2大物上-第3章刚体力学

1第3

章

Dynamics

ofRigidBody(6)

刚体力学基础力矩的瞬时、时间、空间累积效应2§3.1力矩的瞬时效应刚体的定轴转动

刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。

(a)刚体是由许多质点(质元)组成的质点系。

(b)刚体有确定的形状和大小。

(c)刚体上各质点之间的距离保持不变。

1.刚体的平动和转动

如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平行，这样的运动就称为平动。平动刚体内各质点的运动状态完全相同。

平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。

一.刚体运动学3

刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。

2.定轴转动的描述r

如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。转轴固定不动定轴转动。

定轴转动刚体上各质点的线量(速度、加速度)不同。但各质点的角量(如角位移、角速度和角加速度)相同。4二.

刚体的定轴转动1.力矩M=FrsinM=r×F

力F对o点的力矩定义为：力矩的大小:droM=Fd(1)只有在垂直于转轴平面内的力才会产生力矩;平行于转轴的力是不会产生力矩的。M(2)力矩的方向沿转轴。z

注意:对定轴转动,

方向:右手螺旋52.刚体定轴转动定理Zmirioiimi:切向方程:合外力矩合内力矩0MI(转动惯量)刚体定轴转动定理6取一对内力的力矩来研究：即一对内力的力矩的矢量和为零。也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角度来看。两个平行四边形底和高都相等，故而面积相同；两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。任意质点系的合内力矩都为零。7

质量m—物体平动惯性大小的量度。转动惯量I—物体转动惯性大小的量度。

1.转动惯量的物理意义三.

转动惯量注意：1.转动惯量是刚体的固有属性

2.转动惯量不仅依赖质量大小，还和质量对转轴的空间分布有关。8

I=miri2

即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。

(2)质量连续分布刚体式中:r为刚体上的质元dm到转轴的距离。(1)质量离散分布刚体2.转动惯量的计算9

3.平行轴定理I=Ic+Ml2

Ic通过刚体质心的轴的转动惯量M

刚体系统的总质量

l

两平行轴(o,c)间的距离IIclCMo10Ic是转轴过质心的转动惯量，于是

=011o

通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为

IO=3+ml2=2ml2=ml2例题1.1

质量离散分布:I=miri2ml2lll·crmmm

(1)轻杆连成的正三角形顶点各有一质点m，此系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为+(3m)r2=2ml212IO=m·02=30ml2+2m(2l2)+3m(4l2)+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll

(2)用轻杆连接五个质点,转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为13记住！例题1.2

质量连续分布:

若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为

解

o

(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且垂直于棒的轴转动的转动惯量。Cxxodxdm14R

(3)均质圆盘(m,R)对中心轴的转动惯量:dmrdr

(2)均质细圆环(m,R)对中心轴的转动惯量:

15

解设电磁力矩和摩擦力矩分别为M和Mf，则开启电源时有：

M-Mf=I1;=1t1关闭电源后有：

-Mf=I2;+2t2=0于是可以解得：

例题1.3电风扇开启电源时，经过t1时间达到额定转速，关闭电源后经过t2时间停止转动。设风扇转动惯量为I，且电磁力矩和摩擦力矩均为恒量，求风扇电机的电磁力矩。刚体定轴转动定理16

解

对柱体，由M=I有

mg·R=I

mgmMR对m:mg-T=ma对柱：TR=I

a=RI=MR2/2解得

=2mg/[(2m+M)R]

T=Mmg/(2m+M)

例题1.4匀质柱体(M、R)边缘用细绳挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度及绳中的张力。

绳中张力Tmg！用隔离体法:T17

m:

mg-T2=ma

a=R1=r2,2=2ah求解联立方程，代入数据，可得

=2m/s,T1=50N,T2=60N。m1:T1R=m1R2

1

m2:T2r-T1r=m2r22

例题1.5

两匀质圆盘(m1=25kg,m2=5kg)，用轻绳挂m=10kg的物体。求m从静止下落h=0.5m时的速度及绳中的张力(g=10m/s2)。

解

m1Rmm2r1T2mg2T1T118CmgABo

例题1.6均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转动，Ao=

l/3。求棒从水平位置静止开始转过角时的角加速度和角速度。

解重力集中在质心，其力矩为19完成积分得讨论:

(1)当=0时，=3g/2l，=0

(2)当=90°时，=0，CmgABo20

解o水平桌面rdr

例题1.7匀质圆盘(m、R)以o转动。将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？

摩擦力矩:21由=

o+t=0得又由2-o2=2，停下来前转过的圈数为o水平桌面rdr求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？22L=rpsin=mrsin

设质点的位矢为r，动量为p=m，角动量L的大小式中是r与两矢量间的夹角。

角动量的方向垂直于矢径r和所组成的平面,指向是r经小于180o的角转到时右螺旋方向。dmroL=md

则质点对o点的角动量(也称动量矩)为§3.2力矩的时间累积效应角动量守恒定律

1.质点的角动量

一.质点角动量守恒定律23L=rpsin=mrsin=md角动量L的大小dmroL

问题:一质量为m的质点沿一直线以速率运动,它对直线上某点的角动量为它对与直线相距d的某点的角动量为0;md。M=Frsin=FdM=r×F

力F对o点的力矩定义为：力矩的大小rdoM

质点对o点的角动量(动量矩)为24LRvm·O

质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆面不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随参考点的不同而改变。例如：方向变化方向竖直向上不变OlO锥摆m252.质点角动量定理

由于所以

质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。这个结论叫质点的角动量定理。26冲量矩

合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。它是质点角动量定理的积分形式。

对比：27

解

例题2.1

一质点的质量为m，位矢为：

r=acosti+bsintj(式中a、b、均为常量);求质点的角动量及它所受的力矩。xyzo28F=ma=-m2rM=rF=-m2rr=0质点所受的力矩:r=acosti+bsintjM=rF29

这就是说,如果质点所受的合外力矩为零时,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点角动量守恒定律。3.

质点角动量守恒守律若合外力矩为零(即M=0),则L=常矢量对比：角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。动量守恒定律是：F外=0，则p=常矢量。30

角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：

角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。开普勒第一定律：行星围绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。第二定律：由太阳到行星的矢径，在相等时间内划过相等的面积。第三定律：行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。

德国天文学家开普勒（1571-1630)31有心力场中物体的运动规律*若物体所受作用力指向同一固定点，称为有心力或中心力，对应的力场称为有心力场或中心力场(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒；(2)有心力f

(r)总是保守力，因而在此力场中运动的质点机械能守恒；(3)平方反比中心力场中质点的运动满足开普勒运动定律太阳产生的引力场就是平方反比中心力场，太阳系中各星体的运动都要满足角动量守恒。32rLvSm行星对太阳角动量的大小：

角动量L方向不变：行星总在一个平面内的椭圆轨道运动，其角动量方向保持不变。可以证明太阳系内天体的轨道方程都是圆锥曲线，包括圆、椭圆、抛物线、双曲线等。33行星对太阳的矢径在单位时间内扫过的面积。行星运动的掠面速度行星运动的角动量守恒意味着掠面速度保持不变。rLvSm34

解小球对o点的角动量守恒：

mr2

o=m(r/2)2=4o

由动能定理，拉力的功为Forom

例题2.2

光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球m以o作半径r的匀速圆周运动，现向下缓慢拉绳，求半径从r变为r/2过程中拉力的功。35d解得:

=4m/s,

=30

解机械能守恒：

例题2.3

光滑水平面上，轻弹簧为原长(lo=0.2m,k=100N/m),滑块(m=1kg)o=5m/s,方向与弹簧垂直。当弹簧绕o转过90时，其长度l=0.5m，求此时滑块速度的大小和方向。

角动量守恒：

mo

lo=mlsinololomm36对o点的角动量守恒：

moR=

解火箭只受引力(保守力)作用，机械能守恒：解得CooAMRo3Rmdm3Rsin

例题2.4

质量为m的火箭A以o沿地球表面发射出去,其轨道与地轴oo交于C点(oC=3R)。不考虑地球的自转和空气阻力，求：=？(地球质量为M、半径为R)

37ZL

miirio

Li=miiri=

miri2

刚体对z轴的角动量就是

Lz=(

miri2)

设刚体以角速度绕固定轴z转动,质量为mi的质元对o点的角动量为

=I二.

刚体的角动量及守恒守律1.刚体的角动量

刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。

刚体角动量的方向:角速度的方向。为何不用动量乘以位矢来计算?382.系统(质点系)角动量定理质点角动量定理:

即：系统所受的合外力矩等于系统总角动量对时间的变化率质点系角动量定理。它同样适用定轴转动刚体。前面讲刚体定轴转动时已经说过，系统的内力矩之和总为零（不限于刚体），于是有：mirioFifijimj39

即：系统所受合外力矩的冲量(冲量矩)等于角动量的增量。3.

定轴转动系统的角动量守恒守律当系统所受合外力矩为零时，系统的角动量将保持不变定轴转动的角动量守恒定律。I=常量

若系统所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则40角动量守恒实例41直升机飞行控制42运动生物力学猫能调整自己的空中姿态，落地时不易摔伤。我们来做个力学分析。首先，在整个过程中角动量守恒。①猫在空中弯曲身体②先绕蓝色轴把上半身转正。这时由于下半身各质元离轴距离远大于上半身，转过的反向角度较小③然后绕红色轴转正下半身，同理此时上半身转过的反向角度较小④整体姿态调整完毕43.oommrrIo=(I+2mr2)

例题2.5两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将(填：增大、减小或不变)减小44解解得mooA

例题2.6匀质杆(长l、M)静止悬挂。子弹(m,o)射入杆上的A点，并嵌在杆中，求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。(1)杆+子弹：碰撞过程角动量守恒：45(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：mooA转动动能零势面平动动能46

解

(1)碰撞过程角动量守恒:mm.o

例题2.7粗糙的水平桌面上(µ)匀质细杆(长2L、m)静止。两相同的小球(m、)与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞,求:(1)刚碰后，这一系统的角速度为多少？(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量)解得47

摩擦力矩为由=o+t得：.o.(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量)xdmdxfr48

解

例题2.8

空心圆环(Io,R)可绕竖直轴AC转动。开始时环o,小球m静止在A点，求当小球滑到B点时,环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设各处光滑,环截面很小)ABoRoC对轴AC角动量守恒:环的角速度为49

由相对运动，对小球有

B表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度(即相对于环的速度)。

ABoRoCB

机械能守恒:小球相对于环的速度为多少?零势面50

(1)系统(圆盘+人)角动量守恒：

(1)圆盘对地的角速度;(2)欲使圆盘对地静止，人相对圆盘的速度大小和方向？o

例题2.9

匀质圆盘(m、R)与一人(,视为质点)一起以o转动。若人相对盘以速率、沿半径为的圆周运动(方向如图),求:解51人对地=人对盘+

盘对地人对地=o+

角动量守恒定律只适用于惯性系。52解出：o人对地=+

53(2)欲使盘静止，可令得式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向一致。o54转动动能为平动动能为§3.3力矩的空间累积效应定轴转动中的功和能

mi的动能:=刚体上各质点动能之和一.刚体的转动动能ZL

miirio55

力矩的功率是二.力矩的功ZFdsdopr即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。=Frsind=Md力F的元功是

dA=Fds∙sin56

上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。定轴转动动能定理

三.刚体定轴转动的动能定理对比:质点动能定理：（I=恒量）57式中,hc为刚体质心到零势面的高度。四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用

如果只有保守内力作功，则系统(刚体)的机械能守恒。在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中在质心。刚体的机械能为

58Chco

解

例题3.1均匀细直棒(m、长l)从竖直位置由静止开始绕轴o转动。求转到与水平面成角时的角速度和角加速度。

棒在转动的过程中机械能守恒:零势面59

解

(1)系统机械能守恒：h零势面mrMk

例题3.2

系统开始静止,弹簧为原长。绳与滑轮间无滑动。求:(1)M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。

(2)令

=

0，得弹簧的最大伸长量为：

hmax=2Mg/k60

解

(1)棒的转动，机械能守恒：(2)碰撞过程，角动量守恒：

例题3.3

一匀质细棒(长为l、m)自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体m相碰，碰后物体m滑行距离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为，求刚碰后棒的角速度。

omS61(3)

滑行过程：解得omS讨论：当l>6S时，

>0,表示碰后棒向右摆；当l<6S时，

<0,表示碰后棒向左摆。62*回转仪和刚体进动

前面都针对定轴转动，这里做更广泛的讨论。

均质刚体绕几何对称轴的转动，称为自转或自旋。若没有外力矩的作用，则其角动量守恒。不仅转动快慢不变，角速度的方向也不变。回