2022高考数学（理）一轮通用版讲义：7.3基本不等式

PAGE18第三节基本不等式1了解基本不等式的证明过程．2会用基本不等式解决简单的最大小值问题．突破点一利用基本不等式求最值

eq\a\vs4\al[基本知识]1．基本不等式：eq\rab≤eq\fa＋b,21基本不等式成立的条件：a>0，b>02等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式eq\b\lc\\rc\}\a\vs4\al\co11a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\fb,a＋\fa,b≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fa＋b,22，a，b∈R；,4\fa2＋b2,2≥\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fa＋b,22，a，b∈Req\a\vs4\al当且仅当a＝b时,等号成立3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\fa＋b,2，几何平均数为eq\rab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知>0，y>0，则：1如果积y是定值,－2>2的最小值为6，则正数m的值为________．[解析]1∵0<<1，∴3－3＝31－≤3eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\f＋1－,22＝eq\f3,4当且仅当＝1－，即＝eq\f1,2时等号成立．2∵>2，m>0，∴y＝－2＋eq\fm,－2＋2≥2eq\r－2·\fm,－2＋2＝2eq\rm＋2，当且仅当＝2＋eq\rm时取等号，又函数y＝＋eq\fm,－2>2的最小值为6，∴2eq\rm＋2＝6，解得m＝4[答案]1B24[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：1拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；3拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．考法二通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2]12022·青岛模拟已知>0，y>0，lg2＋lg8y＝lg2，则eq\f1,＋eq\f1,3y的最小值是A．2 B．2eq\r2C．4 D．2eq\r322022·齐齐哈尔八校联考若对>0，y>0，＋2y＝1，有eq\f2,＋eq\f1,y≥m恒成立，则m的最大值是________．[解析]1因为lg2＋lg8y＝lg2，所以＋3y＝1，所以eq\f1,＋eq\f1,3y＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,＋\f1,3y＋3y＝2＋eq\f3y,＋eq\f,3y≥4当且仅当eq\f3y,＝eq\f,3y，即＝eq\f1,2，y＝eq\f1,6时取等号．2∵>0，y>0，＋2y＝1，∴eq\f2,＋eq\f1,y＝＋2y·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f2,＋\f1,y＝2＋2＋eq\f4y,＋eq\f,y≥4＋2eq\r\f4y,·\f,y＝8，当且仅当＝eq\f1,2，y＝eq\f1,4时取等号，∴eq\f2,＋eq\f1,y的最小值为8，又eq\f2,＋eq\f1,y≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8[答案]1C28[方法技巧]通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：1根据已知条件或其变形确定定值常数；2把确定的定值常数变形为1；3把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；4利用基本不等式求解最值．eq\a\vs4\al[集训冲关]\a\vs4\al[考法一]已知<0，则函数y＝eq\f4,＋的最大值是A．－18 B．18C．16 D．－4解析：选D∵<0，∴y＝－eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\f4,－＋－≤－4，当且仅当＝－2时取等号．\a\vs4\al[考法二]正数a，b满足eq\f1,a＋eq\f9,b＝1，若不等式a＋b≥－2＋4＋18－m对任意实数恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为a>0，b>0，eq\f1,a＋eq\f9,b＝＋b＝a＋b·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,a＋\f9,b＝10＋eq\fb,a＋eq\f9a,b≥10＋2eq\r9＝16由题意．得16≥－2＋4＋18－m，即2－4－2≥－m对任意实数恒成立，又2－4－2＝－22－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6答案：[6，＋∞突破点二基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、立体几何、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力．eq\a\vs4\al[全析考法]考法一基本不等式的实际应用问题[例1]如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6cm，上栏与下栏的框内高度不含铝合金部分的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为acm，bcm，铝合金窗的透光部分的面积为Scm21试用a，b表示S；2若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少[解]1∵铝合金窗宽为acm，高为bcm，a>0，b>0，∴ab＝28800①设上栏框内高度为hcm，则下栏框内高度为2hcm，则3h＋18＝b，∴h＝eq\fb－18,3，∴透光部分的面积S＝a－18×eq\f2b－18,3＋a－12×eq\fb－18,3＝a－16b－18＝ab－29a＋8b＋288＝28800－29a＋8b＋288＝29088－29a＋8b．2∵9a＋8b≥2eq\r9a·8b＝2eq\r9×8×28800＝2880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝eq\f9,8a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．∴铝合金窗的宽为160cm，高为180cm时，可使透光部分的面积最大．[方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的方法1此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．2当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．考法二基本不等式与其他知识的交汇问题考向一基本不等式与函数的交汇问题[例2]2022·北京西城区期末已知A，B是函数y＝2的图象上不同的两点，若点A，B到直线y＝eq\f1,2的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是A．－∞，－1 B．－∞，－2C．－∞，－3 D．－∞，－4[解析]设A1，y1，B2，y2，不妨设1<＝2为单调增函数，若点A，B到直线y＝eq\f1,2的距离相等，则eq\f1,2－y1＝y2－eq\f1,2，即y1＋y2＝1，即21＋22＝1由基本不等式得1＝21＋22≥2eq\r21·22，当且仅当1＝2＝－1时取等号，则21＋2≤eq\f1,4，解得1＋2<－2因为1≠2，等号取不到，故选B[答案]B考向二基本不等式与数列的交汇问题[例3]2022·济宁期末已知a>0，b>0，并且eq\f1,a，eq\f1,2，eq\f1,b成等差数列，则a＋9b的最小值为A．16 B．9C．5 D．4[解析]∵eq\f1,a，eq\f1,2，eq\f1,b成等差数列，∴eq\f1,a＋eq\f1,b＝1，∴a＋9b＝a＋9beq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,a＋\f1,b＝10＋eq\fa,b＋eq\f9b,a≥10＋2eq\r\fa,b·\f9b,a＝16，当且仅当eq\fa,b＝eq\f9b,a且eq\f1,a＋eq\f1,b＝1，即a＝4，b＝eq\f4,3时等号成立，故选A[答案]A考向三基本不等式与解析几何的交汇问题[例4]2022·邢台月考当双曲线M：eq\f2,m－eq\fy2,m2＋4＝1的离心率最小时，M的渐近线方程为A．y＝±2 B．y＝±2eq\r2C．y＝±eq\r2 D．y＝±eq\f1,2[解析]由题意得m>0，e＝eq\r1＋\fm2＋4,m＝eq\r1＋m＋\f4,m≥eq\r1＋2\rm·\f4,m＝eq\r5，当且仅当m＝eq\f4,m，即m＝2时等号成立，所以双曲线的方程为eq\f2,2－eq\fy2,8＝1，所以渐近线方程为y＝±2，故选A[答案]A[方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略1应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式或式子变形，然后利用基本不等式求解．2条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．eq\a\vs4\al[集训冲关]\a\vs4\al[考法二·考向一]已知函数y＝loga＋3－1a>0且a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线m＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f1,m＋eq\f1,n的最小值为A．3－2eq\r2 B．5C．3＋2eq\r2 D．3＋eq\r2解析：选C令＋3＝1，得＝－2，故A－2，－1．又点A在直线m＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，则eq\f1,m＋eq\f1,n＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,m＋\f1,n2m＋n＝3＋eq\fn,m＋eq\f2m,n≥3＋2eq\r\fn,m·\f2m,n＝3＋2eq\r2当且仅当m＝eq\f1,2＋\r2，n＝eq\f1,\r2＋1时等号成立，所以eq\f1,m＋eq\f1,n的最小值为3＋2eq\r2，故选C\a\vs4\al[考法二·考向二]已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq\f1,a，n＝a＋eq\f1,b，则m＋n的最小值是A．3 B．4C．5 D．6解析：选B由题意知ab＝1，∴m＝b＋eq\f1,a＝2b，n＝a＋eq\f1,b＝2a，∴m＋n＝2a＋b≥4eq\rab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．\a\vs4\al[考法二·考向三]两圆2＋y2－2my＋m2－1＝0和2＋y2－4n＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则eq\f4,m2＋eq\f1,n2的最小值为A．1 B．2C．3 D．4解析：选D由题意可知两圆内切，2＋y2－2my＋m2－1＝0化为2＋y－m2＝1，2＋y2－4n＋4n2－9＝0化为－2n2＋y2＝9，故eq\r4n2＋m2＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，eq\f4,m2＋eq\f1,n2＝eq\f1,4eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f4,m2＋\f1,n24n2＋m2＝2＋eq\f4n2,m2＋eq\fm2,4n2≥2＋2eq\r\f4n2,m2·\fm2,4n2＝4\a\vs4\al[考法一]某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式＝3－eq\f2,t＋1已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元解：由题意知t＝eq\f2,3－－11<<3，设该公司的月利润为y万元，则y＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co148＋\ft,2－32－3－t＝16－eq\ft,2－3＝16－eq\f1,3－＋eq\f1,2－3＝－eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1163－＋\f1,3－≤－2eq\r16＝，当且仅当＝eq\f11,4时取等号，即最大月利润为万元[课时跟踪检测][A级基础题——基稳才能楼高]1．函数f＝eq\f\r,＋1的最大值为\f2,5 B．eq\f1,2\f\r2,2 D．1解析：选B显然≥＝0时，f＝0；当>0时，＋1≥2eq\r，∴f≤eq\f1,2，当且仅当＝1时取等号，fma＝eq\f1,22，若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是\f|a＋b|,2≥eq\r|ab| B．eq\fb,a＋eq\fa,b≥2\fa2＋b2,2≥eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fa＋b,22 D．a＋beq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f1,a＋\f1,b≥4解析：选C由于a，b∈R，所以A、B、D项不能直接运用基本不等式考察，先考虑C项．∵eq\fa2＋b2,2－eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fa＋b,22＝eq\f2a2＋b2－a2＋2ab＋b2,4＝eq\fa2－2ab＋b2,4＝eq\fa－b2,4≥0，∴eq\fa2＋b2,2≥eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\fa＋b,223．2022·东北三省四市一模已知>0，y>0，且4＋y＝y，则＋y的最小值为A．8 B．9C．12 D．16解析：选B由题意可得eq\f4,y＋eq\f1,＝1，则＋y＝＋y·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f4,y＋\f1,＝5＋eq\f4,y＋eq\fy,≥5＋2eq\r\f4,y×\fy,＝9，当且仅当eq\f4,y＝eq\fy,，即＝3，y＝6时等号成立，故＋y的最小值为94．已知，y都为正实数，且＋y＋eq\f1,＋eq\f1,y＝5，则＋y的最大值是A．3 B．C．4 D．解析：选C因为＋y＋eq\f1,＋eq\f1,y＝＋y＋eq\f＋y,y≥＋y＋eq\f＋y,\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f＋y,22＝＋y＋eq\f4,＋y，所以＋y＋eq\f4,＋y≤＋y＝2－5t＋4≤0，解得1≤t≤45．2022·西藏林芝期中若，y均为正数，则eq\f3,y＋eq\f12y,＋13的最小值是A．24 B．28C．25 D．26解析：选C因为，y均为正数，所以由基本不等式得eq\f3,y＋eq\f12y,＋13≥2eq\r\f3,y·\f12y,＋13＝25，当且仅当＝2y时等号成立，故eq\f3,y＋eq\f12y,＋13的最小值是25，故选C[B级保分题——准做快做达标]1．2022·郑州外国语学校月考若a>b>1，an＝4aeq\o\al2,2，则eq\f2,m＋eq\f1,2n的最小值为A．1 B．eq\f1,2\f3,4 D．eq\f3,2解析：选C由题意知aman＝aeq\o\al2,12m＋n－2＝4aeq\o\al2,122＝aeq\o\al2,124，∴m＋n＝6，则eq\f2,m＋eq\f1,2n＝eq\f1,6eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f2,m＋\f1,2nm＋n＝eq\f1,6eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,eq\f5,2＋eq\f2n,m＋eq\fm,2neq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,≥eq\f1,6×eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f5,2＋2＝eq\f3,4，当且仅当m＝2n时取等号，∴eq\f2,m＋eq\f1,2n的最小值为eq\f3,4，故选C4．2022·岳阳一中模拟已知a>b>0，则2a＋eq\f4,a＋b＋eq\f1,a－b的最小值为A．6 B．4C．2eq\r3 D．3eq\r2解析：选A因为eq\f4,a＋b＋eq\f1,a－b＝eq\f1,2aeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,eq\f4,a＋b＋eq\f1,a－beq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,·eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1a＋b＋a－b＝eq\f1,2aeq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1,,,,5＋eq\fa＋b,a－b＋eq\f4a－b,a＋beq\b\lc\\rc\]\a\vs4\al\co1,,,,≥eq\f1,2a5＋4＝eq\f9,2a当且仅当a＝3b时取等号，所以2a＋eq\f4,a＋b＋eq\f1,a－b≥2a＋eq\f9,2a≥6当且仅当a＝eq\f3,2时后一个不等式取等号，故选A5．2022·甘肃诊断已知向量a＝3，－2，b＝，y－1，且a∥b，若，y均为正数，则eq\f3,＋eq\f2,y的最小值是\f5,3 B．eq\f8,3C．8 D．24解析：选C因为a∥b，故3y－1＝－2，整理得2＋3y＝3，所以eq\f3,＋eq\f2,y＝eq\f1,32＋3yeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f3,＋\f2,y＝eq\f1,3eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,12＋eq\f9y,＋eq\f4,yeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1,,,,≥eq\f1,3eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co112＋2\r\f9y,·\f4,y＝8，当且仅当＝eq\f3,4，y＝eq\f1,2时等号成立，所以eq\f3,＋eq\f2,y的最小值为8，故选C6．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为A．9 B．2eq\r3C．3eq\r2 D．2eq\r6解析：选Da＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2a2＋b2＋c2＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a＋b＋c≤2eq\r67．2022·林州一中模拟已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为A．10 B．15C．20 D．25解析：选C由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4S12－S8＝S8－S42，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝eq\fS4＋52,S4＝S4＋eq\f25,S4＋10≥2eq\rS4×\f25,S4＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为208．2022·赣州月考半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若，n满足2m＋n＋6＝mn，则mn的最小值是________．解析：由2m＋n＋6＝mn，m>0，n>0，得2eq\r2mn＋6≤2m＋n＋6＝mn，令eq\r2mn＝tt>0，则2t＋6≤eq\ft2,2，即t2－4t－12≥0，解得t≤－2舍或t≥6，即eq\r2mn≥6，mn≥18，则mn的最小值是18答案：1812．2022·张掖月考设a>0，b>1，若a＋b＝2，则eq\f3,a＋eq\f1,b－1的最小值为________．解析：∵a>0，b>1，a＋b＝2，∴eq\f3,a＋eq\f1,b－1＝eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f3,a＋\f1,b－1a＋b－1＝3＋eq\f3b－1,a＋eq\fa,b－1＋1＝4＋eq\f3b－1,a＋eq\fa,b－1≥4＋2eq\r3，当eq\f3b－1,a＝eq\fa,b－1，即a＝eq\f3－\r3,2，b＝eq\f\r3＋1,2时取等号，故最小值为4＋2eq\r3答案：4＋2eq\r313．2022·石家庄高三一检已知直线l：a＋by－ab＝0a>0，b>0经过点2,3，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点2,3，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝eq\f2a,a－3>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋eq\f2a,a－3＝a－3＋eq\f6,a－3＋5≥5＋2eq\ra－3·\f6,a－3＝5＋2eq\r6，当且仅当a－3＝eq\f6,a－3，即a＝3＋eq\r6，b＝2＋eq\r6时等号成立．答案：5＋2eq\r614．2022·唐山二模已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>11求证：a＋b≤2；2判断等式eq\rac＋eq\rbd＝c＋d能否成立，并说明理由．解：1证明：由题意得a＋b2＝3ab＋1≤3e