2023年三明市普通高中毕业班质量检查-理科数学

2023年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，第二卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共6页，总分值150分，考试时间120分钟。考前须知：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签〕笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据，的标准差锥体体积公式其中为底面面积，为高其中为样本平均数球的外表积、体积公式柱体体积公式其中为底面面积，为高其中为球的半径第I卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填涂在答题卡上。1．复数等于A．B．C．D．2．双曲线的渐近线方程是A．B．C．D．3．在中，为的中点，那么以下向量与同向的是A．B．C．D．4．函数的图象，〔局部〕如下图，那么的解析式是A．B．C．D．5．以下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为A．B．C．D．6．某市教育部门通过调查10000名高中生参加体育锻炼的状况，根据调查数据画出了样本分布直方图〔如上图〕，为了分析学生参加体育锻炼与课程学习的关系，采用分层抽样的方法从这10000人再抽出100人做进一步调查，那么在每周参加体育锻炼的时间落在小时内的学生中应抽出的人数为A．15B．20C．25D．507．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，那么不等式的解集为A．B．C．D．8．设、是不同的直线、、是不同的平面，有以下四个命题①；②；③；④其中正确的是命题是A．①④B．②③C．①③D．②④9．假设，命题；命题直线与圆相交，那么是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．如果两个位数相同的自然数恰好只有某一数位上的数字不相同，那么称这两个数为相邻数，例如：123与103、5555与5565分别是两个相邻数，假设集合中的元素均为两位数，且任意两个数都不是相邻数，那么中的元素最多有A．8个B．9个C．11个D．12个第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。11．假设正数、满足那么的最大值为____________。12．在亚丁湾某海域有一执行任务的甲军舰得悉，其正东方向距离20海里处，有一艘货轮遇海盗袭击等待营救，甲舰南偏西30°距离10海里处有一艘乙舰，甲、乙两舰共同实施救援行动，此时乙舰与货轮的距离是___________海里。13．由曲线所围成的封闭图形的面积为__________。14．运行如下图的程序流程图，那么输出的值为_____________。15．集合，直线的斜率为，且，令那么__________。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．〔本小题总分值13分〕如图，过原点且倾斜角为的直线交单位圆于点是单位圆与轴正半轴的交点，是单位圆上第二象限的点，且为正三角形〔I〕求与的值；〔Ⅱ〕现向单位圆内随机投掷一个点，求该点落在内的概率。17．〔本小题总分值13分〕某市为提高城市品位，方案对市内现有全部出租车进行更新换代，在引进新车型的同时淘汰等量的旧车型，现决定2023年1月份更新辆，以后每个月更新的车辆数比前一个月多辆，两年时间更新完毕。〔I〕问该市的出租车共有多少辆？〔Ⅱ〕假设从第二个月起，每个月以10%的增长速度进行更新，至少需要多少个月才能更新完毕？〔参考数据：〕18．〔本小题总分值13分〕如图，在长方体中，，点在侧面内，、分别为、的中点。〔I〕求证：平面；〔Ⅱ〕求平面与平面所成角的余弦值；〔Ⅲ〕假设，当为何值时，面。19．〔本小题总分值13分〕椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。〔I〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；〔Ⅲ〕设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？假设存在，求出定点的坐标，假设不存在，请说明理由。20．〔本小题总分值14分〕函数〔I〕假设时，求的极值；〔Ⅱ〕假设存在的单调递减区间，求的取值范围；〔Ⅲ〕假设图象与轴交于，的中点为，求证：21．此题有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，总分值14分，如果多做，那么按所做的前两题记分。〔1〕〔本小题总分值7分〕选修4-2；矩阵与变换矩阵，向量〔I〕求矩阵的特征值、和特征向量、；〔Ⅱ〕求的值。〔2〕〔本小题总分值7分〕选修4—4；坐标系与参数方程以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位的极坐标方程为，的参数方程为〔为参数〕，求、的公共弦的长度。〔3〕〔本小题总分值7分〕选修4—5；不等式选讲假设函数的最小值为2，求自变量的取值范围2023年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。1．B2．D3．A4．A5．B6．C7．C8．C9．A10．B二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分。11．512．13．14．715．三、解答题：本大题共6小题，共80分。16．解：〔I〕由三角函数的定义可知又为正三角形，〔Ⅱ〕圆的面积为。该点落在内的概率17．解：〔I〕依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为，公差为的等差数列，设第个月更新的车辆数为，那么该市的出租车总数〔辆〕〔Ⅱ〕依题意，每个月更新的车辆数构成一个首项为，公比为1.1的等比数列，那么第个月更新的车辆数，设至少需要个月才能更新完毕，个月更新的车辆总数，即，由参数数据可得故以此速度进行更新，至少需要37个月才能更新完该市所有的出租车18．解〔I〕，为等腰直角三角形，〔Ⅱ〕如图建立空间直角坐标系，那么设平面的一个法向量为，那么有得平面的一个法向量而的一个法向量平面与平面所成的角的余弦值〔Ⅲ〕，设平面的法向量为，那么有平面的一个法向量为假设要使得面，那么要，即解得，当时，面19．解法一：〔I〕设椭圆方程为，由题意知故椭圆方程为〔Ⅱ〕由〔I〕得，所以，设的方程为〔〕代入，得设那么由，当时，有成立。〔Ⅲ〕在轴上存在定点，使得、、三点共线。依题意知，直线BC的方程为，令，那么的方程为、在直线上，在轴上存在定点，使得、、三点共线。解法二：〔I〕同解法一。〔Ⅱ〕由〔I〕得，所以。设的方程为代入，得设那么当时，有成立。〔Ⅲ〕在轴上存在定点，使得、、三点共线。设存在使得、、三点共线，那么，，即，。所以，存在，使得、、三点共线。20．解：〔I〕当时，由或。x(0,1)1+—单调递增极大值单调递减时，，无极小值。〔Ⅱ〕存在单调递减区间，在内有解，即在内有解。假设，那么，在单调递增，不存在单调递减区间；假设，那么函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点〔0，1〕，要使在内有解，那么应有或，由于，；假设，那么函数的图象是开口向下的抛物线，且恒过点〔0，1〕，在内一定有解。综上，或。〔Ⅲ〕依题意：，假设结论