－eq\f(5,3)，将t＝－eq\f(5,3)代入①式，解得b＞eq\f(\r(5),3).所以实数b的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),3)，＋∞)).10.【2019新课标Ⅲ卷】已知曲线C：y＝eq\f(x2,2)，D为直线y＝－eq\f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】(1)设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝2(t2＋1).设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四边形ADBE的面积S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).设M为线段AB的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).因为eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq\r(2).因此，四边形ADBE的面积为3或4eq\r(2).B组专题综合练11.【2019新课标Ⅱ卷】设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)【答案】A【解析】设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).12.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，且离心率为eq\f(\r(3),2)，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－eq\r(3))(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，∵椭圆的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，