2023届高考数学一轮复习作业离散型随机变量的均值与方差正态分布新人教B版

PAGEPAGE8离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．(2021·四川泸州高三二模)离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝4，D(X)＝3，则p的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)C[因为二项分布X～B(n，p)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(EX＝np＝4，,DX＝np1－p＝3，))解得p＝eq\f(1,4)．]2．(2021·内蒙古包头高三二模)设X～N(1,1)，且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是()注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827．A．75385B．60375C．70275D．65865D[因为X～N(1,1)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，向正方形ABCD中随机投掷一个点，这个点落在阴影部分的概率为P＝1－eq\f(1,2)P(0<x<2)＝1－0.34135＝0.65865，所以取自阴影部分的点的个数约为100000×0.65865＝65865．]3．(2021·浙江杭州高三三模)已知随机变量ξ，η满足ξ～B(2，p)，η＋2ξ＝1，且P(ξ≤1)＝eq\f(3,4)，则D(η)的值为()A．0B．1C．2D．3C[因为随机变量ξ满足ξ～B(2，p),P(ξ≤1)＝eq\f(3,4)，所以有P(ξ≤1)＝1－p2＝eq\f(3,4)，即p＝eq\f(1,2)．则D(ξ)＝2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，η＝1－2ξ，D(η)＝4D(ξ)＝2．]4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝()A．3B．eq\f(7,2)C．eq\f(18,5)D．4B[ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(3,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋A\o\al(3,3)C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),A\o\al(4,5))＝eq\f(3,5)，则E(ξ)＝2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,10)＋4×eq\f(3,5)＝eq\f(7,2)，故选B．]5．(2020·全国卷Ⅲ)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且eq\o(∑,\s\up11(4),\s\do4(i＝1))pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2B[对于A，当p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4时，随机变量X1的分布列为X11234P0.10.40.40.1E(X1)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.4＋4×0.1＝2.5，D(X1)＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝1.52×0.1＋0.52×0.4＋0.52×0.4＋1.52×0.1＝0.65，所以eq\r(DX1)＝eq\r(0.65)．对于B，当p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1时，随机变量X2的分布列为X21234P0.40.10.10.4E(X2)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.1＋4×0.4＝2.5，D(X2)＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.52×0.4＋0.52×0.1＋0.52×0.1＋1.52×0.4＝1.85，所以eq\r(DX2)＝eq\r(1.85)．对于C，当p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3时，随机变量X3的分布列为X31234P0.20.30.30.2E(X3)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.3＋4×0.2＝2.5，D(X3)＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.52×0.2＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，所以eq\r(DX3)＝eq\r(1.05)．对于D，当p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2时，随机变量X4的分布列为X41234P0.30.20.20.3E(X4)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3＝2.5，D(X4)＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.52×0.3＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45，所以eq\r(DX4)＝eq\r(1.45)．所以B中的标准差最大．]二、填空题6．(2021·四川师范大学附属中学高三期中)已知离散型随机变量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，随机变量η＝4ξ＋1，则η的数学期望E(η)＝．4[∵离散型随机变量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴E(ξ)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，∴E(η)＝E(4ξ＋1)＝4E(ξ)＋1＝4×eq\f(3,4)＋1＝4．]7．(2021·辽宁大连高三二模)一个袋子里装有大小相同的2个白球和2个黑球，从中任取2个球，其中含有白球个数为X，则X的方差D(X)＝．eq\f(1,3)[根据题意，摸得白球的个数X可能取的值为0,1,2．计算P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(4,6)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(0,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)．所以随机变量X的数学期望为：E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(4,6)＋2×eq\f(1,6)＝1，所以随机变量X的方差为：D(X)＝eq\f(1,6)×(0－1)2＋eq\f(4,6)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(2－1)2＝eq\f(1,3)．]8．2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是．eq\f(3,8)[由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95,82)，∴P(ξ＞95)＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\UP12(4)＝eq\f(3,8)．]三、解答题9．大豆是我国主要的农作物之一，因此，大豆在农业发展中占有重要的地位，随着农业技术的不断发展，为了使大豆得到更好的种植，就要进行超级种培育研究．某种植基地培育的“超级豆”种子进行种植测试：选择一块营养均衡的可种植4株的实验田地，每株放入三粒“超级豆”种子，且至少要有一粒种子发芽这株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205kg．已知每粒豆苗种子成活的概率为eq\f(1,2)(假设种子之间及外部条件一致，发芽相互没有影响)．(1)求恰好有3株成活的概率；(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η(kg)，求随机变量ξ分布列及η的数学期望E(η)．[解](1)设每株豆子成活的概率为P0，则P0＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\UP12(3)＝eq\f(7,8)．所以4株中恰好有3株成活的概率P＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(1)＝eq\f(343,1024)．(2)记成活的豆苗株数为ξ，收成为η＝2.205ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,8)))，所以ξ的分布列如下表：ξ01234PCeq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－,\f(7,8)))eq\s\UP12(4)Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(3)Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(2)Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\UP12(1)Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\UP12(4)∴E(ξ)＝4×eq\f(7,8)＝3.5，E(η)＝E(2.205ξ)＝2.205·E(ξ)＝7.7175(kg)．10．(2021·合肥一六八中学高三模拟)2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117．(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数eq\x\to(z)和方差s2；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布N(μ，δ2)，用eq\x\to(z)作为μ的估计值，用s2作为δ2的估计值．随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,3.21]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼的质量在[1,21,3.21]的条数，利用(2)的结果，求ξ的数学期望．附：(1)数据t1，t2，…tn的方差s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(ti－eq\o(t,\s\up7(－)))2＝eq\f(1,n)(eq\i\su(i＝1,n,t)eq\o\al(2,i)－neq\o(t,\s\up7(－))2)．(2)若随机变量X服从正态分布N(μ，δ2)，则P(μ－δ≤X≤μ＋δ)＝0.6827；P(μ－2δ≤X≤μ＋2δ)＝0.9545；P(μ－3δ≤X≤μ＋3δ)＝0.9973．[解](1)eq\o(z,\s\up7(－))＝eq\f(105＋66,60＋40)＝1.71，s2＝eq\f(200.41＋117,100)－1.712＝0.25．(2)该鱼塘鱼质量满足X～N(μ，δ2)，其中μ＝1.71，δ2＝0.25，即X～N(1.71,0.25)，则P(μ－δ≤X≤μ)＝eq\f(0.6827,2)，P(μ≤X≤μ＋3δ)＝eq\f(0.9973,2)，∴P(1.21≤X≤3.21)＝P(μ－δ≤X≤μ＋3δ)＝P(μ－δ≤X≤μ)＋P(μ<X≤μ＋3δ)＝eq\f(0.6827＋0.9973,2)＝0.84．(3)由(2)可得鱼的质量在[1,21,3.21]的概率为0.84．由题意可知ξ～B(1000,0.84)，由二项分布的数学期望公式可得，ξ的数学期望为E(ξ)＝1000×0.84＝840．1．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,6)B[由题意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)．]2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C[由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞eq\f(5,2)或p＜eq\f(1,2)．由p∈(0,1)，可得p∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．]3．在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝，方差D(ξ)的最大值为．peq\f(1,4)[记事件A发生的次数ξ可能的值为0,1．ξ01P1－pp数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤eq\f(1,4)．故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为eq\f(1,4)．]4．某城市A公司外卖配送员底薪是每月1800元/人，设每月每人配送的单数为X，若X∈[1,300]，配送员每单提成3元；若X∈(300,600]，配送员每单提成4元；若X∈(600，＋∞)，配送员每单提成4.5元．B公司外卖配送员底薪是每月2100元/人，设每月每人配送的单数为Y，若Y∈[1,400]，配送员每单提成3元；若Y∈(400，＋∞)，配送员每单提成4元．小王计划在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在9月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1：A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2：B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资为f(X)(单位：元/人)，B公司外卖配送员月工资为g(Y)(单位：元/人)，当X＝Y且X，Y∈(300,600]时，比较f(X)与g(Y)的大小．(2)若将甲、乙9月份的日送餐量的频率视为对应公司日送餐量的概率．(ⅰ)分别计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望；(ⅱ)请利用你所学的知识为小王作出选择，并说明理由．[解](1)因为X＝Y且X，Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋3X)＝X－300＞0．当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1800＋4X)－(2100＋4X)＝－300＜0．故当X∈(300,400]时，f(X)＞g(X)，当X∈(400,600]时，f(X)＜g(X)．(2)(ⅰ)甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820Peq\f(1,15)eq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(1,5)eq\f(1,15)eq\f(1,15)则E(x)＝13×eq\f(1,15)＋14×eq\f(1,5)＋16×eq\f(2,5)＋17×eq\f(1,5)＋18×eq\f(1,15)＋20×eq\f(1,15)＝16．乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618Peq\f(2,15)eq\f(1,6)eq\f(2,5)eq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,30)则E(y)＝11×eq\f(2,15)＋13×eq\f(1,6)＋14×eq\f(2,5)＋15×eq\f(1,10)＋16×eq\f(1,6)＋18×eq\f(1,30)＝14．(ⅱ)E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)．估计A公司外卖配送员月薪平均为1800＋4E(X)＝3720(元)．估计B公司外卖配送员月薪平均为2100＋4E(Y)＝3780(元)．因为3780＞3720，所以小王应选择做B公司外卖配送员．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城．其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等．(1)为了解“五一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42,52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记这4人中年龄在[47,52]内的人数为ξ，求P(ξ＝3)．(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验，某旅游景点游船中心计划在2022年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A型游船供游客乘坐观光．由2010年到2019年这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X(单位：万人)都大于1．将每年劳动节当日客流量分成3个区间整理得下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量(单位：艘)要受当日客流量X(单位：万人)的影响，其关系如下表：劳动节当日客流量X1＜X＜33≤