广东省揭阳市2020―2020学年度高三数学学业水平考试试题理

绝密★启用前广东省揭阳市2020学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时l20分钟.注意事项：.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上..选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上..非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效..考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1〜一参考公式：锥体的体积公式V-Sh,其中S是锥体的底面积，h为锥体的高.3一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合1.集合A{x|yA.iAJ1x2,xZ},则2B.i2Ai4A.已知倾斜角为A.45B.的直线l与直线x2y20平行，则tan2.已知倾斜角为A.45B.的直线l与直线x2y20平行，则tan2的值为.已知f(x)是定义在34R上的奇函数,C.f(x)433xD.(m为常数)23则f(10g35)的值为A.4B.C.6D.4.双曲线2y1的一个焦点到它的渐近线的距离为A.1B.C.D.2.“a2”是“函数f(x)ax2x有零点”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.如图，已知ABCDE屋边长为1的正六边形,A.4B.C.6D.4.双曲线2y1的一个焦点到它的渐近线的距离为A.1B.C.D.2.“a2”是“函数f(x)ax2x有零点”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.如图，已知ABCDE屋边长为1的正六边形,uuu则BAuur(BCuurCF)的值为A.34r.已知向量aB.C.D.r2(xz,1),b(2,yx(④6题图),z)，b,若变量x,y满足约束条件3x2y53x2y5则z的最大值为A.1B.2C.3D.48.已知函数f(x)x|1x|(x1R),则不等式f(x)—的解集为4A.(1 、 ，B.（万，）C.（1.21、.2二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，，黄分30分.（一）必做题（9-13题） ai .设i是虚数单位，若复数"为纯虚数，则实数1i.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，且a11,a5.近年来，随着以煤炭为主的能的值为源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中的pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）.右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成9,则S6=的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过 0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“pm2.5”含量不达标.12.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法共有种.（用数字作答）13.某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为6,则该侧视图几何体体积的最大值为（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）直线主视图俯视图（t为参数）被圆35cosy15.15sin[0,2（几何证明选讲选做题）如图,和割线PBA已知PC=2PBBC（第13题图）C））所截得的弦长为O外一点P引圆的切线PCA三.解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程砌峋海般）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)sinxcos(x),xR.（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值和最小值；1 . ....（3）右f（）一， （0,一），求sincos的值.4 2

17.(本小题满分12分)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数己依次为1,2，…，8,其中£5为标准A,己3为标准B,产品的等级系数越大表明产品的质量越好， 已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准 .(1)从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数 己7的为一等品，等级系数5己7的为二等品，等级系数3己5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；(2)已知该厂生产一件该产品的利润 y(单位：元)与产品的等级系数 己的关系式为：TOC\o"1-5"\h\z1,3 5y2, 5 7,从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为 X,用这个样本的频率7分布估计总体分布，将频率视为概率，求 X的分布列和数学期望.18.(本小题满分14分)一—_ 1.0已知函数f(x)-x3bx22xa,x2是f(x)的一个极值点(1)求函数f(x)的单调区间；2(2)若当x[1,)时，f(x)—a2恒成立，求a的取值范围第19题图F3第19题图F.(本小题满分14分)如图①边长为1的正方形ABC邛，点E、F分别为ARBC的中点，将^BEF剪去，将△AED4DCF分别沿DEDF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图②示.(1)求证：PDEF;(2)求三棱锥PDEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值..(本小题满分14分)已知定点A(-3,0),MN分别为x轴、y轴上的动点(MN不重合)，且ANMN,点Puuur3uuur在直线MN±,NP-MP.2(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设点Q是曲线x2y28x150上任一点，试探究在轨迹C上是否存在点T?使得点T到点Q的距离最小，若存在，求出该最小距离和点 T的坐标，若不存在，说明理由..(本小题满分14分)1 2已知X1一,Xn1XnXna.(nN,a为常数)3_ 1 1 (1)若a―,求证：数列lg(xn-)是等比数列；4 2 5c1(2)在(1)条件下，求证：xn(-)n-,(nN)；6 22011(3)若a0,试问代数式 的值在哪两个相邻的整数之间？并加以证明.n1xn1揭阳市2020学年度高中三年级学业水平考试

数学13t题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.一.选择题：BCBAACCD解析：1.A{1,0,1},i2 1,故选B..依题意知： tan—,从而tan2 2tan2-4,选C.2 1tan2 3.由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)1m0m1,f(log35)f(log35) (3log351) 4,选B.1.双曲线的一个焦点为(2,0),一条渐近线万程为yyx,可得焦点到它的渐近线的距离

为LLJJi,选a.,315.若a2,则函数f(x)ax2x必有零点，反之函数f(x)ax2x5.有零点，a未必为2.故选A.TOC\o"1-5"\h\zuur 1- _.由余弦定理得|BF|..11211(2) -3，uuuuuuruuuruuuuur_ 3BA(BCCF)BABF173cos30o-,选C.2rr.丁ab2(xz)yz0z2xy,点(x,y)的可行域如图示，当直线z2xy过点(1,1)时，Z取得最大值，zmax2131.在同一坐标系内作出函数 f(x)x|x1|和y—的图象如图，4TOC\o"1-5"\h\z利用数形结合易得答案选 D.二.填空题：9. 1_; 10.36_; 11.27_; 12. 30_； 13. .14. 782；15. 273.解析：.易得a611,S63(a〔a6)36..该市当月“pm2.5”含量不达标有(80师空望如型)0.00530273 3 3 3 3 3(天)；2 2 2 2 1 1 1•间接法.C4C4C4c230(种)；直接法：分成两类：有一门相同的有 C4c3c2种，两门相同的有C2种，至少一门相同有c4c3c2C4230(种).由三视图知，该几何体为圆柱，设其底面的半径为r,高为h,则4r2h62rh3,V r2h (r-J：h)3 (当rh时“=”成立)或Vr2h=r2(32r),3V'[2r(32r)2r2]6r(1r),令V'0得r1,当r(0,1)时，V'0,当r(1,)时，V'0,故当r1时，V有最大值，Vmax ,(y1)2 25,于是弦心14.把直线和圆的参数方程化为普通方程得 xy(y1)2 25,于是弦心距d啜弦长l 2⑹9板.15.•••PCBPAC,CPBAPC15.•••PCBPAC,CPBAPCPBCsPCA分分PBBCBC1sxAC2.3(3)由f()PBBCBC1sxAC2.3(3)由f()••(sin. ，■ 、2一(sincos) 1sin2分.15311——1616 9PCACAC2三.解题题：TOC\o"1-5"\h\z16.解：(1)•••f(x)sinxcosx/sin(x—),xR 24分，函数f(x)的最小正周期T2 3分(2)函数f(x)的最大值和最小值分别为 量,也. 5一得sincos-cos)2—, 16\o"CurrentDocument"1 15sin2 —,sin2 - 716 16分(0,一),sincos2 _123112…sincos --j—. 17.解：(1)由样本数据知,30件产品中等级系数 己7有617.解：(1)由样本数据知,9件，三等品有15件分6.•.样本中一等品的频率为——0.2,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 430

TOC\o"1-5"\h\z9 ―二等品的频率为——0.3,故估计该厂生产的产品的二等品率为 0.3; 530分三等品的频率为——0.5,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 0.5. 630分(2)•••X的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,X124P(X)将频率视为概率,X124P(X)0.50.30.2由(1)P(X1)0.5,P(X2)0.3,P(X 4)0.2--8分10，可得X的分布列如右:10其数学期望TOC\o"1-5"\h\zEX10.520.340.21.9 (元)其数学期望 12 分18.解：(1) f'(x)x22bx2且x2是f(x)的一个极值点・•・f'(2)44b20b- 22，分f'(x)x2f'(x)x23x2(x1)(x2) 4由f'(x)0得x2或x1,•♦・函数f(x)的单调增区间为(，1),(2, )；--——6分由f'(x)0得1x2,.•・函数f(x)的单调减区间为(1,2), 8分(2)由(1)知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增・♦•当x2时，函数f(x)取得最小值，f(x)minf(2)=a;10分分[1,)时,f(x)2,,… 2 . 2a恒成立等价于a f(x)min -,x[1,312a0 0a1。1419.(1)证明：依题意知图①折前ADAE,CDCF,•••PDPE,PFPD,•••PEIPFPPD平面PEFEF平面PEFPDEF(2)解法1: 4依题意知图①中AE=CF=1 PE=PF=1,在4在PEF中，PE2PF2EF2PEPFBEF中EF2BE——,——5一SPEF1一PEPF2,,VPDEF1— -VDPEF二SPEFPD

31【(2)解法2:依题意知图①中AE=CF〜241分2在ABEF中EF.2BE——2取EF的中点M连结PMPE=PF=-,则PMEF,PM PE2EM2一SPEF1-EFPM2,,VPDEFVDPEF⑶由(2)知PE1s3PFPEFPD又PE2413PD24PE平面PDFPDE为DE与平面PDF所成的角,分1011在RtPDE中，.DEPDF14£，pe： 12分分•••sinPDE20.解：(1)设点1PE2 .52DE5 52MN的坐标分别为(a,0),(0,UULT则ANuuuu(3,b),NMuuur(a,b),MP(x由ANuuu由NP---aMN得3a3UULT—MP得x23x,b12y3/ 、二(xa),y2代入(※)得0,b0x0,y0，动点P的轨迹C的方程为y24x((2)曲线x2y28x150即(x32y4x4)2分140)y2 1,是以B(4,0)为圆心，以1为半径的圆，设T为轨迹C上任意一点，连结TB,则|TQ||QB||TB||TQ||TB|・♦・当|TB|最小时，|TQ|最小.•・•点T在轨迹•・•点T在