三角恒等变换导学案

三角恒等变换导学案三角恒等变换导学案三角恒等变换导学案资料仅供参考文件编号：2022年4月三角恒等变换导学案版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：学案22简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝________________________(α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2))．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sinαcosα＝____________________⇒cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；升幂公式：1＋cosα＝________________，1－cosα＝_____________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________________.自我检测1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sinxcosx是()A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数2．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()A．－3,1 B．－2,2C．－3，eq\f(3,2) D．－2，eq\f(3,2)3．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是()A．－1 B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D．14．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA·sinB()A．有最大值eq\f(1,2)，最小值0B．有最小值eq\f(1,2)，无最大值C．既无最大值也无最小值D．有最大值eq\f(1,2)，无最小值探究点一三角函数式的化简例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝eq\f(4cos4x－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))的值；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，求g(x)＝eq\f(1,2)f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2已知sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝eq\f(1,4)，α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，求2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1的值．变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝eq\f(5,13)，求eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)的值．(2)已知cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，eq\f(π,2)≤α<eq\f(3π,2)，求cos(2α＋eq\f(π,4))的值．探究点三三角恒等式的证明例3(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3求证：eq\f(sin2x,sinx＋cosx－1sinx－cosx＋1)＝eq\f(1＋cosx,sinx).转化与化归思想的应用例(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanx)))sin2x＋msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).(1)当m＝0时，求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝eq\f(3,5)，求m的值．【答题模板】解(1)当m＝0时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosx,sinx)))sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f(1－cos2x＋sin2x,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1))，[3分]由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,4)))，[4分]所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，[5分]从而得f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(2),2))).[6分](2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－eq\f(m,2)cos2x＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x－eq\f(m,2)cos2x＝eq\f(1,2)[sin2x－(1＋m)cos2x]＋eq\f(1,2)，[8分]由tanα＝2，得sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝eq\f(4,5)，cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).[10分]所以eq\f(3,5)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＋\f(3,5)1＋m))＋eq\f(1,2)，[11分]解得m＝－2.[12分]【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)等于()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3) C.eq\f(1,6) D．－eq\f(1,6)2．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(1,4)，那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18) B.eq\f(13,22) C.eq\f(3,22) D.eq\f(1,6)3．(2011·石家庄模拟)已知cos2α＝eq\f(1,2)(其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)))，则sinα的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)4．若f(x)＝2tanx－eq\f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cos\f(x,2))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值为()A．－eq\f(4\r(3),3) B．8C．4eq\r(3) D．－4eq\r(3)5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(\r(3),2) D．1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sinα＝eq\f(3,5)，则tan2α＝________.7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),2)，则cosα＋sinα的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2)eq\f(3－4cos2α＋cos4α,3＋4cos2α＋cos4α).10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝eq\r(3)sinxcosx－cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))－eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理1．(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)eq\f(2tanα,1－tan2α)2.(1)eq\f(1,2)sin2α(2)eq\f(1－cos2α,2)eq\f(1＋cos2α,2)2cos2eq\f(α,2)2sin2eq\f(α,2)(sinα±cosα)2自我检测1．C2.C3.B4.D课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1解(1)f(x)＝eq\f(1＋cos2x2－2cos2x－1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(2cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)))＝eq\f(2cos22x,cos2x)＝2cos2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,12)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝2coseq\f(π,6)＝eq\r(3).(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴2x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴当x＝eq\f(π,8)时，g(x)max＝eq\r(2)，当x＝0时，g(x)min＝1.例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(eq\f(π,4)＋2α)·sin(eq\f(π,4)－2α)＝sin(eq\f(π,4)＋2α)·cos(eq\f(π,4)＋2α)＝eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋4α)＝eq\f(1,2)cos4α＝eq\f(1,4)，∴cos4α＝eq\f(1,2)，又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，故α＝eq\f(5π,12)，∴2sin2α＋tanα－eq\f(1,tanα)－1＝－cos2α＋eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝－cos2α＋eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－coseq\f(5π,6)－eq\f(2cos\f(5π,6),sin\f(5π,6))＝eq\f(5\r(3),2).变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝eq\f(5,13)，∴sinα＝eq\f(12,13).∴eq\f(sinα＋\f(π,4),cos2α＋4π)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α)＝eq\f(\f(\r(2),2)sinα＋cosα,cos2α－sin2α)＝eq\f(\f(\r(2),2),cosα－sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)－\f(12,13))＝－eq\f(13\r(2),14).(2)cos(2α＋eq\f(π,4))＝cos2αcoseq\f(π,4)－sin2αsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)，∵eq\f(π,2)≤α<eq\f(3,2)π，∴eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π.又cos(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)>0，故可知eq\f(3,2)π<α＋eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π，∴sin(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(4,5)，从而cos2α＝sin(2α＋eq\f(π,2))＝2sin(α＋eq\f(π,4))cos(α＋eq\f(π,4))＝2×(－eq\f(4,5))×eq\f(3,5)＝－eq\f(24,25).sin2α＝－cos(2α＋eq\f(π,2))＝1－2cos2(α＋eq\f(π,4))＝1－2×(eq\f(3,5))2＝eq\f(7,25).∴cos(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(cos2α－sin2α)＝eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(24,25)－eq\f(7,25))＝－eq\f(31\r(2),50).例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)解由(1)得eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝2tanα，即eq\f(x＋y,1－xy)＝2x，∴y＝eq\f(x,1＋2x2)，即f(x)＝eq\f(x,1＋2x2).(3)解∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤eq\f(π,3)，0<x≤eq\r(3)，设g(x)＝2x＋eq\f(1,x)，则g(x)＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2)(当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时取“＝”)．故函数f(x)的值域为(0，eq\f(\r(2),4)]．变式迁移3证明因为左边＝eq\f(2sinxcosx,[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1])＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cosx－12)＝eq\f(2sinxcosx,sin2x－cos2x＋2cosx－1)＝eq\f(2sinxcosx,－2cos2x＋2cosx)＝eq\f(sinx,1－cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,1－cosx1＋cosx)＝eq\f(sinx1＋cosx,sin2x)＝eq\f(1＋cosx,sinx)＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．D[∵0<α<π，3sin2α＝sinα，∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝eq\f(1,6)，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－eq\f(1,6).]2．C[因为α＋eq\f(π,4)＋β－eq\f(π,4)＝α＋β，所以α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝eq\f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(3,22).]3．B[∵eq\f(1,2)＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝eq\f(1,4).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，∴sinα＝－eq\f(1,2).]4．B[f(x)＝2tanx＋eq\f(1－2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)＝2tanx＋eq\f(2cosx,sinx)＝eq\f(2,sinxcosx)＝eq\f(4,sin2x)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝eq\f(4,sin\f(π,6))＝8.]5．C[由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝1(舍)．∴sinB＝eq\f(\r(3),2).]6．－eq\f(24,7)解析因为α为第二象限的角，又sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(24,7).7．1－eq\r(2)解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋1，∴当sin(2x＋eq\f(π,4))＝－1时，函数取得最小值1－eq\r(2).8.eq\f(1,2)解析∵eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝－eq\r(2)(sinα＋cosα)＝－eq\f(\r(2),2)，∴cosα＋sinα＝eq\f(1,2).9．解(1)∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，…………(2分)∴原式＝eq\f(sin40°,2sin20°)·eq\f(sin80°,2sin40°