二元一次方程组竞赛题集

二元一次方程组竞赛题集二元一次方程组优化专题一1.$\begin{cases}4(x-y-1)=3(1-y)-2\\xy+2=23\end{cases}$改写为：$\begin{cases}4x-4y=1\\xy=21\end{cases}$2.$\begin{cases}2x-3y-2=2x-3y+5\\2x-3y+5+2y=9\\7x=18\end{cases}$改写为：$\begin{cases}0=-7\\x=18/7\end{cases}$3.$\begin{cases}9(m+n)=18\\2m+3(m+n)=20\end{cases}$改写为：$\begin{cases}m+n=2\\5m+3n=20\end{cases}$4.$5x^2+2y^2-z^2$，已知$4x-3y-6z=0,x+2y-7z\neq0$，求代数式$5x^2+2y^2-z^2$的值。改写为：$5x^2+2y^2-z^2=5x^2+2y^2-(4x-3y)/2\cdot7z$$=5x^2+2y^2-14x+10y+21z$由$4x-3y-6z=0$和$x+2y-7z\neq0$，解得$x=3,y=-2,z=-2$，代入得$5x^2+2y^2-z^2=43$。5.$\begin{cases}2x-3y^2-10z^2=0\\mx+2y=10\end{cases}$改写为：$\begin{cases}mx+2y=10\\3mx+6y=30\end{cases}$由此得到$3mx+6y=3(mx+2y)=3\times10=30$，所以$m=0$或$m=2$。6.已知方程组$5x-y=3$，求$k$使得方程组$\begin{cases}y=kx+b\\y=(3k-1)x+2\end{cases}$有解。改写为：$\begin{cases}y=kx+b\\y=(3k-1)x+2\end{cases}\Rightarrowkx+b=(3k-1)x+2$$\Rightarrowx=\dfrac{2-b}{2-2k},y=\dfrac{6-5k-b}{2-2k}$由$5x-y=3$得到$y=5x-3$，代入上式得到$k=2$。7.已知方程组$\begin{cases}(a-1)x+y=5\\x+y=b\end{cases}$，求$a,b$使得方程组有唯一解。改写为：$\begin{cases}ax+(a+2)y=2a+5\\x+y=b\end{cases}$当$a=1$时，第一个方程变为$y=2$，与第二个方程矛盾，无解；当$a\neq1$时，两个方程相减得到$(a-3)y=2a-b-5$，若$a=3$，则$y$无限制，即无数解；若$a\neq3$，则$y=\dfrac{2a-b-5}{a-3}$，代入第二个方程得到$x=\dfrac{b-2a+5}{a-3}$，所以方程组有唯一解当且仅当$a\neq1,3$。8.已知方程组$\begin{cases}3x-4y=12\\9x+5y=7\end{cases}$，求$a,b$使得方程组$\begin{cases}ax+by=15\\7ax+5by=9\end{cases}$有无穷多个解。改写为：$\begin{cases}x=\dfrac{28}{3}y-3\\7ax+5by=9\end{cases}$代入第一个方程得到$7a(\dfrac{28}{3}y-3)+5by=9$，整理得到$49ay+15by=135$，即$(49a+15b)y=135$，所以方程组有无穷多个解当且仅当$49a+15b=0$。9.已知方程组$\begin{cases}(a-1)x+(a+2)y-2a+5=0\\6x+my=26\end{cases}$，求$m$使得方程组有整数解。改写为：$\begin{cases}ax+(a+2)y=2a-5\\6x+my=26\end{cases}$由第二个方程解出$x=\dfrac{26-my}{6}$，代入第一个方程得到$(a-1)\dfrac{26-my}{6}+(a+2)y=2a-5$，整理得到$(a-1)(26-my)+(a+2)6y=72$，即$(a-1)m+8ay=70$，所以$m$是$8a-1$的倍数。10.已知$x,y,z$不全为$0$，方程组$\begin{cases}4x-3y-6z=2x^2+3y^2-6z^2\\22x+5y+7z=x+2y-7z\end{cases}$，求$2x^2+2y^2-2z^2$的值。改写为：$\begin{cases}2x^2+3y^2-6z^2-4x+3y=0\\21x+3y-14z=0\end{cases}$由第二个方程解出$y=14z-21x/3$，代入第一个方程得到$2x^2+2y^2-2z^2=2x^2+8z^2-14xz/3$，再代入第二个方程得到$2x^2+2y^2-2z^2=44/3$。11.已知$a+b=c,b+c=d,c+d=a$，求$a+b+c+d$的最大值。改写为：$a+b=c$$b+c=d$$c+d=a$相加得到$a+2b+2c+2d=a+d$，即$a+d=2b+2c$。由$c+d=a$得到$d=a-c$，代入得到$a+c=2b$，所以