《微分方程数值解》课程实施大纲

《微分方程数值解》课程实施大纲目录1．教学理念 32．课程描述 52.1课程的性质及在学科专业结构中的地位和作用 52.3课程的前沿及发展趋势 63．教师简介 64.先修课程 75．课程目标 86．课程内容 96.1知识模块及对学生要求 96.2课程的重点、难点及解决办法 116.3、课程的难点及解决办法 127.课程教学实施 128．学生课程要求 1708.1学生自学的要求 1708.2课外阅读的要求 1708.3课堂讨论的要求 1708.4课程实践的要求 1709．课程考核方式及评分规程 1719.1出勤（迟到、早退等）、作业、报告等的要求 1719.2成绩的构成与评分规则说明 1719.3考试形式及说明（含补考） 17110．学术诚信规定 17110.1考试违规与作弊 17210.2杜撰数据、信息等 17210.3学术剽窃等 17211．课堂规范 17311.1课堂纪律 17311.2课堂礼仪 17412．课程资源 17512.1教材与参考书 17512.2专业学术专著 17512.3专业刊物 17512.4网络课程资源 17512.5课外阅读资源 17513．其他必要说明（或建议） 17614．学术合作备忘录（契约） 17714.1阅读课程实施大纲，理解其内容 17714.2同意遵守课程实施大纲中阐述的标准和期望 1771．教学理念从我国的社会主义教育的任务和教育方针出发。为我树立正确的教育价值观指明了方向：（1）要完成科学知识的讲授和社会经验的传递，发展学生智育。（2）要发展学生的智能，使学生形成能力，掌握个人生存和为社会服务的本领。（3）要重视学生操作能力、动手能力、实践能力的培养，在理论和实践结合上掌握知识，学习技术，习得方法。（4）课堂中要适当对学生进行思想教育，逐步使学生树立正确的世界观、科学的人生观、形成良好道德品质、行为习惯，树立与市场经济相适应的思想和品格。上述四个方面的要求作为自己行为的教学的选取目标和原则学生通过学习，掌握数值计算方法的基本理论与方法，学会通过一种计算机语言编程解决计算问题。通过教师的教学，学生要获得的具体的进步和发展，学生的进步和发展是衡量课堂教学有效性的唯一尺度。每堂课上完，教师应该布置作业，以检查教学的有效性。教师应该首先选取适当的教材，结合我们学校学生实际情况，又和其它高校的教材有所区别。我认为，对我们学校的学生，其学习重点不是理论的论证和推导，而是公式的应用和实践，应选取则重点方法讲解和例题演算的教材。选择好了教材后，教学中相关内容的讲解还要取舍，还要参考别的教材，教学中突出层次性和实践性。在保证课程内容科学性的前提下安排由浅入深的内容次序以及简捷直观的理论体系．课程始终贯以连续问题离散化的基本思想注意与先行课程的衔接力求达到与相关学科的相互渗透与利用．第一章介绍常微分方程初值问题数值解法从简单到复杂先介绍较易掌握的单步法的构造思想和基本概念由显式的Ｅｕｌｅｒ法推进到隐式的梯形法比较前两种方法的共同点并加以改进推导出Ｒｕｎｇｅ－Ｋuｔｔａ法然后进一步介绍线性多步法的基本思想和基本理论最后讨论高阶常微分方程的数值解法．第二章至第四章介绍偏微分方程数值解法采用数值分析的基本技巧详细分析微分方程的离散过程比如用差商代替微商Ｔａｙｌｏｒ展式等基本方法推导出各种差分格式使理论的叙述和推导过程清晰简捷．在分析差分格式稳定性时分别用高等代数中的矩阵理论和数学分析中的Ｆｏｕｒｉｅｒ级数来进行讨论．第五章介绍比较难掌握的有限元法．这样由浅入深逐层推进的课程内容体系有助于学生系统学习微分方程数值解的基本理论和基本方法．本课程的主要采取如下的教学手段：（1）电子教案：课堂教学以PPT为主，配以必要的课堂板书。

（2）动画演示：对于本课程中的有些内容，例如重点例题讲解等，用动画演示直观、清晰，易于理解和接受。

（3）网络资源：对于本课程中的有些内容，例如国际上一些著名的超级计算中心概况、世界TOP500高性能计算机排名情况、某些基准测试程序和一些著名的数值分析专家简介等均可以进行网上登录和课堂实时播放。

（4）原版教材：采用国际权威的微分方程数值解的教材，并双语教学，使学生直接吸收国外最先进的研究成果；

（5）现场模拟：充分使用数学与计算机科学学院的“科学与工程计算实验室”，进行现场数值模拟，补充了课堂教学所不能达到的良好效果；

（6）启发式教学：以问题为导向，引导学生的积极思维，增强学生的注意力和听课兴趣，从而达到高质量的教学效果。2．课程描述2.1课程的性质及在学科专业结构中的地位和作用“微分方程数值解法”是计算数学的一个重要分支，也是信息与计算科学专业本科生的重要课程，与计算机应用密切结合。本课程主要介绍如何将用连续数量关系建立起来的数学模型问题进行离散化，从而可由计算机进行处理和实现。2.3课程的前沿及发展趋势 微分方程数值解法在数值分析中占有重要的地位，它以逼近论、数值代数等学科为基础，反过来又推动这些学科向前发展。微分方程数值解法在科学计算、工程技术等领域有极其广泛的应用。自上世纪40年代，它已经发展成一门庞大的计算技术学科，并早已列为原来计算数学和应用数学专业的基础课之一。1998年高校专业目录有了调整，原计算数学专业更名为信息与计算科学专业，教学计划和内容也有些改变。微分方程数值解法这门课程出现了新的进展。2.4学习本课程的必要性实际工程问题中的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。例如，在流体力学中，边界层和湍流等多种现象都可以通过统一的Navier-Stokes方程来描述。绝大多数微分方程（特别是偏微分方程）定解问题的解不能以实用的解析形式来表示，而必须通过近似方法求解，包括借助计算机进行数值求解。微分方程的数值解法是数值分析的重要组成部分，随着计算机技术的不断发展和计算机应用的日益普及，它越来越受到人们的重视，已成为解决许多科学和工程问题的有效手段之一。微分方程数值解作为一门专业基础课程，主要在大学计算数学、应用数学专业及相关专业的高年级本科学员中开设，重点讲授常微分方程的数值解法、偏微分方程的有限差分方法和有限元方法。旨在通过本课程的学习，使学生掌握微分方程数值解的基本理论和方法，了解如何使用计算机来解决一些微分方程的定解问题。 4.先修课程学习本课程的基础是高等数学、高等代数、Matlab语言程序设计、常微分方程、数学物理方程、计算机基本操作、高级程序设计语言等5．课程目标本课程在内容体系上力求有所创新，在遵循课程自身学科性、系统性和完整性的同时，应充分考虑学生的实际情况及应用本课方法解决实际问题的需求，力求具有如下特点：(1)精讲内容。重点介绍有限差分方法，而对有限元方法作简单介绍。对于差分方法中的每一个差分格式，均按照“差分格式的建立→格式的先验估计→格式的可解性、稳定性和收敛性分析→格式的求解→计算实例”等五个方面进行讲授。而差分格式的建立、格式的求解及计算实例是基本的，格式的先验估计是理论分析的重点。因为有了格式的先验估计，就很容易得到格式的可解性、稳定性和收敛性。对于有限元方法，则按“变分原理→Ritz-Galerkin方法→区域剖分与形函数的构造→有限元方程组的形成→有限元方程求解→计算实例”等六个方面进行讲授，重点放在有限元的方法及实现方面，而不过多的涉及有限元的理论。（2）难点分散。采用“多线条”方式讲授，先简单，再逐步过渡到较复杂的问题上；对于差分方法，先引入一些基本概念及常用的分析技巧（最大值原理、Fourier级数和能量分析法），再将这些概念和方法应用到椭圆方程边值问题、抛物方程和双曲方程初边值问题的求解；对于有限元方法，先从两点边值问题出发，介绍有限元的基本思想，再将其应用到二维椭圆边值问题上，介绍有限元方法。（3）着重强调学生“会用”所学的各种方法，熟练地编程上机实现。先示范，再要求学生进行模仿，最后到熟练掌握和灵活应用。通过本课程的学习，使学生能够掌握偏微分方程数值方法的基本理论和分析问题、解决问题的基本方法与技巧，以及良好的编程和上机调试能力，为今后解决实际问题或从事专门信息处理奠定良好的数学基础，以及应用计算机去解决实际问题的能力.要求学生掌握偏微分方程差分方法的基本理论和基本技巧；掌握一些典型、常用、有效的数值格式的构造方法，较熟练地编程在计算机上实现.6．课程内容本课程的主要内容包括：常微分方程数值解法，椭圆型边值问题、抛物型和双曲型初边值问题的差分方法，以及椭圆边值问题的有限元方法简介等等。6.1知识模块及对学生要求（一）常微分方程初值问题的数值解法（10学时）1、欧拉法2、一般单步法、龙格-库塔格式3、线性多步法要求学生初步认识与掌握将常微分方程初值问题的自变量取值区间等分，在结点处求数值解的方法。重点掌握欧拉方法，改进的欧拉方法以及龙格-库塔方法。了解阿达姆斯内插、外推方法，了解高阶常微分方程组的数值解法。（二）抛物型方程的差分方法（10学时）1、

差分格式建立的基础2、

显式差分格式3、

隐式差分格式4、

解三对角型方程组的追赶法5、

差分格式的稳定性和收敛性要求学生深刻理解：差商、差分格式稳定性、收敛性、相容性等基本概念。掌握差商代替微商的思想方法。重点掌握求解一维常系数热传导方程的古典显式格式，古典隐式格式，Crank-Nicolson隐式格式，加权六点隐式格式等方法。了解求三对角方程组的追赶法。掌握判断差分格式稳定性的矩阵方法、圆盘定理以及Fourier级数法。（三）椭圆型方程的差分方法（12学时）1、

正方形域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟2、

Neumann边值问题的差分模拟3、

混合边值条件4、

非矩形区域5、

矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析6、

一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究7、

椭圆型差分方程的迭代解法要求学生掌重点握矩形域中的Laplace方程、Poisson方程Dirichlet边值问题的五点差分格式，了解Neumann边值问题的差分思想，理解一般二阶线性椭圆型方程的Jacobi迭代、Cass-Seidel迭代和超松弛迭代等方法。会求收敛速度，会判断超松弛迭代法的收敛性。（四）双曲型方程的差分方法（10学时）1、

一阶线性双曲型方程的特征线法2、

一阶拟线性双曲型方程的特征线法3、

一阶双曲型方程的差分方法4、

二阶线性双曲型方程的差分方法要求学生重点掌握一阶线性双曲型方程Cauchy问题的特征线法和差分方法。理解特征方向、特征关系等基本概念。掌握一阶拟线性双曲型方程Cauchy问题的特征线法，特征差分格式等方法。了解一阶拟线性双曲型方程组的特征线法。重点掌握二阶线性双曲型方程的显式差分格式。（5）边值问题的变分形式了解有限元方法，初步会用MATLAB工具箱求解偏微分方程。内容学时欧拉法、梯形法、Runge-Kutta法4线性多步法4误差的事后估计法、步长的自动选择2高阶常微分方程（组）的数值方法2差分格式建立的基础；显式差分格式2隐式差分格、解三对角型方程式组的追赶法2ε-图方法、稳定性分析的矩阵方法2圆盘定理、稳定性分析的Fourier级数方法2低阶项对稳定性的影响、收敛性、相容性2椭圆型方程差分的差分模拟8椭圆型差分方程的迭代解法4一阶线性、拟线性双曲型方程的特征线法4一阶双曲型方程（组）的差分格式4二阶线性双曲型方程的差分方法2边值问题的变分形式16.2课程的重点、难点及解决办法1、常微分方程数值解介绍常微分方程的应用背景，增强学生对常微分方程重要性的认识；重点讲授构造初值问题的数值方法，单步法的稳定性及收敛阶，局部截断误差、整体截断误差的估计等。利用习题课分析总结构造常微分方程初值问题数值格式的思想和方法。2、抛物型微分方程数值解法介绍抛物型微分方程的实际背景，主要讲授用差商代替微商，将连续问题离散化，使抛物型初边值问题转化为线性方程组的求解问题的基本方法。重点讨论古典显式格式、古典隐式格式和Crank-Nicolson格式的构造及其稳定性、收敛性，详细介绍稳定性分析的矩阵方法和Fourier级数法。演示计算机生成解曲面的过程，利用直观教学提高教学效果。3、椭圆型微分方程数值解法介绍椭圆型微分方程的实际背景，主要讨论五点差分格式的构造。用多媒体演示三类边值条件，利用图形总结边值格式，直观体现出三类边值问题的处理方法。利用计算机演示三种迭代法实现数值模拟、误差分析以及图形绘制的基本方法。4、双曲型微分方程数值解法介绍双曲型微分方程的实际背景，主要讨论特征线法和有限差分法的数值格式，利用多媒体演示特征线法的定解区域，使抽象复杂的问题直观、明了，重点讨论差分格式的稳定性和收敛性。利用计算机演示双曲型微分方程数值解的实现过程。6.3、课程的难点及解决办法

1、微分方程数值解内容抽象，学生难于理解在保证教材内容科学性的前提下，安排由浅入深的内容次序以及简捷、直观的理论体系。课程始终贯以连续问题离散化的基本思想，采用数值分析的基本技巧详细分析微分方程的离散过程，比如用差商代替微商、数值积分、数值微分、Taylor展式等推导各种差分格式，使理论的叙述和推导过程简化。其次，在分析差分格式稳定性时，分别用高等代数中的矩阵理论和数学分析中的Fourier级数来进行讨论。根据一般本科院校教学的实际需要，我们适当地调整了理论部分的叙述过程（特别是一些重要定理的证明过程），结合各章节内容增设部分例题，利用计算机演示计算过程并绘制出解的图形，使学生更直观地理解教材内容，激发学生学习兴趣，提高教学效果。2、计算问题复杂，学生难于掌握连续的微分方程离散后转化为求解离散的高阶线性方程组的计算问题。此类计算问题，一般很难用笔来实现，或者需要耗费大量的时间才能完成。为解决此问题，我们加强了编程能力的训练，通过算法分析，编制程序，由计算机来实现问题的求解。同时，用多种计算方法来解决同一种计算问题，研究其共性和差异，有利于学生灵活掌握各种算法。7.课程教学实施章节名称第一章常微分方程初值问题的数值解法1.1引论1.2欧拉法（1）第1周第1次课讲授2学时教学目的及要求了解微分方程数值解的重要性欧拉法格式教学内容提要备注()和偏微分方程(在科学、技术和工程中的大量数学模型都可以用微分方程来描述很多近代自然科学的基本方程本身是微分方程.人们一直用微分方程来解释、预见各种自然现象，不断取得了显著成绩。遗憾的是，绝大多数微分方程定解问题的解不能以实用的解析形式来表示。这就产生了理论和应用的矛盾：一方面，人们列出了反应客观现象的各类微分方程，建立了大量实用的数学模型；一方面，人们又无法得到这些方程的准确解以定量的描述客观过程。随着计算机技术的出现和发展，解决上述矛盾的一门科学—微分方程的数值解法，得到了前所未有的发展和应用。所微分方程数值解，就是研究利用计算机微分方程数值解法是“”专数值代、计算几主要内容包括：单步法，线性多步法有限差分法，有限元法：一、通过对典型、常用的数值方法的研究，进一步了解构造数值方法的基本思想、技巧；二、通过掌握数值方法所涉及的基本概念和基本理论（如稳定性、收敛性、误差估计等），使我们具有一定的理论分析三、通过数值实验，运用所学的数值方法求出数值结果，培养实际解题能力。2常微分方程的数值解法或与其等价的积分方程若(,u)关于u满足Lipschit数L，对任意和均成立着则（1.1）的解存在且唯一。u()的。近似解析方法和数值解法什么是数值解法？[a,]中的离散点（称为节点）,如其hu()之值的近似值。而通常称为数值解。求的方法通常称为数值解法。2.1Euler法考虑初值问题(1.1)，首先将区间[t0,T为个).已知，则可计算，利用Taylor公式，在处将展开（1.3）其中h这u1是u(t1)的近似值，利用u1又可以算出u2，如此下去u()在所有节点上的近似值。这就是求解初值问题的Euler公式。的解在处的数值解。（取步长h=0.小数点后保留4位）解：相应的公式：由初值计算得利用Taylor公式，在处将展开成：舍去二次项，用近似代替得：这就是求解初值问题的隐式Euler公式。将也可用数值积分法推将(1.1)写成等价的积分形式。若用左矩形数值积分公式近似右端积分：则用代替得：若用梯形数值积分公式近似右端积分：则用代替得：右端积分项使用右矩形求积公式，则得则用替代得:隐公教学重点与难点欧拉公式的构造讨论、练习、作业P101章节名称1.2欧拉法（2）第1周第2次课讲授2学时教学目的及要求欧拉法的稳定性和截断误差教学内容提要备注但是梯形公式的计u+1,方程一般的迭代公式表示为：，如此迭代下去得到迭代序列：若序列收敛于，当时，得到：则取为第个近似值。在实际计算中，通常要求满足如下不等式：做为终止条件，此时取作为的近似值。为了避免求解非线性代数方程，可以用Euler法将它显化，建立预测-校正系统：（1.7）求解公式（1.7）称为改进的Euler法，其中称为预测值，称为校正值。其求解顺序为：改进的法还可写成如下形式：（1.8）如果关于u是线性函数，则隐式公式可以显示化。例，若方程为：隐式Euler公式：梯形公式：现在分析EuLer法和梯形公式的误差在用任何数值法（离散变量法）近似求解初值问题时，有两个误差源：截断误差（离散或方法误差）和舍入误差。由（1.3）或更一般的递推式（1.9）精确成立，其中由（1.4）到（1.9）的差别是舍去，由代替。因此是衡量Euler法精度的主要标志。记，算子则称为Euler法的局部截断误差，它是在单步过程到之间产生的误差，也即当为精确时，由（1.4）计算出所产生的误差。显然Euler法的局部截断误差的阶为。若每一步的误差唯一，则进行了N步之后，在区间[t0,T]的末端积累误差为：我们可以认为这就是Euler法的整体截断误差。局部截断误差和差、整体截断误差的几何解释。下面利用Taylor展开，求Euler法的局部截断误差现在我们用数值积分公式来推导梯形公式的局部截断误差，注意到：则有现在估计，将表成，，由带余项的Lagrange线性插值多项式，可知于是则故足见梯形法的局部截断误差阶要比Euler法高一阶，即为O(h3).定义设为数值数值解的集合，而为初值问题的精确解，则记整体截断误差为：，即以点处的初值为出发点，用某种数值方法推进到点所得到的近似值与精确解的偏差。现考察Euler法的整体截断误差，将（1.4）与（1.9），即相减，得误差方程：由于关于满足Lipschitz条件，则其中。由此递推性质，得注意，进一步有而则不等式的右端依赖于初始误差和局部截断误差。在Euler法中，，若，则有故Euler法的整体截断误差阶比其局部截断误差阶低一阶。同样我们可以证得梯形公式的整体截断误差阶为在实际计算时，我们还要求所用算法是稳定的，即传递误差连续依赖初始误差，否则就是不稳定。不稳定的算法不能用Euler法的稳定性（带舍入误差）设有初值与算出的近似值分别为和，即有和两式相减，并记，得则这说明连续依赖于初值误差。即Euler法是稳定的。同样可以证明梯形法和改进的Euler法是稳定的。Milne公式若在区间上，对右端的积分使用求积公式，得令进一步可写成为此二步方法，需要已知和，才能由上式计算出的值。二步以上的方法也称为多步法。教学重点与难点截断误差分析讨论、练习、作业无章节名称1.3线性差分方程第2周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握线性差分方程的叠加原理，非齐次方程的通解、齐次方程的通解。教学内容提要备注设和已知。且称序列满足的方程为阶线性差分方程，序列式线性差分方程的解。当右端时，称为齐方程。为确定上述差分方程的解，需要给定个初值。例如，当n=0时，要求线性差分方程解为，则此差分方程为当时，有差分方程要求的线性差分方程解为，(逐次算出，Euler法为的一阶常系数线性差分方程：此时，初值为。若记为向前差分，则即可用和的一阶差分表示；又从而，即可用和的一阶、二阶差分表示，以此类推，可知可用以及的一阶、二阶直到阶的差分方程表示为：所以（1.15）为最高阶为的差分方程。k阶线性差分方程是k阶线性常微分方程的离散模拟，二者之间的许多基本性质是平行的。(1)叠加原理若，是齐差分方程的解，则它们的线性组合也是此方程的解，其中任一常数。（2)k阶齐差分方程存在k个线性无关解，且方程的任意解可表示为，其中常数由初值唯一确定。当任意常数时，称之为齐方程的通解。解组是线性无关的充要条件是初始向量线性无关，即行列式也称为齐方程的基本解组。3）非齐方程（1.15）的通解可以表示成它的一个特解与齐方程的通解之和。现在考察常系数k阶线性差分方程的基本解组对于变系数k阶线性差分方程（1.15）的基本解组一般很难求。出，但当与无关，即为常系数差分方程时，其基本解组可用代数方法求出，设相应齐方程为考虑齐次方程形如的解，已知代到（1.17）可知应满足代数多项式方程即应是代数方程的根。反之，若x是（1.18）的任一根，则必为（1.17）的解。下面分几种情况：方程（1.18）有k个互异实根，则，…,,是方程（1.17）k个线性无关解（基本解组）。因为则（1.17）的通解为方程（1.18）有实的重根。比如是重根，则是方程（1.17）r个线性无关解，其基本解组为，，因此通解形如（1.19）m是方程（1.18）互异根的个数（ⅲ）若方程（1.18）有复根,则其共扼也是根。由Euler公式：则由齐方程的解的叠加原理知也是齐方程的解，但和已是实函数，且线性无关。此时可用和替换。求下列二阶常系数线性差分方程的通解此为二阶微分方程的查分近似，其解为微分方程解的近似。解：此时有相应的特征方程为：其根为：当时，有（二重根）。此时二阶差分方程的通解为（：当时，有两个互异根：此时二阶差分方程的通解为(当充分小时；当时，有一对共扼复根，（当充分小时：此时二阶差分方程的通解为：试求差分方程初值问题的通解。解：由于方程的右端为常数，当1不是特征方程根时，可试出它的一个常数解。令，以之代入方程，得到即为一个特解，对应齐方程的特征方程为它的根分别是：2（二重）和，，故通解为：在由初始条件，可以定出常数：所以，此问题的定解为：现在给出非齐方程（1.16）的通解表达式。引进k维向量：和阶矩阵将（1.16）改写成进一步写成向量形式：，逐次递推，得其中，且第一项是相应的齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的特解（初值引理1.1矩阵有界的充要条件是：方程（1.18）的所有根在单位圆内，而位于单位圆周上的都是单根。证明。教学重点与难点线性多步法矩阵有界的充要条件。讨论、练习、作业P101

章节名称1.4Grown不等式2.1数值积分法第2周第2次课讲授2学时教学目的及要求了解Grown不等式掌握数值积分法构造线性K步伐教学内容提要备注GrownWall不等式作解的先验性估计时经常要用到GrownWall不等式。下面先介绍连续形式的GrownWall不等式（也称Bellmann）不等式。引理2.1设连续函数满足其中为非负常数，则（（1.23）证明略离散形式的Gronwall不等式引理3.1设为非负常数，序列满足（1.24）其中是步长，则其中前节所讨论的方法如Euler方法、改进Euler方法都称为单步法§2线性多步法（单步长法）。因为它们只利用前一个点的信息来计算下一个点，即，只用初始点u0计算u1;一般说来，只用un来计算un+1。单步法一般说来，精度是较低的。为提高精度，我们考虑构造多步法。所谓“多步法”，即当计算出若干个点之后，用几在计算公式中的一个主要特征个已计算出的点来计算下一个点。就是，un+1不仅依赖于un，而且也直接依赖于un-1,un-2,…等已经算出的值。它可以大大提高截断误差的阶。线性多步法，它的一般公式为：（2.1）其中常数，和不同时为零，按（2.1）计算时要用到前面k个结点因此称因此称（2.1）为多步法或k-步法。又因为（2.1）关于是线性的，所以称为线性多步法为使多步法的计算能够进行，除给定的初值u0外，还要知道附加初值，这可用其它方法计算。若≠0,则方法（2.1）是隐式的。若=0,则称（2.1）是显式的；例如，对于线性二步法：当取时，就是Miline法。构造线性多步法有许多不同方式，我们在这里主要介绍两类方法：积分插值法和待定函数法（基于Taylor展开）。2.1积分插值法仍将（1.1）写成积分形式（2.2）我们用k次Lagrange插值多项式近似替代(2.2)中的被积函数，这里{ti}为等距的插值节点列，，而插值基函数为插值节点的不同取法就导致不同的多步法。Adams外插法（显式多步法）取个节点，…,,及函数值构造区间上逼近的k次Lagrange插值多项式，（2.3）其中为插值余项，代到（2，2）式中得，舍去余项并用代替即得其中且。注：注意，被插值点不包含在插值节点的决定区间故此多步法称为Adams外插法。Adams外插公式的系数表i01

34b0i12b1i3-112b2i23-16524b3i55-5937-9720b4i1901-27742616-127

251Adams外插公式中，几种常用的差分格式：他们分别为1阶，2阶，3阶，4阶差分法（格式）Adams外插公式的余项为：Adams内插法（隐式多步法）取个节点及函数值，构造区间上逼近的k+1次-插值多项式其中为插值余项。同理即得其中且注：注意，被插值点t∈[tn,tn+1]包含在插值节点的决定区间故此多步法称为内插法。Adams内插公式的系数表Bk+1,ii01234b0i12b1i1112b2i58-12

b3i

19-51720b4i251646-264106-19Adams内插公式中，几种常用的差分格式：它们分别为1阶，2阶，3阶，4阶差分格式Adams外插公式的余项为Adams外插法和Adams内插法的几点区别：系数小，从而计算中内插法的舍入误差的影响比外插法要小；在同一个误差精度下，内插法比外插法可少算一个已知量值，这是由于在计算时，内插法和外插法所用的已知量值相同k+1：但是内插法的局部截断误差为，，外插法的局部截断误差为内插法是隐式格式（稳定性好），外插法是显式格式。用数值积分法，也可对初值问题（1.1）于上化成等价的积分方程：用Simpson求积公式近似积分：则可得到二步隐式方法（Milne法）教学重点与难点Adams内插公式讨论、练习、作业无章节名称2.2待定系数法第3周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握待定系数法求线性K步法P阶精度教学内容提要备注2.2待定系数法（基于Taylor展开式的求解公式用数值积分法只能构造一类特殊的多步法，其系数一般只满足或。,当或时。本节我们将基于Taylor展开式来构造更一般的求解公式。定义算子设是初值问题（1.1）的解，将和在点T处进行Taylor展开，将上式代入（2.32）并按h的同次幂合并同类项，得即其中定理（多步法性质定理）多步法（2.1）的下列三个性质等价：1.2.对每个次数≤p的多项式，L[fp(t);h]=0.3、对一切u(t)∈Cp+1,L[u(t);h]=O(hp+1)证明：若性质1成立，则式具有形式若对u是次数P的多项式，则一切j＞p,u(j)(t)=0,因此，有上式L[u(t);h]=O。故性质1推出性质2。若性质2成立，若u(t)∈Cp+1,则由Taylor定理，我们可记u(t)=fp+r,其中f是次数≤p的多项式，r是一函数。因为L[fp(t);h]=0，所以故性质2推出性质3。最后，若性质3成立。则由（2.33）式可知必有因此，性质3推出性质1。此时，而则去余项Rn，并代替，用发记，就得到线性多步法（2.32），其局部截断误差称为局部截断误差主项；称为局部截断误差主项系数。可以证明其整体截断误差，故称为阶k步法。因为（2.32）可以相差一个非零常数，所以不妨设。当时，可用直接表示，故称为显示法。反之，当时，求需解一个方程。称为隐式法。用待定函数法构造多步法的一个基本要求是选取使局部截断误差的阶尽可能高。下面我们讨论构造一般线性二步法公式的待定系数法。此时记其余四个系数由确定，即满足方程：解之得所以一般二步法为由（7-9）知道当a≠1时c4≠0，方法（7-10）是三阶二步法当a=-1时c4=0，但c5≠0，方法（7-10）化为这是四阶二步法，是具有最高阶的二步法，称为Miline方法。此外，若取则（7-10）为：此为二步隐式Adams方法，若取a=-5，则（7-10）为是显式方法用类似的计算过程可获得一些常用的线性多步法的局部截断误差。当k=1时，梯形法（二阶隐式方法）其中从而有，其局部截断误差为向后Euler法（一阶隐式方法）其中a1=1,a0=-1,b1=1,b0=0,从而有，其局部截断误差为：当时，三步三阶显示Adams方法：其中从而有其局部截断误差为：三步四阶隐式Adams方法：其局部截断误差为：三步四阶Hamming方法：其局部截断误差为：四步四阶显式Adams方法：其局部截断误差为：四步四阶显示MIline方法：其局部截断误差为：教学重点与难点线性K步法P阶的构造讨论、练习、作业P211

章节名称3.3稳定性和误差估计第3周第2次课讲授2学时教学目的及要求线性多步法相容性、稳定性、收敛性和误差估计教学内容提要备注考虑初值问题3.1a 以及逼近的线性p阶k步法，，要想un→u(tn)，必须在某种条件下（3.2）逼近(3.1)a。引入差分算子当u(t)有p+2次连续微商为（3.1）的解时，则由（2.36）和 （2.37），我们有或——局部截断误差；--局部截断误差主项-局部截断误差主项系数我们关心的是整体截断误差。由于。故用线性P阶K步法建立起了起了的差分方程（3.2）是微分方程(3.1)a的逼近（即（3.5）中舍去，用代替就得到（3.2）。特别，如若下局部化假设成立：用多步法（3.2）计算时，精确。即由（3.5）式减（3.2）式得由微分中值定理其中介于与之间。从而若多步法是显格式：并且，则若多步法是隐格式：并且与成比例。总而言之现在考虑一般k步法（3.2）（不必要求是p阶的方法），对任光滑解u(t)，为使（3.2）的解un收敛到u(tn)，最基本（低的保证是要求满足：当h→0时，差分算子（3.2）逼近微分算子（3.1)a，即成立，也就是而令，则只需使当时（3.10）成立即可。定义3.1如果解初值问题（3.1）的多步法（3.2）至少是一阶的，则称多步法（3.2）是相容的。引进多步法（3.2）的第一和第二特征多项式：为使多步法（3.2）是相容，必须且只需（3.13）实上，从(3.12)和(3.13)的定义，由（2.34）可推出，若为一阶的方法，应有步法（3.2）可以借助于第一和第二特征多项式来研究。定理线性k步法（3.2）是p(p≥1）阶的当且仅当存在系数c≠0，使得当时证明：由于方法为p阶的，则应有阶条件：另一方面，取，则→1对应于z→0,再利用Taylor展开，得那么，对于某一个成立等价于有阶条件成立。代回变换即证得定理成立。为应用上述定理，利用来表达是方便的。例设已给定显式方法:试求它的阶p及误差主项系数。解：由则故上述二步法是二阶的，误差主项系数同样地，对于多步法由展开式故上述三步显示方法是三阶的，误差主项系数附注：G.Dahlquist研究了线性多步法的阶与根条件的关系，并指出，当方法满足根条件的时，其阶因此，在构造线性多步法时，要兼顾根条件与精度阶两方面。利用关系式确定r(l)和s(l)线性多步法是由其特征多项式r(l)和s(l)所确定的,而这两个多项式又有其内在联系，即它们满足一定的关系式。如果给定r(l)和s(l)两个多项式之一，利用上述关系式，另一个多项式就可以唯一确定。具体地说，如果给定s(l),利用上述关系式可以唯一确定r(l)，使方法（3.2）的p≥k阶；如果给定利用上述关系式可以唯一确定s(l),使方法（3.2）的p≥k+1阶。然，要确定k步Gear方法，最方便的作法是令再令，则可写成把和展成的幂级数，然后整理成（1+z）的幂级数即可得到的表达式，从而得到k步k阶Gear方法。例1给定试确定相应的。解：我们有舍去得，对应的一步一阶公式为：隐式的Euler方法。例2给定试确定相应的。解：我们有舍去，得对应的2步2阶Gear公式为：或者3．2（零）稳定定义3.2如果存在常数C（不依赖h和多步法（3.2）的解）和h0＞0，使和多步法（3.2）的任意解{un}和{vn}（初值不同）恒有（3.14）则称多步法（3.2）是稳定（stable）这说明，对一切充分小的h,多步法（3.2）的解连续地依赖于初值。定理3.1设r(l）是形如（3.11）的第一特征多项式，则多步法(3.2)稳定的充分必要条件是r(l)满足根条件。单位圆内(︱l︱≤1)，且位于单位圆上的都是即r(l)的所有特征值在单根。证明：必要性，将多步法（3.2）用于方程。此时（3.2）简化为：其解形如，又是上述k阶齐次差分方程的平凡解，此时不等式为：即关于和一致有界。而当时，，因此满足根条件。充分性，{un}和{vn}是（3.2）任意两个解，则令则满足（3.15）其中（3.16）设，关于满足Lipschitz条件：则引进K维列向量和以及阶矩阵将（3.15）写成向量形式：逐次递推，得（3.18）今设r(l)满足根条件，则由引理1.1，矩阵{Cn}一致有界。以表示向量的欧氏范数，‖C‖表示与向量的欧氏范数相容的矩阵范数，则存在常数M，使得（3.19）又（3.20）于是有（3.18）-（3.20）得从而从而其中进一步取最后利用（1.25式—Gronwall不等式（离散型）就得到这就证明了多步法（3.2）稳定。对Adams外插法和Adams内插法，相应的第一特征多项式为：除单根l=1在单位圆周上外，其余的重根l=0都在单位圆周内部,所以Adams法稳定。型如称为Nystrôm法，相应的隐式方法称为广义Milne法，其相应的第一特征多项式则有（重根），满足根条件，所以稳定。特别地，Milne法（2.39）稳定。例2初值问题精确解为。考虑线性二步法：取步长h=0.1，初值u0=1，附加值：当a≠-5时是二阶方法，当a=-5时是三阶方法当a=-5时有其第一特征多项式：则有不满足根条件，所有不稳定。当a=0时二步二阶法，其第一特征多项式：则有满足根条件，所以稳定。定理2如果解初值问题(3.1)的多步法(3.2)相容且稳定，则当h→0时数值解。若当且（3.2）是P阶方法，则还有误差估计式证明设u(tn）是初值（3.1）的解，un是多步法（3.2）的解，则u(tn)和un分别满足（3.25）令则满足（3.26）其中（3.27）设关于满足Lipschitz条件：则又若k步法，且为P阶方法，则有于是（3.26）可写成（3.28）比较（3.28）与（3.15），若取，则应有（3.18）成立。只是，有估计式（3.29）若k步法(3.2)稳定，则(3.19)成立，于是和(3.21)平行地有：特别地，从而最后利用（1.25）-Gronwall不等式（离散型）就得到若当则。注：教学重点与难点误差估计，稳定性原理讨论、练习、作业P292

章节名称3.4绝对稳定与相对稳定第4周第1次课讲授2学时教学目的及要求绝对稳定性定理，相对稳定性定理教学内容提要备注零稳定性是在h→0的情况下得到的，它等价于收敛性，这样的稳定性也称渐进稳定性。无论从理论上还是从应用上看，多步法都必须是稳定的。但是这种稳定性有两个限制：要求h∈(0,h0)充分小（h→0）；只允许初始数据有误差，以后各步计算要精确。而在实际计算过程中，一方面，在计算时步长h是固定的，由于计算条件的限制不可能取任意的小，更不要说h→0；另一方面，每一步计算总会产生舍入误差。因此，从实际计算角度来看，反而要求步长尽可能的大些，并要考虑计算方法对舍入误差的敏感性。这就是计算（数值）稳定性问题。数值稳定性问题不但与计算公式有关，而且与微分方程本身的性质有关。因此，需要研究当步长h固定时用方法（3.2）计算，若初始近似或计算过程有误差,对以后计算结果的影响是否增长，如果误差不增长这个方法就是计算稳定的，实际对于一个相容且渐进稳定的方法，当步长h取不同时计算结果差别很大。例用3阶显式Adams公式求初值问题的数值解。步长分别取为及解此问题的精确解为u(t)=，公式的第一特征多项式为：满足根条件，是稳定的。但当h取不同时计算结果差别很大，见表这个例题说明步长h=0.00125时各点误差很小，而h=0.125时误差增长很快，它表明零稳定方法如h取得不合适计算也是不稳定的，甚至于有的方法尽管它是零稳定的但计算时不管步长取多么小都不能使它计算稳定，如Milne方法。因此，多步法（3.2）还应研究，当步长h固定时计算的稳定性所谓计算(数值)的稳定性与(零)稳定性差别是h不趋于零，是固定的值。另外这样定义依赖于f，使对方法的稳定性分析产生困难。为解决这一困难事判断方法的稳定性不依赖于f通常都把方法应用于实验方程。设初值问题为(3.34)其中为复常数且Re()＜0，将方法（3.2）用于实验方程，由于,，故方法(3.2)中右端是关于(j=0,…,k)的线性函数。绝对和相对稳定性此时线性k步法(3.2)化为k阶线性齐次差分方程或其中。在实际计算中，每一步计算总会产生舍入误差。得到的是的近似值，满足（3.37）=η如前引进k维列向量和以及阶矩阵其中假定充分小使得，则可将（3.37）写成向量向量形式：逐次递推，得要使得舍入误差的影响是可控制的，即而使得上述不等式成立当且仅当矩阵的特征方程（3.42）的根都在单位圆内（︱︱＜1)。其中事实上，当矩阵的特征根都在单位圆内时，有的谱半径，则存在一种矩阵的算子范数，使得。则存在常数使即定义3.3称线性K步法关于绝对稳定（absolutelystable）如果特征方程（3.42）的根都在单位圆内。若存在区间，使多步法对都绝对稳定，则称为绝对稳定区域（区间）。根据定义，判别一个方法是否绝对稳定只要考虑它的差分方程的特征多项式（3.42）的跟，故也称（3.42）为稳定性多项式。例33阶显示Adams公式：的稳定性多项式为：，当时，，故特征方程为它的根这是因为，由即可知故对是绝对稳定的。而当时，特征方程为：注意故在中有一个根，故方法对是绝对不稳定的。结论：存在着（零）稳定而不是绝对稳定的情况定理3.3（绝对稳定性的必要条件）一个相容、稳定的多步法若绝对稳定，则m＜0(当m为实数时)。证明：因多步法相容、稳定，故1必为r(l)的单根，即，但。设k阶代数方程的根为：则必有唯一的根，不妨设当其余根和1保持一个正距离。比如当。又满足，若方法为阶，则从而将左端分解因式为：因，当。故除第一个因子外，其余因子均有正下界，即是与无关的正数）因此由于方法的绝对稳定性知恒成立，又，故必有因此讨论Milne法的绝对稳定性。Milne法为：取。其特征方程为：其二根之和为：由(3.34)及Milne法的阶为p=4,则必有一根比如，显然，不能同时满足，故Milne法不绝对稳定。更直接的证明：取则=由定理3.3故有不可能满足（3.44）中的-(1-c)＜b，所以Milne法不绝对稳定。总之，Milne法对任何h＞0都不是的绝对稳定，这是Milne法计算上不能单独使用的原因。显然稳定区域越大，则方法的适应性越强，因此也更有越。对于一般的非线性问题，不是常数，此时可取的界或的一个或多个代表值，为最大容许步长。k=1～4的隐式Adams类方法的绝对稳定区间（m＜0为实数）。步阶绝对稳定区间12（-∞，0）23（-6.0，0）34（-3.0，0）45（-1.8,0）检验绝对稳定性归结为检验特征方程(3.42)的根是否在单位圆内对此有很多判别法，如Schur准则、轨迹法等等。下面我们给出一种简单的、常用的判别法。实系数二次方程的根在单位园内的充分必要条件为:实系数三次方程的三个根按模小于1的充分必要条件为：这些结论的证明，可参见蒋尔雄等编《线性代数》（人民教育出版社，1979）例证明求解一阶常微分方程初值问题：的差分格式收敛并求局部截断误差主项、绝对稳定区间。解：由差分格式可知，令得则其特征值满足根条件：。注意，从而故此为隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：又由而使得的充要条件为：而自然成立。现在再由得即有可得其却对稳定区间：。定理3.3指出，仅当时，多步法才能绝对稳定。而当时，计算中将使误差增长，但此种误差增长是否严重呢？考察方程（3.34）和多步法（3.35）。方程（3.34）的解形如假定多步法相容且稳定，则1必是r(l)的单根，其余根按模小于等于1，重根按模小于等于1。特征方程必有一根从而误差方程（3.37）含有解若误差方程的解占优，则误差的增长速率(m＞0)和解的增长速率类似，一般说来这是可以接受的。为此引进另一种稳定性概念。α,∈∀h定义3.4称线性k步法关于相对稳定（relativelystable),如果特征方程（3.42）的根满足否则说是相对不稳定。若存在区间()，使多步法对都相对稳定，则称为相对稳定区域（区间）。现在再来看Milne法，已知满足根条件即稳定，且即相容。而不绝对稳定，仅当时，故Miline法相对稳定，其相对稳定区域为（0,+∞）但注意，若不知道的符号，则Milne法仍然不能用。例，见书上。教学重点与难点绝对稳定性讨论、练习、作业P443

章节名称§4预估-校正算法§5单步法第4周第2次课讲授2学时教学目的及要求预估-校正算法的构造原理单步法的泰勒法教学内容提要备注预估-校正算法我们知道线性k步隐式方法虽然具有稳定好、精度高的特点，但是每个隐式方法关于待定的un+k一般是非线性的，虽然能利用一些迭代法（例如简单迭代法，或Newton迭代法）来求解，但若un+k的初始近似值选得不好，则其计算量会比利用一次显式公式大得多。我们既要利用隐式方法的稳定性及精确性，又要利用显式公式的简易性，把两者结合起来，做到取长补短。办法之一就是先用同阶的显式公式确定较好的迭代初值，然后再按隐式方法迭代一两次达到精度要求。这就是所谓的预估-校正算法（格式）。解初值问题的线性k步隐式方法形如其中。若已求出，则（4.1）关于为非线性方程，通常用如下迭代法求解：（4.2）为给定的迭代初值。显然若其中，L为关于的Lipschitz常数，初值选择适当，则迭代法（4.2）收敛。注意：两式相减得：显然隐式方法(4.1)每一步的计算量取决于迭代法(4.2)的次数，所以选好初值非常重要。最自然的一种方法是用显式多步法计算初值，比如用称(4.3)为预估算式（P算式），(4.2)为校正算式（C算式），统称(4.2)，(4.3)为预估-校正算法，简称预-校算法(Predictor-Corrector)。由于已经用了预估算式，因此，一般来说，校正次数并不很多。一个极端的情形是允许迭代法(4.2)不断进行，直到不等式成立。其中是预先指定的容许误差。这是一种迭代到收敛的预-校算法。其缺点是，对迭代不加限制，使计算函数值的工作量过大。这种校正次数过多的方法不宜使用。为此，我们提出另一种限制迭代次数的算法：P：E：C：首先利用预估算式得到，然后计算接着在使用校正算式，这就完成了一步校正，然后对重复EC过程，循环校正M次止。则预估一次校正M次的算法可即为：上述预校格式是以最后进行校正结束的。此时已经得到了，由于未在计算，因此下一步预估算式仍然利用显然比更近似。因此还可以设计一种算法，每一步算出后，利用它将算出，供下一步预估算式使用。这种预估-校正算法记为：P(EC)ME。其计算过程如下：P：E：C；E：预估-校正算法举例一个好的预估-校正计算方案应该计算稳定，具有所需精度并且节约计算量。下面列举几个常见的预估-校正算法。例1Adams四阶预估-校正算法。取四阶Adams外插法为预估算法，四阶Adams内插法为校正算法，即二单步法Euler是最简单的单步法。单步法不需要附加初值，所需的存储量小，改变步长灵活，但线性单步法的阶最高为2。本节将介绍非线性（关于f）高阶单步法，重点是Runge-Kutta法。5.1Taylor展开法设初值问题的解充分光滑，将u(t)在处用Taylor公式展开：其中令（5.3）则可将（7-5）改写成为舍去余项，则得。一般而言，若已知，则（5.5）这是一个单步法，局部截断误差为O()，由（5.2）（5.3），可知关于非线性。当p=1时，它是Euler法。由于计算的工作量太大，一般不直接用Taylor展开法作数值计算，但可用他计算附加值。例：用4阶Taylor公式求如下初值问题：分别取h=0.25,0.125并比较结果。首先，要求出，,必须在点处的上述各阶导数值，经计算得：然后将导数和h=0.25代入（5.5）式，计算出：计算出解点为（要计算u2必须在点处的上述各阶导数值，计算量非常大，手算十分枯燥，经计算得：然后将导数和代入（5.5）式得计算出解点经大量的计算后，得到用4阶Taylor公式求如上初值问题的如下的数值结果，见下表。教学重点与难点单步法公式的构造法Taylor法讨论、练习、作业无

章节名称4单步法公式（2）第5周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握单步Runge—Kutta公式的构造教学内容提要备注从前面讨论可见，构造高阶单步法的关键在于构造，使中的局部截断误差阶尽可能高。前面我们利用泰勒级数法构造了一个欧拉法，这时，局部截断误差与同阶，这是一个一阶格式。为了要求，利用泰勒级数法得到一个二阶格（1.27）这时我们有格式(1.27)计算过程中要求函数的二个偏导数在处的值，比较麻烦，可以预计，利用泰勒级数法推导出的高阶格式需要求更多的偏导数值，计算繁复。那么是否可以避免计算偏导数，而得到高阶单步格式的呢？分析梯形法的预报校正格式(1.20)二级二阶方法。一般而言，二级二阶格式可以写成(1.28)适当选择参数，使局部截断误差由因此要求满足这是一个含有四个参数、三个方程的方程组,因此由一个自由参数，解答不唯一。(1)取，则,即得二级二阶法(2)令，由此得算式为(3)取，则有根据同样的思想,可以构造更高阶精度的Runge-Kutta方法三级三阶Runge-Kutta法一般可以写成：故要求，必须有令则，，故有三级三阶算法令，解得，故有三级三阶算法式(1.36)，(1.37)是三级三阶格式。格式的局部截断误差为。可以设计四级四阶格式（1.38）为了达到四级四阶格式，可得13个参数满足11个方程经典四级四阶格式取定，则得（1.39）这是最为著名的经典四级四阶格式。格式的局部截断误差为。教学重点与难点各级各阶格式构造过程讨论、练习、作业P371

章节名称第二章椭圆型方程的有限差分法2.1差分逼近的基本概念第5周第2次课讲授2学时教学目的及要求差分逼近的思想和误差估计教学内容提要备注§2.1差分逼近的基本概念1.1区间的剖分1.2微分方程离散(差分方程）定义1.1定义1.2定义1.3定理1.1（相容+稳定=收敛）教学重点与难点误差估计得计算讨论、练习、作业无

章节名称2一维差分格式2.1直接积分法2.2积分插值法第6周第1次课讲授2学时教学目的及要求直接积分法构造一维差分格式，积分插值法构造一维差分构造教学内容提要备注2.1直接差分化2.2积分插值法2.3变分-差分法数值计算中，我们学习过Lagrange插值多项式公式：教学重点与难点变分-差分法构造一维差分格式讨论、练习、作业P672

章节名称边值条件的处理第6周第2次课讲授2学时教学目的及要求掌握边值条件的处理，矩形网的差分格式构造教学内容提要备注2.4边值条件的处理3.1五点差分格式3.2边值条件的处理教学重点与难点截断误差分析讨论、练习、作业P751

章节名称3.3极坐标形式的差分格式§4三角网的差分格式第7周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握极坐标形式差分格式的构造形式理解三角网的差分格式教学内容提要备注3.3极坐标形式的差分格式四三角网的差分格式教学重点与难点三角网格差分格式讨论、练习、作业P802

章节名称第五章抛物型方程的有限差分法5.1最简差分格式第7周第1次课讲授2学时教学目的及要求最简差分格式，及格式的误差分析§1最简差分格式考察Richardson格式的稳定性表1r=1/2时Richardson格式的误差传播备注教学重点与难点最简差分格式的误差分析讨论、练习、作业P1122

章节名称§2稳定性与收敛性第7周第2次课讲授2学时教学目的及要求掌握稳定性的判别方法，收敛性概念教学内容提要备注2.2判别稳定性的直接法教学重点与难点收敛性判别讨论、练习、作业P1212

章节名称§3.3.1Fourier方法第8周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握Fourier方法教学内容提要备注教学重点与难点方程组的Fourier方法讨论、练习、作业P1271

章节名称3.3.2判别差分格式稳定的代数准则3.4变系数抛物方程第9周第1次课讲授2学时教学目的及要求掌握判别差分格式稳定的代数准则教学内容提要备注3.4变系数抛物线方程教学重点与难点差分格式稳定的代数准则的应用讨论、练习、作业P1322

章节名称3.5分数步长法第9周第2次课讲授2学时教学目的及要求掌握交替方向隐士－ＡＤＩ法计算预－校法和局部一维法——ＬＯＤ法的计算教学内容提要备注3.5.1ADI法3.5.2预-校法教学重点与难点预－校正算法计算讨论、练习、作业ｐ１４１１

章节名称第六章双曲型方程的有限差分法§1波动方程的差分逼近第10周第1次课讲授2学时教学目的及要求波动方程差分格式的构造及稳定性分析教学内容提要备注线性双曲型方程定解问题，具体来讲。讨论的主要对象为：（a）一阶线性双曲型方程（b）一阶常系数线性双曲型方程组其中A,为s阶常数方阵，u为未知向量函数。（c）二阶线性双曲型方程（波动方程）为非负函数。（d）二或三维空间变量的波动方程，（e）扩散方程§4.1波动方程的差分逼近波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：其中是常数。而（1.1）可表示为：进一步有由于当时为的全导数。事实上故由此定出两个方向从而得称其为特征方向。解常微分方程（1.3）得到两族直线和称其为特征。特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。比如，我们可通过特征表示（1.1）得通解。（行波法、特征线法）由复合函数的微分法则同理可得将和代入（1.1）可得：即有求其对C2的积分得：其中是的任意可微函数。求其对的积分得（1.5）其中和均为任意的二次连续可微函数。或可看作以±a向左或向右移动的（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。对于一般问题，（1.1）的通解是无意义的，必须确定函数和的具体形式。若考虑的问题是经典的Cauchy问题，如长弦的震动，即在x轴的初值为：将（1.5）式代入上式，则有而则有并对积分一次，得与（i）式联立求解，得将其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）条件下的解：（1.6）即为法国数学家JeanLeRondd’Alembert(1717-1783)提出的著名的D’Alembert公式。D’Alembert公式还给出了解的稳定性，即当初始条件（1.5）仅有微小的误差时，其解也只有微小的改变。如有两组初始条件：有那么，相应的有即显然，当t有限时，解是稳定的。此外，由D’Alembert公式可以看出，解u在点处的值仅依赖于轴上区间内的初始值。也即仅由该区间内的信息确定,与其他点上的初始条件无关。故三角形△ABC称为依存区域，底边即区间称为点依存区间。它是过点的两条斜率分别为±1/a的直线在x轴上截得的区间。显格式现在构造（1.1）的差分逼近。取空间步长h和时间步长t，用两族平行直线作矩形网格。于网点处Taylor展开成代入（1.1）,并设去截断误差，则得差分格式：这里表示于网点处的近似值。初值条件（1.5）用下列差分方程近似：注意:(1.7）的截断误差阶是，而的截断误差阶仅是。为此需要提高(1.9)的的精度,也可用中心差商代替，即为了将用n的正整数表示，在（1.7）中令，则得进一步，其中并用（1.10）式代入上式得即（1.11）这样利用(1.8),(1.10)(或(1.11))可以算出初始层(n=0)及第一层(n=1)各网格节点上的值。然后利用（1.7）或显式三层格式这可以逐层求出任意网点值。以上显式三层格式也可用于求解如下混合问题：（1.13）取除（1.7）～（1.9）外。再补充边值条件（1.14）1．3稳定性分析下面我们要讨论（1.7）的稳定性。为引用Fourier方法，我们把波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组，相应地把显式三层格式（1.7）化成二层格式。一种简单的做法是引进变量，于是（1.1）化为这样会使得初值u(x,0)和v(x,0)不适定（不唯一），更合理的方法是再引进一个变量，注意到：可将（1.1）化为若令则（1.5）可写成相应地，将（1.7）写成等价的双层格式：（1.17）即其中。可直接验证之。现在用Fourier方法分析（1.17）的稳定性。为此，考虑具有周期边值条件的混合问题。即取代入（1.17）消去公共因子进一步其中从而有为增长矩阵，为网比。则差分方程（1.17）稳定的充分必要条件是矩阵族：一致有界注意的特征方程为它的根按模小于等于1的充分必要条件是：即（1.19）这是差分方程(1.17)稳定的必要条件—VonNeumann条件。我们进一步讨论(1.17)的充分条件，若可一致对角化。当网格比而时，由判别法可知则有两个共轭复根：即且由于矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关，故特征向量和线性无关。事实上，其中由对和正规化后，这里，第五章定理3.3知，G(q)可一致对角化，即H-1GH=A,其中即H的列是由构成。这样VonNeumann条件还是充分条件。当网比时，。故对于VonNeumann条件充要条件。当网比，于，有则，即有重根。从而那么，存在相似变换s使得从而显然关于无界，故矩阵族：不一致有界。结论，差分方程(1.17)稳定的充分必要条件是网比稳定性条件（1.19）有一直观的几何解释，从方程（1.12）可看出，依赖于前两层的值：而这四个值又依赖于，依赖于：；依赖于：；依赖于：；依赖于：；以此类推，可知，依赖于初始层的上的下列值：因此,称x轴上含于区间[xj+n]的网点为差分解的依存域。它是轴上被过和以及和的两条直线：即切割下来的区间所覆盖的网域。而过的两条特征线为：差分格式稳定的必要条件为：1或可见差分格式稳定的必要条件是：差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域,否则差分格式不稳定。事实上，微分方程的解的依存域为初始线上的区间[],其中为点为点（见图）。那么，当时，亦即或时，那么，当时，亦即或时，用依存域的概念证明：当r＞1时，差分解不收敛。如图，当r＞1时，,对于固定的，让网格步长变小，但网比r保持不变，依存域和不变。显然若改变区间和上的值，但是[P,Q]上的初值不变,则可取不同值，而当，r保持不变)时，是一串确定的数列，它不可能收敛到不同的，故差分解不收敛于微分方程的解。当r＞1时，差分方程稳定，因而差分解收敛。Courant等证明，当r=1时，差分解仍稳定，收敛。Courant等证明，当r=1时，差分解仍稳定，收敛。但是要求有更光滑的初值。习惯上也称r≤1为Courant条件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）条件。隐式差分格式隐式格式近似有多种，如：或CN格式为了得到绝对稳定的差分格式，用第n-1层、n层、n+1层的中心差商的权平均去逼近uxx得到下列差分格式或其中是参数。可以证明，对于，差分格式绝对稳定。时，差分格式的充要条件是：当为显格式（1.7），一个常用的隐式格式是取此时，或等价于以解方程组（令建立的格式：其中：增长矩阵为：显然，有即为酉阵且的特征值按模等于1.因此：从而矩阵族：一致有界，即（1.21）绝对稳定。教学重点与难点稳定性分析讨论、练习、作业Ｐ１５８，２，３

章节名称4.2一阶线性双曲方程组第10周第2次课讲授2学时教学目的及要求讨论一阶线性双曲方程组的差分解法教学内容提要备注考虑一阶线性双曲型方程组初值问题其中，为μ维列向量，A为μ阶方阵，它有μ个相异实特征值，即我们把4.3的有关一阶偏微分方程式差分格式推广到方程组情形4.4.1Lax-Friedrichs格式设A为实常数矩阵，类似单个方程式的情形，Lax-Friedrichs格式为差分算子的增长矩阵为设矩阵A的特征值为，则的特征值为由此Lax-Friedrichs格式稳定的必要条件为（4.53）为矩阵A的谱半径。如果A为实对称矩阵，因，为G的共轭转置矩阵，故G为正规矩阵，条件(4.53)给出了格式稳定的充分条件。，则Lax-Friedrichs格式为（4.54）这里，格式(4.54)稳定的必要条件为Ω为微分方程求解区域4.4.2Crank-Isaacson-Rees格式考虑一阶双曲型偏微分方程组（4.55）的Courant-Isaacson-Rees格式。首先考虑A为实常数矩阵的情形，方程组为严格双曲型，矩阵A有μ个相异实特征值，及μ个相互独立的左特征向量方程组(4.55)的正规形式为（4.56）由关于一阶偏微分方程式的Courant-Isaacson-Rees格式的构造方法知如果，则第i个方程的差分格式为如果，则第i个方程的差分格式为这就是一阶双曲型方程组的Courant-Isaacson-Rees格式，它是一阶精度的差分格式。令，则格式可表示为（4.59）令