微积分课件-第一章

《微积分》A第一章函数与极限教学内容和基本要求：

理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。

理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。了解数列极限的几何意义掌握收敛数列的性质理解数列极限的概念学习重点第二节数列的极限

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——

刘徽一、概念的引入S如何求圆的面积S刘徽中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过《九章算术》，成年后又继纵深入研究。在魏景元四年(263)注《九章算术》，并撰《重羞》作为《九章算术》注第十卷。唐初以后，《重差》以《海岛算经》为名单行。刘徽全面论述了《九章算木》所载的方法和公式，指出并且纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出的贡献。

思路就是从求圆内接正n边形的面积入手，n越大,正n边形面积就越接近圆的面积S正六边形的面积正十二边形的面积............（圆的面积）形的面积正

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),

nN

.

数列与函数二，数列

数列：如果按照某一法则,对每一nN,

对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

整标函数数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取例如比如:当时,趋于0当时,趋于1当时,不趋于任何定数问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它三、数列的极限当时,趋于1我们知道，数列对于式子通过这样“无限接近”的分析我们给出极限的概念

随着项数n

的增大，

xn越来越接近A（不够确切）

n充分大时，

an的值可以无限逼近A（定性描述）存在

Exist任意

Arbitrary通过如上分析知,所谓数列趋于定数A,就是很小,要多小有多小,即:对使得当时,（精确定义）数列极限的定义则称常数a是数列{xn

}的极限，或称数列{xn

}收敛于a如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的定义记作或

设有数列

{xn

}和常数

a，如果对任意给定的正数ε，总存在一个正整数

N，使得对于n>N时的一切

xn，总有成立，aa-ea+e()数列极限的几何意义NN

当n<N时点xn一般落在邻域(a-e,

a+e)外

当n>N时点xn全都落在邻域(a-e,

a+e)内任意给定的数a的e邻域(a-e,

a+e),存在2.并不是所有的数列都有极限，如

{lnn},{(-1)n+1}的极限是不存在的.

3.数列{xn}以a为极限,我们称{xn}是收敛的，且收敛于a.若数列{xn}无极限，则称数列

{xn}发散。

4.若数列{xn}收敛于a,其趋于a的方式是多种多样的。

关于极限定义的说明例1证：所以,四．数列极限的证明方法

所以,证明:例2:逐步放大法例3证

用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).所以,练习1练习2解答证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论

无界数列必定发散.收敛的数列必定有界

1.有界性五．收敛数列的性质2.唯一性：每个收敛的数列只有一个极限.证由定义