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第六节极限存在准则与

两个重要极限一、极限存在准则1.两边加准则注意:准则I和准则I‘称为两边夹准则.2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列二、两个重要极限(1)例3解例4(2)定义类似地,例5设以本金S进行一项投资,投资年利率为r,表示t年后的资金总额.如果以年为单位计算复利(即每年计息一次,并把利息加入下一年的本金,重复计息),则如果以月为单位计算复利,月利率为,则如果以1/n年为单位计算复利,则如果每时每刻计算复利,则当

类似地,如果细菌每天生长的百分率为r,初始时细菌个数为a,由于细菌繁殖几乎是时刻在进行的,因此,满t天时细菌的个数为这个函数叫做生长率.如果以1/n年为单位计算复利,则如果每时每刻计算复利,则当例6(1)解(2)解例7求下列极限例8求下列极限思考题求极限思考题解答一、填空题:练习题二、求下列各极限:练习题答案作业:P561(2)、（4）、（6）、(8)；

2(2)、（4）、（6）、(8)；

3(1)、（3）、（5）；

5，6，

7（1）、（4）

8（1）、（2）第七节无穷小的比较一、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限定义:例如，例1解证必要性充分性意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:例２解二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理)证例３解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例４解例５解解错例6解三、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.3、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.第八节函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量2.连续的定义例1证由定义2知3.单侧连续定理例2解右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,例3证二、函数的间断点1.跳跃间断点例4解2.可去间断点例5解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:例8解三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型

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