破解概率与统计大题

微信：miqing100微信：miqing100概率与统计问题一．方法综述概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．本专题重点说明破解概率与统计问题的方法与技巧.二．解题策略类型一过“文字关”——抓关键语句，破干扰信息【例1】【2019•新课标Ⅰ，21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，，1，，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，2，，，其中，，．假设，．证明：，1，2，，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）的所有可能取值为，0，1．，，，的分布列为：01（2）证明：，，由（1）得，，，．因此，2，，，故，即，又，，1，2，，为公比为4，首项为的等比数列；解：由可得，，，，．表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【指点迷津】1.此类问题文字叙述较长，解答问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例数字、字母等)；(3)明确题目所求内容．2.本题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.【举一反三】【2020湖南浏阳一中第六次月考】随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次类推；y表示人数)：x12345y(万人)2050100150180（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进.若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元.已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.附：在线性回归方程中，.【解析】（1）故从而所以所求线性回归方程为，令，解得.故预计到2022年该公司的网购人数能超过300万人（2）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷骰子出现奇数，遥控车移到第一格，其概率为,即.遥控车移到第（）格的情况是下列两种，而且也只有两种.①遥控车先到第格，又掷出奇数，其概率为②遥控车先到第格，又掷出偶数，其概率为所以，当时，数列是公比为的等比数列以上各式相加，得（），获胜的概率失败的概率设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为元，或X的期望参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约400元.类型二过“图表关”——会转换信息，思解题方法【例2】【2019•新课标Ⅲ，理17】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成、两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中，的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【解析】（1）为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到（C）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：，解得乙离子残留百分比直方图中，．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：．乙离子残留百分比的平均值为：．【指点迷津】从所给表格中正确提取解题所需要的信息是解决此类问题的关键．【举一反三】【2020届吉林长春十一中线上模拟】为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示．分组（单位：岁）频数频率5①②合计（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望．【解析】（1）①处填,②处填；补全频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在的人数为．（2）用分层抽样的方法,从中选取人,则其中“年龄低于岁”的有5人,“年龄不低于岁”的有人．由题意知,X的可能取值为0,1,2,且,,．∴X的分布列为：X012P∴．类型三过“计算关”——明算理，精计算，防失分【例3】【2020四川内江模拟】基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码123456111316152021（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系.如果能，请计算出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的型车和800元/辆的型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：报废年限车型1年2年3年4年总计1030402010015403510100经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.【解析】（1）由表格中数据可得，，.∵.∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，∴，∴关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆的利润为（元），这100辆款单车平均每辆的利润为（元）．∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.【指点迷津】（1）在计算K2的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c，d所表示的值．（2）利用最小二乘法求“eq\o(b,\s\up6(^))”时，应注意避免计算出错．（3）计算随机变量的概率，往往涉及排列组合计算，易于出错，应特别细心.【举一反三】【2020届广东佛山顺德区第三次质检】为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2.【解析】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根据题意完善2×2列联表，如下；超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计321648计算，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则X～B（60，），所以，k＝0，1，2，3，…，60；.三．强化训练1．【2020河北张家口一中期末】甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求实数的取值范围.【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；P(ξ＝3)＝·a2＝.所以ξ的分布列为ξ0123P(1－a)2(1－a2)(2a－a2)ξ的数学期望为E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范围是.2.【2020天津市部分区质调查（二)】某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为，第二关每次闯过的概率均为.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。【解析】（1）设事件为“甲恰好闯关次才闯关成功的概率”，则有，（2）由已知得：随机变量的所有可能取值为，所以，，，.从而234.3.【2020届重庆一中下期第一次月考】某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，所调查的芯片得分均在7，19内，将所得统计数据分为如下：，，，，,六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中.（1）求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测｡若3个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到13万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到13万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到13万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为160元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试．现手机公司测试部门预算的测试经费为5万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片?请说明理由.【解析】（1）根据概率之和为1，可得：结合可得：故这100颗芯片评测分数的平均数为：（2）由题可知公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到13万分的概率为设每颗芯片的测试费用为元，则可能取值为：320,480,640,800，故每颗芯片的测试费用的数学期望为：元，则，故经费不足够测试完这100颗芯片.4.【2020江西省南昌八中期末】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两年度未发生有责任道路交通事故下浮上三年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量105520155以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.【解析】（1）由题意可知：X的可能取值为，，，，，由统计数据可知：，，，，，.所以的分布列为：.（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为：.②设Y为给销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为所以Y的分布列为：YP所以.所以该销售商一次购进辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为万元.5.【2020届山东济宁3月线上】公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为，求的分布列及数学期望.【解析】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为在第二天接种后当天出现症状的概率为：能参加第三天试验但不能参加下一个接种同期的概率为：，∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）设事件为“在一个接种周期内出现2次或3次症状”，则；随机变量可能的取值为1，2，3，则；所以的分布列为123随机变量的数学期望为：6.【2020届四川眉山二诊】在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望.【解析】（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件为“张明第次击中”，事件为“王慧第次击中”，，由事件的独立性和互斥性可得（张明和王慧家庭至少击中三次鼓），所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是.（2）的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.，，，，.∴的分布列为－200－50100250400∴（分）7.【2020届河南南阳一中第九次考试】某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率?【解析】（1）系统不需要维修的概率为.（2）设为维修维修的系统的个数，则，且，所以.所以的分布列为050010001500所以的期望为.（3）当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作.若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统均能正常工作，则概率为.所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，于是由知，当时，即时，可以提高整个系统的正常工作概率.8.【2020湖北武汉部分学校起点监测】武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.【解析】（1）可能取值为3，4，5，6.，，，.∴的分布列为3456∴（2）（i）总分恰为分的概率为，∴数列是首项为，公比为的等比数列，前10项和.（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2分，概率为，.所以，即∴.∴，∴9.【2020湖北省部分重点中学第一次联考】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试。现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50。用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元。已知硬币出现正、反面的概率都是0.5方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次。若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到）若掷出反面遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为P试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值。【解析】（1）（千米）（2）因为服从正态分布所以（3）遥控车开始在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为,即。遥控车移到第n（）格的情况是下列两种，而且也只有两种。①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为所以，当时，数列是公比为的等比数列以上各式相加，得（），获胜的概率失败的概率设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0X的期望参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为，约2万元.10．【2020河南南阳一中月考】某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，，两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：组别年龄组统计结果组统计结果经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车27人13人40人20人23人17人35人25人20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述3