2022高考数学（理）一轮通用版讲义：12.1统计

PAGE34第十二章eq\b\lc\|\rc\\a\vs4\al\co1,,,,,,,,概率与统计第一节统计[考纲要求]1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．3．了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．4．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．5．能从样本数据中提取基本的数字特征平均数、标准差，并作出合理的解释．6．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．7．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．突破点一随机抽样

eq\a\vs4\al[基本知识]1．简单随机抽样1定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本n≤N，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．2．系统抽样在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样也称为机械抽样．3．分层抽样在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．4．三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样均为不放回抽样，且抽样过程中每个个体被抽取的机会相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样元素个数很多且均衡的总体抽样分层抽样将总体分成几层，分层按比例进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成eq\a\vs4\al[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1简单随机抽样是一种不放回抽样．2简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．3系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．4要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．5分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．答案：1√2×3√4×5×二、填空题1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是________．答案：总体2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．答案：163．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案：1800

1．系统抽样的最基本特征是“等距性”，一般地，每组内所抽取的号码依据第一组抽取的号码和组距确定．每组抽取的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项、组距d为公差的等差数列{an}，第组抽取的号码为a＝m＋－1d2．分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比＝eq\f样本容量,总体容量＝eq\f各层样本数量,各层个体数量eq\a\vs4\al[典例感悟]1．2022·河北石家庄二中三模某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法按等距的规则抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为A．16 B．17C．18 D．19解析：选C∵从1000名学生中抽取一个容量为40的样本，∴系统抽样的分段间隔为eq\f1000,40＝25，设第一组随机抽取的号码为，则抽取的第18组的号码为＋17×25＝443，∴＝2．2022·吉林通化模拟分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税则下列说法错误的是A．甲应付51eq\f41,109钱B．乙应付32eq\f24,109钱C．丙应付16eq\f56,109钱D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少解析：选B依题意由分层抽样可知，100÷560＋350＋180＝eq\f10,109，则甲应付：eq\f10,109×560＝51eq\f41,109钱；乙应付：eq\f10,109×350＝32eq\f12,109钱；丙应付：eq\f10,109×180＝16eq\f56,109钱．eq\a\vs4\al[方法技巧]系统抽样和分层抽样中的计算1系统抽样总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组eq\fN,n个有零头时要先去掉．若第一组抽到编号为的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为＋eq\fN,n，…，＋n－1eq\fN,n2分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．eq\a\vs4\al[针对训练]1．2022·唐山模拟用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体M被抽到的概率为\f1,100 \f1,99\f1,20 \f1,50解析：选C一个总体含有100个个体，每个个体被抽到的概率为eq\f1,100，用简单随机抽样方法从该总体中抽取容量为5的样本，则每个个体被抽到的概率为eq\f1,100×5＝eq\f1,202．2022·江西八校联考从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为A．480 B．481C．482 D．483解析：选C根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25n－1≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝4823．2022·陕西部分学校摸底检测某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则应分别抽取老年人、中年人、青年人的人数是A．7,11,18 B．6,12,18C．6,13,17 D．7,14,21解析：选D因为该单位共有27＋54＋81＝162人，样本容量为42，所以应当按eq\f42,162＝eq\f7,27的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且应分别抽取的人数是7,14,4．2022·全国卷Ⅲ某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样突破点二用样本估计总体

eq\a\vs4\al[基本知识]1．频率分布直方图和茎叶图1作频率分布直方图的步骤①求极差即一组数据中最大值与最小值的差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．2频率分布折线图和总体密度曲线频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线3茎叶图的优点茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．2．众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据或两个数据的平均数中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据1，2，…，n，那么这n个数的平均数eq\o,\s\u1＋a，m2＋a，…，mn＋a的平均数为meq\o,\s\u2s2eq\a\vs4\al[基本能力]一、判断题对的打“√”，错的打“×”1在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．2在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．3从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．4茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．5平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．6一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．答案：1√2×3√4×5√6×二、填空题1．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积之和的eq\f2,5，且样本容量为140，则中间一组的频数为________．答案：402．某学校组织学生参加数学测试，成绩单位：分的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40，[40,60，[60,80，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．

答案：503．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．

答案：93,924．已知一组正数1，2，3的方差s2＝eq\f1,3eq\o\al2,1＋eq\o\al2,2＋eq\o\al2,3－12，则数据1＋1，2＋1，3＋1的平均数为________．答案：3

eq\a\vs4\al[全析考法]考法一折线图、饼图的应用[例1]12022·全国卷Ⅰ某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半22022·昆明市高三质检“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2022年9月到2022年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．

根据该统计图判断，下列结论正确的是A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从该关键词的搜索指数来看，2022年10月的方差小于11月的方差D．从该关键词的搜索指数来看，2022年12月的平均值大于2022年1月的平均值[解析]1设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a新农村建设前后，各项收入的对比如下表：新农村建设前新农村建设后新农村建设后变化情况结论种植收入60%a37%×2a＝74%a增加A错其他收入4%a5%×2a＝10%a增加一倍以上B对养殖收入30%a30%×2a＝60%a增加了一倍C对养殖收入＋第三产业收入30%＋6%a＝36%a30%＋28%×2a＝116%a超过经济收入2a的一半D对故选A2由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B；由统计图可知，2022年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2022年10月的方差大于11月的方差，排除C；由统计图可知，2022年12月该关键词的搜索指数大多高于10000，该月平均值大于10000,2022年1月该关键词的搜索指数大多低于10000，该月平均值小于10000，选D[答案]1A2Deq\a\vs4\al[方法技巧]利用饼图、折线图分析问题的关键是读懂图形，读准图形中给的数据，明确图形中的变化等．考法二频率分布直方图的应用[例2]2022·安徽黄山二模全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2022年8月某日起连续n天监测空气质量指数AQI，数据统计如下表：空气质量指数μg/m3[0,50]50,100]100,150]150,200]200,250]空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染天数2040m1051根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；

2由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；3在空气质量指数分别为50,100]和150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”的概率．[解]1∵×50＝eq\f20,n，∴n＝100，∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25eq\f40,100×50＝；eq\f25,100×50＝；eq\f10,100×50＝；eq\f5,100×50＝由此完成频率分布直方图，如图：

2由频率分布直方图得该组数据的平均数为25××50＋75××50＋125××50＋175××50＋225××50＝95，∵[0,50]的频率为×50＝，50,100]的频率为×50＝，∴中位数为50＋eq\f－,×50＝3由题意知在空气质量指数为50,100]和150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为50,100]的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为150,200]的1天记为e，从中任取2天的基本事件为a，b，a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，c，d，c，e，d，e，共10个，其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，共6个，所以的值为

A． B．C． D．解析：选C由题意，得年龄在区间[30,40内的频率为×10＝，则赞成高校招生改革的市民有eq\f2500,＝10000人，因为年龄在区间[20,30内的有1200人，所以m＝eq\f\f1200,10000,10＝3．eq\a\vs4\al[考法三]一次数学考试后，某老师从甲、乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则－y的值为A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选D由茎叶图知eq\b\lc\{\rc\\a\vs4\al\co1\f72＋77＋86＋80＋＋90,5＝81，,70＋y＝73，解得＝0，y＝3，所以－y＝－3，故选D\a\vs4\al[考法三、四]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩百分制的茎叶图

若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位请运用统计学的知识说明理由．解：学生甲的平均成绩eq\\to甲＝eq\f68＋76＋79＋86＋88＋95,6＝82，学生乙的平均成绩eq\\to乙＝eq\f71＋75＋82＋84＋86＋94,6＝82，又seq\o\al2,甲＝eq\f1,6×[68－822＋76－822＋79－822＋86－822＋88－822＋95－822]＝77，seq\o\al2,乙＝eq\f1,6×[71－822＋75－822＋82－822＋84－822＋86－822＋94－822]＝eq\f167,3，则eq\\to甲＝eq\\to乙，seq\o\al2,甲＞seq\o\al2,乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．\a\vs4\al[考法二、四]2022·全国卷Ⅰ某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位：m3和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，[，[，[，[，[，[，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，[，[，[，[，[，频数1513101651在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；

2估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；3估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表解：1频率分布直方图如图所示．

2根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于的频率为×＋1×＋×＋2×＝，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率的估计值为3该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为eq\\to1＝eq\f1,50××1＋×3＋×2＋×4＋×9＋×26＋×5＝该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为eq\\to2＝eq\f1,50××1＋×5＋×13＋×10＋×16＋×5＝估计使用节水龙头后，一年可节省水－×365＝m3．[课时跟踪检测]1．2022·福州质检下面抽样方法是简单随机抽样的是A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验假设10个手机已编号解析：选D平面直角坐标系中有无数个点，这与简单随机抽样中要求总体中的个体数有限不相符，故A错误；一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故B错误；50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C错误．故选D2．2022·北大附中期末某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则应在该学院的C专业抽取的学生人数为A．30 B．40C．50 D．60解析：选BC专业的学生有1200－380－420＝400名，由分层抽样知应抽取120×eq\f400,1200＝40名．故选B3．从2022名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样方法从2022人中剔除15人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f50,2022 D．都相等，且为eq\f1,40解析：选C因为简单随机抽样和系统抽样都是等可能抽样，从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于eq\fM,N，故从2022名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，每人入选的概率都相等，且为eq\f50,2022故选C4．2022·广西南宁毕业班摸底已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

A．100,20 B．200,20C．200,10 D．100,10解析：选B由题图甲可知学生总人数是10000，样本容量为10000×2%＝200，抽取的高中生人数是2000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B5．2022·福州质检某学校共有师生4000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为A．100 B．150C．200 D．250解析：选C设教师人数为，由题意知：eq\f200,4000＝eq\f200－190,，解得＝200，故选C6．2022·南昌模拟我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之不超过3%，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过A．6 B．7C．8 D．9解析：选B由题意得，eq\fn,235×100%≤3%，解得n≤，所以若这批米合格，7．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩单位：次，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是

A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8解析：选C第一组数据的频率为×5＝，第二组数据的频率为×5＝，第三组数据的频率为×5＝，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋，则×＝－－＝，∴＝，∴中位数为，故A错误．第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为，∴众数为，故B错误1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为×5＝，∴超过30次的人数为400×＝80，故C正确1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为×5＝，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×＝40，故D错误．故选C8．2022·黄陵中学期末为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄在17～18岁的男生体重g，将他们的体重按[,，[,，…，[,]分组，得到的频率分布直方图如图所示．由图可知这100名学生中体重在[,的学生人数是

A．20 B．30C．40 D．50解析：选C由频率分布直方图可得体重在[,的学生的频率为＋＋＋×2＝，则这100名学生中体重在[,的学生人数为100×＝9．2022·广西五市联考如图是2022年第一季度五省GD＝________

解析：由题意，得eq\f73＋79＋82＋85＋80＋m＋83＋92＋93,8＝84，解得m＝5答案：513．2022·沈阳期末联考为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为________．解析：采用系统抽样的方法从2000名学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为11＋20×5－1＝91答案：9114．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

解析：设5个数据分别为1，2，3，4，5∵平均数为7，∴eq\f1＋2＋3＋4＋5,5＝7又∵样本方差为4，∴4＝eq\f1,5[1－72＋2－72＋…＋5－72]，∴20＝eq\o\al2,1＋eq\o\al2,2＋eq\o\al2,3＋eq\o\al2,4＋eq\o\al2,5－2×7×1＋2＋3＋4＋5＋72×5，∴eq\o\al2,1＋eq\o\al2,2＋eq\o\al2,3＋eq\o\al2,4＋eq\o\al2,5＝265又∵42＋62＋72＋82＋102＝265，∴样本数据中的最大值为10答案：1015．2022·湖南长郡中学选拔考试据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”，这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语考试．如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图．1通过这8人