数学建模-微分方程的稳定性课件

稳定性模型1微分方程稳定性的理论知识2捕鱼业的持续收获3军备竞赛4废水的生物处理

稳定性模型1微分方程稳定性的理论知识稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性.稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后1微分方程稳定性的理论知识1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性1微分方程稳定性的理论知识1.1一阶微分方程的平衡点及1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点.不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p>0且q>0p<0或q<0线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(02捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益.问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳?如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.背景2捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律.单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润EsS(E)T(E)0rE捕捞过度

封闭式捕捞追求利润R(E)最大

开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量ERE*令=0xs由成本—价格比决定捕捞过度EsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E捕捞过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入支出利润临界强度Es=0经济学捕捞过度生态学捕捞过度捕鱼业的持续收获在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.捕捞过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*3军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.解释(预测)双方军备竞赛的结局.假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力.进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.目的3军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.解建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.t时的x(t)，y(t)建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张.平衡点2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平.模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备.4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久.模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),4废水的生物处理废水处理(去掉有害的有机物)通常有生物化学与物理化学两种方法.背景与问题

生物处理~利用微生物(主要是细菌)的生命活动过程,把废水中的有机物转化为简单的无机物.已知废水中有害物质浓度为10-3~10-2g/m3,要将浓度降至5×10-4g/m3以下,需建立废水与微生物混合的处理池.设废水将以10m3/h的流量进入处理池,确定处理池的容积,使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准.4废水的生物处理废水处理(去掉有害的有机物)通模型假设

生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数2.微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g.h4.处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3.微生物的自然死亡率为常数d=10-5/h1.有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g.hc(t)~时刻t有害物质的浓度b(t)~时刻t微生物的浓度模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的模型假设

生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数6.进入处理池的废水中有害物质浓度为c0,c01c0c02,c01=10-3g/m3,c02=10-2g/m3,c0可以改变,最坏情况是c0由c01突然增加到c027.环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=5×10-4g/m3,它是长期稳定排放的标准,如果是短期排放并超标不大,可以用处罚等方法解决.5.忽略蒸发等因素,废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数Q=10m3/h;废水满池,池的容积为V模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的单池模型建立一个处理池(t,t+t)内池内有害物质的平衡改变量=进入量−排出量−分解转化量c(t)~有害物质浓度b(t)~微生物的浓度V~池的容积(t,t+t)内池内微生物的平衡Q~流量非线性方程组无解析解单池模型建立一个处理池(t,t+t)内池内有害物质的单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:微生物的增殖率大于死亡和排除率当

时P1稳定,P2不稳定单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:微生物单池模型的稳态状况c01c0c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g.hd=10-5/hc0=c01=10-3g/m3V>8×103m3V>1.6×104m3c0=c*=5×10-4g/m3V↑c0↓平衡点P1稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*,处理池的容积至少需要达到1.6×104m3.一个长宽各100m,深1.6m的池子!单池模型的稳态状况c01c0c02Q=10m3/hr2=考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值,即单池模型的动态过程当c0=c01时池内浓度已处于稳态,c0突然增加到c02设V=1.6×104m3和3×104m3,用数值方法解微分方程组:考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值,即单池模型的动态过程有害物质浓度将有约1300小时超过2c*,最高达到5c*单池模型的动态过程V=1.6×104m3c(×10-3g/m3)t(h)V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有约900小时超过2c*,最高达到3c*13002c*要达到规定的标准需要太大的池子!长宽各100m,深3m的池子有害物质浓度将有约1300小时超过2c*,最高达到5c*单两个串接的池子双池模型V1,c1,b1Q,c0V2,c2,b2Q,c1,b1池Ⅰ池Ⅱ与单池模型相同(只是加上下标1)增加从池Ⅰ的流入量两个串接的池子双池模型V1,c1,b1Q,c0V2池Ⅰ方程的平衡点双池模型的稳态状况当

时P1稳定c0=c01,

V1>8×103m3池Ⅱ方程的平衡点要求稳态下池Ⅰ方程的平衡点双池模型的稳态状况当双池模型的稳态状况在c0=c01,V1>8×103m3下取值计算c1,b1,V2V1(×103m3)c1(×10-3g/m3)b1(×10-3g/m3)V2(×103m3)81.000.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.10应选择较大的V1和较小的V2相配合的方案双池模型的稳态状况在c0=c01,V1>8×103m3下双池模型的动态过程仍考察c0由c01突然增加到c02的最坏情况V1=1.4×104m3,V2=7×103m3c2(×10-3g/m3)c2(×10-3g/m3)V1=1.4×104m3,V2=2.5×104m3有害物质浓度约1200小时超过c*,很短时间超过2c*要使有害物质浓度完全不超过c*,需要V2太大双池模型的动态过程仍考察c0由c01突然增加到c02的最坏情双池模型与单池模型的比较有害物质浓度约1200小时超过c*,很短时间超过2c*有害物质浓度约900小时超过2c*,最高达到3c*双池总容积比单池减少近1/3,处理效果好得多虽然有超标,但这是最坏情况,可按处罚等方法解决V1=1.4×104m3,V2=7×103m3c2(×10-3g/m3)双池V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)单池V1+V2=2.1×104m3双池模型与单池模型的比较有害物质浓度约1200小时超过c*,稳定性模型1微分方程稳定性的理论知识2捕鱼业的持续收获3军备竞赛4废水的生物处理

稳定性模型1微分方程稳定性的理论知识稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性.稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后1微分方程稳定性的理论知识1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性1微分方程稳定性的理论知识1.1一阶微分方程的平衡点及1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点.不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程1.1一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根1.2线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p>0且q>0p<0或q<0线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(02捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益.问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳?如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.背景2捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律.单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润EsS(E)T(E)0rE捕捞过度

封闭式捕捞追求利润R(E)最大

开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER临界强度下的渔场鱼量ERE*令=0xs由成本—价格比决定捕捞过度EsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E捕捞过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入支出利润临界强度Es=0经济学捕捞过度生态学捕捞过度捕鱼业的持续收获在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.捕捞过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*3军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.解释(预测)双方军备竞赛的结局.假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力.进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.目的3军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.解建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.t时的x(t)，y(t)建模军备竞赛的结局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张.平衡点2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平.模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备.4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久.模型的定性解释,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),4废水的生物处理废水处理(去掉有害的有机物)通常有生物化学与物理化学两种方法.背景与问题

生物处理~利用微生物(主要是细菌)的生命活动过程,把废水中的有机物转化为简单的无机物.已知废水中有害物质浓度为10-3~10-2g/m3,要将浓度降至5×10-4g/m3以下,需建立废水与微生物混合的处理池.设废水将以10m3/h的流量进入处理池,确定处理池的容积,使排出废水中有害物质的浓度达到规定的标准.4废水的生物处理废水处理(去掉有害的有机物)通模型假设

生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数2.微生物依于有害物质分解、转化的能量而增殖的速率与有害物质浓度成正比，比例系数r2=1.26m3/g.h4.处理池内有害物质和微生物任何时候都均匀混合,排出废水中有害物质和微生物的浓度与池内相同.3.微生物的自然死亡率为常数d=10-5/h1.有害物质被微生物分解、转化而消失的速率与微生物浓度成正比，比例系数r1=0.1m3/g.hc(t)~时刻t有害物质的浓度b(t)~时刻t微生物的浓度模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的模型假设

生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的规律及相关参数6.进入处理池的废水中有害物质浓度为c0,c01c0c02,c01=10-3g/m3,c02=10-2g/m3,c0可以改变,最坏情况是c0由c01突然增加到c027.环境保护法规定的废水中有害物质浓度为c*=5×10-4g/m3,它是长期稳定排放的标准,如果是短期排放并超标不大,可以用处罚等方法解决.5.忽略蒸发等因素,废水进入处理池和排出处理池的流量均为常数Q=10m3/h;废水满池,池的容积为V模型假设生物化学提供了有机物分解、转化和微生物增殖、衰亡的单池模型建立一个处理池(t,t+t)内池内有害物质的平衡改变量=进入量−排出量−分解转化量c(t)~有害物质浓度b(t)~微生物的浓度V~池的容积(t,t+t)内池内微生物的平衡Q~流量非线性方程组无解析解单池模型建立一个处理池(t,t+t)内池内有害物质的单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:微生物的增殖率大于死亡和排除率当

时P1稳定,P2不稳定单池模型的稳态状况平衡点用微分方程稳定性理论可以验证:微生物单池模型的稳态状况c01c0c02Q=10m3/hr2=1.26m3/g.hd=10-5/hc0=c01=10-3g/m3V>8×103m3V>1.6×104m3c0=c*=5×10-4g/m3V↑c0↓平衡点P1稳定条件为使稳定状况下有害物质浓度达到规定标准c*,处理池的容积至少需要达到1.6×104m3.一个长宽各100m,深1.6m的池子!单池模型的稳态状况c01c0c02Q=10m3/hr2=考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值,即单池模型的动态过程当c0=c01时池内浓度已处于稳态,c0突然增加到c02设V=1.6×104m3和3×104m3,用数值方法解微分方程组:考察最坏情况取稳定平衡点P1为初值,即单池模型的动态过程有害物质浓度将有约1300小时超过2c*,最高达到5c*单池模型的动态过程V=1.6×104m3c(×10-3g/m3)t(h)V=3×104m3c(×10-3g/m3)t(h)有害物质浓度将有约900小时超过2c*,最高达到3c*13002