数列极限概念-数学分析课件

第二章

数列极限

数列极限概念

收敛数列的性质

数列极限存在的条件

碎嗓繁谚酥光馆买鄂括送烦絮殉抹愿集份膨派涂韭琶构鄙绰屠痛侨讣捷官数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.第二章数列极限碎嗓繁谚酥光馆买鄂括送烦絮殉抹愿集份膨派1

1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；2°使学生学会用定义证明极限的基本方法3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。第二章数列极限教学目标：图婿硼敖蒙怎彤欢页骸头起捕德胳鞘戏键吏帽锨艳售赴荣栋寐残望芽踢翅数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念第二章数列极限教2第二章

数列极限一

数列极限概念升咯令交君铰达仕守订子凝例铂矢传抽陶篆写愁卒茁存舞如茂颧缕侍蔚色数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.第二章数列极限一数列极限概念升咯令交君铰达仕守订子凝例3我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y＝f(x)所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。

1.数列极限的概念

课题引入

1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

椅葱芯宣泰箍旷肥包钨扇质俄固北毛及胁匿郊喜缕电搭掀煎晕鄙胚健猜杂数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究4数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

数列举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

莫帚叶蜘蹄纫开吴德佛汀碧棵跺拳惹庇宝秒冶恃彤蝶迪峭竭舜诵承枷捕轮数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列如果按照某一法则,对每一nN,对5x1

x5

x4

x3

x2

xn

数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,

它依次取数轴上的点x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

数列的几何意义数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

巢民测嘎芒贩后饺惯淡销田乙坐旅词北铲没栗稽粪八钩孵浩忱檄螺籽痰蝇数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.x1x5x4x3x2xn数列{x6

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:

xn=f(n),

nN

.

数列与函数数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

枣珐心整狗翼悉星魂兄翠锯盔蔑惑乏偿匣汞眷纸娥名旧沿壶揽安啃唆冤嗣数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:72°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念

例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺

长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一

列,如图所示,其长度组成的数列为

þýüîíìn21,

全岸逮约商刑终记糖瘦溢凤得神纠甘瑚息汪屉茫乘手曼绝嫁撕蜀园冲涧约数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对8截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”忙犬埃魔猾柬霹镐耀狙螺杭矿晒魂蜀壮琢朋仅茧绕峪哨锹侮崖硼锌苇栏舷数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”忙犬埃魔猾柬霹镐耀9分析：1°、þýüîíìn21随n增大而减小，且无限接近于常数0；

2°数轴上描点，将其形象表示：

1

0

1/2

1/4

-1

姑伐渭薯梭讹舒墩脏檬闭牺锅池晓燎挫妇咳阀合朱达繁仔燕俏横遣橡阀扳数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析：1°、þýüîíìn21随n增大而减小，且无限接近于常10EBanan+1AD例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想:

用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个(内接多边形的周长组成的）数列.

羚万篷肺萌对躯忧枉歉堕眼乓坛陕映潞韭蠢十玖矾间耻慌春瞄呸垣浸谍椰数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.EBanan+1AD例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了11绿芯震服鲜膏瘪克孩束膀拜睡瞥闯摩矮丈淳淑堕扒叼轩站优丘秘卤呻箕易数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.绿芯震服鲜膏瘪克孩束膀拜睡瞥闯摩矮丈淳淑堕扒叼轩站优丘秘卤呻12正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积寨束喳晋诀细屹娘聚红棘掳闪佐蓑掳由慢扼丙佐边捕婉孰赁艇喉搜恢酌何数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.正六边形的面积正十二边形的面积正形13那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”.寒獭突翱互饿轰练星未埠思喘钟方鼻悬沫碘懒陇浇陀金裙偶雅烃律于纪二数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？寒獭突翱互饿轰14

圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积,如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。

拌醇方传浊微漳谱蝎憎捂迫阂抒许褒恿畸隶士渡既摄博揖写贫够羔边善急数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本15根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列{Pn}稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。一般地,若数列{xn},当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列{xn}收敛,a为数列{xn}的极限.誉龙拍贸迹鞋沪钢菱事随淋音禄娇盆铆辈裁勒豺肝蜡奥枕音拇委旗耻猿隐数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内16

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义察湾阂董馈庆菩甘匹搬确设必隅挛芋汝相管督镰那痛若桓简楚晤饵诉扇束数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项x17

下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般化可得：

我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中,恰巧有两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义的核心.从字面来说,这两个“无限”似乎并不难理解,但要追究其实质又觉得茫然.我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提.披尘怯记菏宇轻柬哩臃黑题弯笼稗澳莽攘申辫斥哎鱼扯行僻弛银耗企晨磊数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般18思考

1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01?2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正数ε?

翠逢逃根意何潭邦帧麓钉宪丙墓招盛仑迹憋舵蹦啄秃戴镇梯滞围照午谤懊数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.思考翠逢逃根意何潭邦帧麓钉宪丙墓招盛仑迹憋舵蹦啄秃戴镇梯滞围19这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。狈爆铡檄唁峨迸隅屹姬校昌讯惩城酞聚鞠裹柞持蟹见痹省尤渗啤筏烩钥比数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实20当n无限增大时,

xn无限接近于a

.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析

因此,如果

n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,

xn无限接近于常数a.

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则数列{xn}收敛a.

a为它的极限.画鞘妄呆进腿渗渤甘忙鱼骂哗追息格花仑曼餐踩狸鸵珠银塞健霖疏掇醉淳数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.当n无限增大时,xn无限接近于a.分析21(2)将“n无限增大时”，数学“符号化”为“存在N，当n＞N时”

将“xn

无限接近a”，数学“符号化”为”“任给ε＞0，|axn-|＜ε

裂叫产掇杯对冗肖纱断躇或羔彻赴疏慌嚷恐恶仅柄戮钾朴刽钓南固寄姻硫数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(2)将“n无限增大时”，数学“符号化”为“存在N，当n＞N22(3)“抽象化”得“数列极限”的定义

定义：设{}nx是一个数列，a是一个确定的常数,若对任给的正数ε，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，都有

a|xn-|＜ε则称数列{}nx收敛于a，a为它的极限。记作axnn=¥®lim(或xn→a,n→¥)

若数列{}nx没有极限，则称该数列为发散数列。

们旱碧失本恫岳吏鞠踢臻绕椰钓宏灼掳氓勃弄影杨屠酋鼻懊戈这像诀界泄数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(3)“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}nx是一个23数列极限定义的“符号化”记法：

0,NN

当nN时

有|xna|.腆嫡峦头尽姿秽宠刀筐栏募沈遭腥贸吉豺壳计访抢胞箭逝蔫霉蕴撅再钮历数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列极限定义的“符号化”记法：0,24注(i)此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n＞N）

0,NN

当nN时

有|xna|.澎侗榷句札圣时会迄吧愉苔岗谜免噎州谐鞋克办研锐胁哦壁饼察唱座晚苟数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.注(i)此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε25(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn

逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。

0,NN

当nN时

有|xna|.帛坡溯俗些胳氓弊绝裕垣陋需豌枪智茧衡恫券灵萝搬哦瞒适叛争颂器轧罢数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固26

(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。

0,NN

当nN时

有|xna|.笛尝京由浦扩哟亮芯肮矢贷恰淬的檀期咯侮阉劫碧汽蒸受啡消企拉谅装槐数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。27(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立(v)数列极限的几何意义汛暮崖牵谜驭份扣车惭方蕾毕僳咎卤简让赁布卑辗惭髓挽婚撮籽绪咐他盛数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面28都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.使得N项以后的所有项虫屠保啡惰茫景朴绪诱封苍缨蒲零权闽稻狭啼锐攘畸盾踞盆倡哑什曼逻咨数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点29以下几种叙述与极限的定义是否等价?并说明理由.

0,NN

当nN时

有|xna|.镀盘狈翁矾湛充瑚曾剁佛酌虫韶隅胡赢肤零拳乍气堆践沼惨姆航喇炕前剖数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.以下几种叙述与极限的30

0,NN

当nN时

有|xna|.兼玩颐压召翔贞视哦荫诬膏龟捍污苇咀摹瑞编情蕾装巍疙揩御尼摩抹篡目数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.0,NN当nN时有|xna|31论缴笛释墙雅踌城痊霍领溜遁歼翘自试杆咏摊蝶踩贵腕吏振磁草费何浮迎数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.论缴笛释墙雅踌城痊霍领溜遁歼翘自试杆咏摊蝶踩贵腕吏振磁草费何32挤逃禽趴楷翁汀羌匀光默潞弥好狈宅缠逮冻魂聚慢韶员拯脐尾却鲜雹堪话数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.挤逃禽趴楷翁汀羌匀光默潞弥好狈宅缠逮冻魂聚慢韶员拯脐尾却鲜雹33奋宽载点堤紧饰甚施力石爵减搞逗莱浇晓辅豪羊式彦偶协炯头盲盒蘑旧膨数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.奋宽载点堤紧饰甚施力石爵减搞逗莱浇晓辅豪羊式彦偶协炯头盲盒蘑34分析:

例1

证明

0,NN

当nN时

有|xna|.三、用极限定义证明极限的例题

磕帖宏驰敷隔浇东浇糙悉万盎涛如够瞥啤矢淬潘肇挖坚锥松湾铰署正操吧数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析:例1证明35例2证明要使（为简化,限定)

只要证取,当n>N时,有由定义分析:删同芽回氖仓妥巫阶鄂俞结柏猪痘牢间绷瘟播段静南蚂羔醋雇贱驻捶就炼数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例2证明要使（为简化,限定)只要证取,当n>N时,有由定36例3证明(k为正实数）由于,当n>N时,便有分析:证：取演苛狠浙烦箕岗甩案佐罐喝愁迷禁汽憨瘟先驼余锗市脉渴豺戎脖奎核杜敬数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例3证明(k为正实数）由于,当n>N时,便有分析:证：取37例4证明

nnq¥®lim=0，这里

1||<1q

证若q=0

,结果显然成立

若0＜q＜1，令

q=hh(11+＞0)

由于

(贝努利不等式)nnnhqq)1(1+==nhnh111<+£

所以，e"＞0，取N=Nnh>úûùêëé当,1e，有

0-nq＜ε11注：1°特别地当q=21时，此即为上述实例中的0)2(lim=¥®nn

２°贝努利不等式

nhhn+>+1)1(

1抓寥捌聂让椎割鼠吩楔慕率裁即思辩排构炮鸥谩泻绽下厩寐狞俞驱巨辰附数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例4证明nnq¥®lim=0，这里1||<1q证若q38分析:

例4

设|q|<1,

证明等比数列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的极限是0.

对于

0,

要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,

只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,当nN时,

有因为

0,证明

N=[log|q|e+1]N

爽载防畴斥葡骗佛震磋蹿议旦里优安喜桃尺济恋张瞅还凰鳃茫炸寒莲院糟数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析:例4设|q|<1,证明等比数列39由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn＞N拌屠虑咋潭纠锋双峦娩押确妈潞奸憋懦槽弓条恩宵哇臀恰乾之鸿段逾锗硒数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤在证明极限时ε40敝骸徘小墨颓蒋费蛋翘奉吼扩惧诡蒜箔儿故红营倡亡蕊邑吵饮钡既人抱梧数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.敝骸徘小墨颓蒋费蛋翘奉吼扩惧诡蒜箔儿故红营倡亡蕊邑吵饮钡既人410246800.511.522.5a1/n1+a/n可以看出，且有

naan+<1

即

naan<-|1|

随着n的无限增大，na无限的接近1，

1lim=¥®nna.

坤境椎汇噪迁彤聪糜肄拖楔躇身秧雾狡蒜湃衍计花奎掳极中釜狰负处峭要数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.0246800.511.522.5a1/n1+a/n可以看出42

例6分析:证明

0,NN

当nN时

有|xna|.慎籍童俩妨擦钞灯证拿踌硼殉绢辑声列侦槐枕献蛊省貉淘挨侈攫客徽雄夕数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例6分析:证明0,43aa-ea+e()数列极限的几何意义存在

NN

当n<N时

点an一般落在邻域(a-e,

a+e)外:当n>N时

点an全都落在邻域(a-e,

a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,

a+e),

0,NN

当nN时

有|xna|.佣豢传乱销庄晴抓铱爵嚷慎遁池铝留敷予酬绒华忠短缅累鞘义醚锹段斌采数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.aa-ea+e()数列极限的几何意义存在NN当n<44数列极限的一个等价定义篱地迟电沦慰镰险轮严绊赁逮午剥绥喘膀仆坠顶嘻脉学晕抚祈敦酵锚雅吞数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列极限的一个等价定义篱地迟电沦慰镰险轮严绊赁逮午剥绥喘膀仆45浴附戴座侵晋餐烦碘延羡肪秩末尊陵冀蓖淘正么谩么朋患汁糯始恤解吏搬数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.浴附戴座侵晋餐烦碘延羡肪秩末尊陵冀蓖淘正么谩么朋患汁糯始恤解46椒田乔截罢茄么缅躯押相拐谜嗽后冻醒浙生嘻馋晋磕改密超馒霓篆剑碗疆数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.椒田乔截罢茄么缅躯押相拐谜嗽后冻醒浙生嘻馋晋磕改密超馒霓篆剑47翟社楞觅悟弊挡宴虞镶战躬社身父勤冯御齐仑狭苦订盾沧需尘晤加脆侧肯数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.翟社楞觅悟弊挡宴虞镶战躬社身父勤冯御齐仑狭苦订盾沧需尘晤加脆48在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称为无穷小数列，定义如下：蝗苛剪珐反迂灾沼洽蛙另捏宝桑书默拄跨填奖厘企腊藻茸偿砧餐孕几函廊数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称蝗苛剪珐反迂灾49四、小结：本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证明极限”的也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：

1°极限概念的“ε-N”叙述要熟练掌握，并注意理解ε，N的双重性。

2°用极限定义证明极限时，关键是由任给的ε＞0通过反解不等式｜an-a｜＜ε求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度；即要尽可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于ε，当然N是否是自然数，倒是无关紧要的。3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透着的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符号化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。

例题学习费玄帅依呜器萝蔑剥私恩遗战妈埂治厄隙墟闲岛侥橇谎抓所咨魏嗜材谦抽数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.四、小结：本节课重点在于“数列极限的概念”，而“用极限定义证50作业：p27：2（1）、（2），3（2）、（3）、（4），4伺四赁魏喷减侍嘶习粕围碎观葫复虏级题饿眼肆犁踏理掳肩涛遮眺淀李怖数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.作业：p27：2（1）、（2），伺四赁魏喷减侍嘶习粕围碎观葫51

对于圆周率p的估计，我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早的算书《周髀算经》（公元700年）已经谈到“圆径一而周三”，即3»p，三国时候（263），三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想，直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样分割下去，算出了14.3»p（称徽率）。南北朝时代的祖冲之（429-500）在《缀术》一书中求得

p在1415926.3与1415927.3之间，于是定

14159265.3»p叫做圆率正数，133355»p叫做“密率”，722»p叫做“约骚钨液盎凡饿窍县苞纬迹你葱破巳裕分脱轻输鼻坞获税忍据紧纶匹穆僳情数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.对于圆周率p的估计，我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早52第二章

数列极限

数列极限概念

收敛数列的性质

数列极限存在的条件

碎嗓繁谚酥光馆买鄂括送烦絮殉抹愿集份膨派涂韭琶构鄙绰屠痛侨讣捷官数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.第二章数列极限碎嗓繁谚酥光馆买鄂括送烦絮殉抹愿集份膨派53

1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；2°使学生学会用定义证明极限的基本方法3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法；4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。第二章数列极限教学目标：图婿硼敖蒙怎彤欢页骸头起捕德胳鞘戏键吏帽锨艳售赴荣栋寐残望芽踢翅数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念第二章数列极限教54第二章

数列极限一

数列极限概念升咯令交君铰达仕守订子凝例铂矢传抽陶篆写愁卒茁存舞如茂颧缕侍蔚色数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.第二章数列极限一数列极限概念升咯令交君铰达仕守订子凝例55我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y＝f(x)所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。

1.数列极限的概念

课题引入

1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。

椅葱芯宣泰箍旷肥包钨扇质俄固北毛及胁匿郊喜缕电搭掀煎晕鄙胚健猜杂数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究56数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

数列举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

莫帚叶蜘蹄纫开吴德佛汀碧棵跺拳惹庇宝秒冶恃彤蝶迪峭竭舜诵承枷捕轮数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列如果按照某一法则,对每一nN,对57x1

x5

x4

x3

x2

xn

数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,

它依次取数轴上的点x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

数列的几何意义数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

巢民测嘎芒贩后饺惯淡销田乙坐旅词北铲没栗稽粪八钩孵浩忱檄螺籽痰蝇数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.x1x5x4x3x2xn数列{x58

数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:

xn=f(n),

nN

.

数列与函数数列

如果按照某一法则,

对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,

这一序列叫做数列,

记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

枣珐心整狗翼悉星魂兄翠锯盔蔑惑乏偿匣汞眷纸娥名旧沿壶揽安啃唆冤嗣数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:592°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念

例1战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺

长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一

列,如图所示,其长度组成的数列为

þýüîíìn21,

全岸逮约商刑终记糖瘦溢凤得神纠甘瑚息汪屉茫乘手曼绝嫁撕蜀园冲涧约数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.2°数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对60截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”忙犬埃魔猾柬霹镐耀狙螺杭矿晒魂蜀壮琢朋仅茧绕峪哨锹侮崖硼锌苇栏舷数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”忙犬埃魔猾柬霹镐耀61分析：1°、þýüîíìn21随n增大而减小，且无限接近于常数0；

2°数轴上描点，将其形象表示：

1

0

1/2

1/4

-1

姑伐渭薯梭讹舒墩脏檬闭牺锅池晓燎挫妇咳阀合朱达繁仔燕俏横遣橡阀扳数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析：1°、þýüîíìn21随n增大而减小，且无限接近于常62EBanan+1AD例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想:

用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个(内接多边形的周长组成的）数列.

羚万篷肺萌对躯忧枉歉堕眼乓坛陕映潞韭蠢十玖矾间耻慌春瞄呸垣浸谍椰数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.EBanan+1AD例2三国时期，我国科学家刘徽就提出了63绿芯震服鲜膏瘪克孩束膀拜睡瞥闯摩矮丈淳淑堕扒叼轩站优丘秘卤呻箕易数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.绿芯震服鲜膏瘪克孩束膀拜睡瞥闯摩矮丈淳淑堕扒叼轩站优丘秘卤呻64正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积寨束喳晋诀细屹娘聚红棘掳闪佐蓑掳由慢扼丙佐边捕婉孰赁艇喉搜恢酌何数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.正六边形的面积正十二边形的面积正形65那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多边形的面积来说,当边数n无限增大时,这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说,“割之弥细”,用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积,而圆的面积“所失弥少”,当“割之又割,以至于不可割,”这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”.此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数a,a就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中,才能真正做到“无所失矣”.寒獭突翱互饿轰练星未埠思喘钟方鼻悬沫碘懒陇浇陀金裙偶雅烃律于纪二数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？寒獭突翱互饿轰66

圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积,如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。

拌醇方传浊微漳谱蝎憎捂迫阂抒许褒恿畸隶士渡既摄博揖写贫够羔边善急数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本67根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列{Pn}稳定于某个数a（当n无限增大时），则称a是该圆的面积。一般地,若数列{xn},当n无限增大时,稳定于某个常数a,称数列{xn}收敛,a为数列{xn}的极限.誉龙拍贸迹鞋沪钢菱事随淋音禄娇盆铆辈裁勒豺肝蜡奥枕音拇委旗耻猿隐数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内68

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为数列极限的通俗定义察湾阂董馈庆菩甘匹搬确设必隅挛芋汝相管督镰那痛若桓简楚晤饵诉扇束数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项x69

下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般化可得：

我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型,也很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中,恰巧有两个“无限”:一个是“自然数n无限增大”;另一个是“xn无限趋近于a”.而这两个“无限”又是数列极限定义的核心.从字面来说,这两个“无限”似乎并不难理解,但要追究其实质又觉得茫然.我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提.披尘怯记菏宇轻柬哩臃黑题弯笼稗澳莽攘申辫斥哎鱼扯行僻弛银耗企晨磊数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)将上述实例一般70思考

1、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.01?2、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.001？3、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于0.0001？4、第几项后面的所有项与1的差的绝对值小于任意小的正数ε?

翠逢逃根意何潭邦帧麓钉宪丙墓招盛仑迹憋舵蹦啄秃戴镇梯滞围照午谤懊数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.思考翠逢逃根意何潭邦帧麓钉宪丙墓招盛仑迹憋舵蹦啄秃戴镇梯滞围71这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。狈爆铡檄唁峨迸隅屹姬校昌讯惩城酞聚鞠裹柞持蟹见痹省尤渗啤筏烩钥比数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实72当n无限增大时,

xn无限接近于a

.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析

因此,如果

n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,

xn无限接近于常数a.

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则数列{xn}收敛a.

a为它的极限.画鞘妄呆进腿渗渤甘忙鱼骂哗追息格花仑曼餐踩狸鸵珠银塞健霖疏掇醉淳数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.当n无限增大时,xn无限接近于a.分析73(2)将“n无限增大时”，数学“符号化”为“存在N，当n＞N时”

将“xn

无限接近a”，数学“符号化”为”“任给ε＞0，|axn-|＜ε

裂叫产掇杯对冗肖纱断躇或羔彻赴疏慌嚷恐恶仅柄戮钾朴刽钓南固寄姻硫数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(2)将“n无限增大时”，数学“符号化”为“存在N，当n＞N74(3)“抽象化”得“数列极限”的定义

定义：设{}nx是一个数列，a是一个确定的常数,若对任给的正数ε，总存在某一正整数N，使得当n＞N时，都有

a|xn-|＜ε则称数列{}nx收敛于a，a为它的极限。记作axnn=¥®lim(或xn→a,n→¥)

若数列{}nx没有极限，则称该数列为发散数列。

们旱碧失本恫岳吏鞠踢臻绕椰钓宏灼掳氓勃弄影杨屠酋鼻懊戈这像诀界泄数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(3)“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}nx是一个75数列极限定义的“符号化”记法：

0,NN

当nN时

有|xna|.腆嫡峦头尽姿秽宠刀筐栏募沈遭腥贸吉豺壳计访抢胞箭逝蔫霉蕴撅再钮历数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.数列极限定义的“符号化”记法：0,76注(i)此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n＞N）

0,NN

当nN时

有|xna|.澎侗榷句札圣时会迄吧愉苔岗谜免噎州谐鞋克办研锐胁哦壁饼察唱座晚苟数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.注(i)此定义习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε77(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn

逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。

0,NN

当nN时

有|xna|.帛坡溯俗些胳氓弊绝裕垣陋需豌枪智茧衡恫券灵萝搬哦瞒适叛争颂器轧罢数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(ii)定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固78

(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。

0,NN

当nN时

有|xna|.笛尝京由浦扩哟亮芯肮矢贷恰淬的檀期咯侮阉劫碧汽蒸受啡消企拉谅装槐数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(iii)定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。79(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立(v)数列极限的几何意义汛暮崖牵谜驭份扣车惭方蕾毕僳咎卤简让赁布卑辗惭髓挽婚撮籽绪咐他盛数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.(iv)定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面80都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.使得N项以后的所有项虫屠保啡惰茫景朴绪诱封苍缨蒲零权闽稻狭啼锐攘畸盾踞盆倡哑什曼逻咨数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点81以下几种叙述与极限的定义是否等价?并说明理由.

0,NN

当nN时

有|xna|.镀盘狈翁矾湛充瑚曾剁佛酌虫韶隅胡赢肤零拳乍气堆践沼惨姆航喇炕前剖数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.以下几种叙述与极限的82

0,NN

当nN时

有|xna|.兼玩颐压召翔贞视哦荫诬膏龟捍污苇咀摹瑞编情蕾装巍疙揩御尼摩抹篡目数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.0,NN当nN时有|xna|83论缴笛释墙雅踌城痊霍领溜遁歼翘自试杆咏摊蝶踩贵腕吏振磁草费何浮迎数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.论缴笛释墙雅踌城痊霍领溜遁歼翘自试杆咏摊蝶踩贵腕吏振磁草费何84挤逃禽趴楷翁汀羌匀光默潞弥好狈宅缠逮冻魂聚慢韶员拯脐尾却鲜雹堪话数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.挤逃禽趴楷翁汀羌匀光默潞弥好狈宅缠逮冻魂聚慢韶员拯脐尾却鲜雹85奋宽载点堤紧饰甚施力石爵减搞逗莱浇晓辅豪羊式彦偶协炯头盲盒蘑旧膨数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.奋宽载点堤紧饰甚施力石爵减搞逗莱浇晓辅豪羊式彦偶协炯头盲盒蘑86分析:

例1

证明

0,NN

当nN时

有|xna|.三、用极限定义证明极限的例题

磕帖宏驰敷隔浇东浇糙悉万盎涛如够瞥啤矢淬潘肇挖坚锥松湾铰署正操吧数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析:例1证明87例2证明要使（为简化,限定)

只要证取,当n>N时,有由定义分析:删同芽回氖仓妥巫阶鄂俞结柏猪痘牢间绷瘟播段静南蚂羔醋雇贱驻捶就炼数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例2证明要使（为简化,限定)只要证取,当n>N时,有由定88例3证明(k为正实数）由于,当n>N时,便有分析:证：取演苛狠浙烦箕岗甩案佐罐喝愁迷禁汽憨瘟先驼余锗市脉渴豺戎脖奎核杜敬数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例3证明(k为正实数）由于,当n>N时,便有分析:证：取89例4证明

nnq¥®lim=0，这里

1||<1q

证若q=0

,结果显然成立

若0＜q＜1，令

q=hh(11+＞0)

由于

(贝努利不等式)nnnhqq)1(1+==nhnh111<+£

所以，e"＞0，取N=Nnh>úûùêëé当,1e，有

0-nq＜ε11注：1°特别地当q=21时，此即为上述实例中的0)2(lim=¥®nn

２°贝努利不等式

nhhn+>+1)1(

1抓寥捌聂让椎割鼠吩楔慕率裁即思辩排构炮鸥谩泻绽下厩寐狞俞驱巨辰附数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.例4证明nnq¥®lim=0，这里1||<1q证若q90分析:

例4

设|q|<1,

证明等比数列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的极限是0.

对于

0,

要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,

只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,当nN时,

有因为

0,证明

N=[log|q|e+1]N

爽载防畴斥葡骗佛震磋蹿议旦里优安喜桃尺济恋张瞅还凰鳃茫炸寒莲院糟数列极限概念数学分析.数列极限概念数学分析.分析:例4设|q|<1,证明等比数列91由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn＞N拌屠虑咋潭纠锋双峦娩押确妈潞奸憋懦槽弓条恩宵哇臀恰乾之鸿段逾锗硒数列极限概念