曲线积分习题课课件

曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

1曲线积分习题课一、内容提要及教学要求1会计算两类曲线cosα、cosβ的求法：起点A、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系2cosα、cosβ的求法：起点A、终点B分别对应(当α<β3格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。33格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件4（1）条件（2）应用5全微分求积6与路径无关的四个等价命题条件等价命题5与路径无关的四个等价命题条件等5(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a6(1)已知二、典型例题例1填空L的长度为7788例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

9例5计算顺时针方向L：y=2－x2上从A(，例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

10例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以11(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy12121313OA14OA141515取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则16取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则16解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

17解：L：例5计算顺时L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

18L：y=2－x2上从A(，0)到B(取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB19取l为x2+y2=2上从点A(，0)经2020解21解21解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

22解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则23由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。24起点对应θ=0，终点处θ=2π例8计算θOxy所以Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，从z轴看去沿逆时针方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1（z=0），取逆时针方向。

所以Γ的参数方程为：

起点对应θ=0，终点对应θ=2π。

25Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕利用格林公式：I=026利用格林公式：I=0262727dw=F·dr=证明：在半平面x>0内有力除原点外处处有构成力场，其中K为常数，证明此力场中力所做的功与路径无关所以……28dw=F·dr=证明：在半平面x>0内有力除原点曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

29曲线积分习题课一、内容提要及教学要求1会计算两类曲线cosα、cosβ的求法：起点A、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系30cosα、cosβ的求法：起点A、终点B分别对应(当α<β3格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。313格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件32（1）条件（2）应用5全微分求积6与路径无关的四个等价命题条件等价命题33与路径无关的四个等价命题条件等5(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a34(1)已知二、典型例题例1填空L的长度为357368例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

37例5计算顺时针方向L：y=2－x2上从A(，例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

38例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以39(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy40124113OA42OA144315取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则44取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则16解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

45解：L：例5计算顺时L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

46L：y=2－x2上从A(，0)到B(取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB47取l为x2+y2=2上从点A(，0)经4820解49解21解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

50解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则51由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。52起点对应θ=0，终点处θ=2π例8计算θOxy所以Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，从z轴看去沿逆时针方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1（z=0），取逆时针方向。

所以Γ的参数方程为：

起点对应