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2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.单位正方体ABCD-,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(iN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是()A.1 B. C. D.02.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤3.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.4.如图,抛物线:的焦点为,过点的直线与抛物线交于,两点,若直线与以为圆心,线段(为坐标原点)长为半径的圆交于,两点,则关于值的说法正确的是()A.等于4 B.大于4 C.小于4 D.不确定5.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.6.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%7.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.8.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.9.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B.3 C. D.210.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.11.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.12.已知点在双曲线上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a214.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)15.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.16.设双曲线的左焦点为,过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于,两点若,则的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.18.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数(I)当时,解不等式.(II)若不等式恒成立,求实数的取值范围20.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.21.(12分)已知,如图,曲线由曲线:和曲线:组成,其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点,点为曲线所在圆锥曲线的焦点.(Ⅰ)若,求曲线的方程;(Ⅱ)如图,作直线平行于曲线的渐近线,交曲线于点,求证:弦的中点必在曲线的另一条渐近线上;(Ⅲ)对于(Ⅰ)中的曲线,若直线过点交曲线于点,求面积的最大值.22.(10分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划,需了解年研发资金投入量x(单位:亿元)对年销售额y(单位:亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析,建立了两个函数模型:①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据,i=1,2,⋯,12,并对这些数据作了初步处理,得到了右侧的散点图及一些统计量的值.令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814(1)设ui和yi的相关系数为r1,xi和(2)(i)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);(ii)若下一年销售额y需达到90亿元,预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?附:①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据:308=4×77,90≈9.4868,e
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】
根据规则,观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点,得到每爬1步回到起点,周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点,即可计算出它们的距离.【题目详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过1段后又回到起点,可以看作以1为周期,由,白蚂蚁爬完2020段后到回到C点;同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点,所以它们此时的距离为.故选B.【答案点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,考查空间想象与推理能力,属于中等题.2、A【答案解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【题目详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【答案点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.3、C【答案解析】
设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【题目详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【答案点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.4、A【答案解析】
利用的坐标为,设直线的方程为,然后联立方程得,最后利用韦达定理求解即可【题目详解】据题意,得点的坐标为.设直线的方程为,点,的坐标分别为,.讨论:当时,;当时,据,得,所以,所以.【答案点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题,解题核心在于联立直线与抛物线的方程,属于基础题5、D【答案解析】
整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【题目详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D【答案点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.6、B【答案解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布7、A【答案解析】
求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【题目详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【答案点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.8、B【答案解析】
根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【题目详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【答案点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.9、D【答案解析】
根据抛物线的定义求得,由此求得的长.【题目详解】过作,垂足为,设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于,所以,所以,所以,所以.故选:D【答案点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.10、D【答案解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.11、C【答案解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大,由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率,进而确定离心率的取值范围.【题目详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为,短轴长为6,所以椭圆离心率,所以.故选:C【答案点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用,属于基础题.12、C【答案解析】
将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长,进而求得离心率.【题目详解】将,代入方程得,而双曲线的半实轴,所以,得离心率,故选C.【答案点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-2【答案解析】试题分析:∵a2考点:等比数列性质及求和公式14.【答案解析】试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1.考点:排列、组合及简单计数问题.点评:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详.15、【答案解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【题目详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【答案点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.16、【答案解析】
设直线的方程为,与联立得到A点坐标,由得,,代入可得,即得解.【题目详解】由题意,直线的方程为,与联立得,,由得,,从而,即,从而离心率.故答案为:【答案点睛】本题考查了双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【答案解析】
(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【题目详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去;当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增.,所以.于是,当时,,得,与条件矛盾.故的取值范围是.【答案点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.18、(1)(2)【答案解析】
(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式,求得的取值范围,根据分段函数解析式,求得的取值范围,结合题意列不等式,解不等式求得的取值范围.【题目详解】(1),由得或或;解得.故所求解集为.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【答案点睛】本小题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式和函数最值问题,考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【答案解析】试题分析:(1)根据零点分区间法,去掉绝对值解不等式;(2)根据绝对值不等式的性质得,因此将问题转化为恒成立,借此不等式即可.试题解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集为.(Ⅱ)由不等式的性质得:,要使不等式恒成立,则当时,不等式恒成立;当时,解不等式得.综上.所以实数的取值范围为.20、(1)(2)见解析【答案解析】
(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列的前项和.21、(Ⅰ)和.;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ).【答案解析】
(Ⅰ)由,可得,解出即可;(Ⅱ)设点,设直线,与椭圆方程联立可得:,利用,根与系数的关系、中点坐标公式,证明即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线,且,设直线的方程为:,与椭圆方程联立可得:,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质,即可求解.【题目详解】(Ⅰ)由题意:,,解得,则曲线的方程为:和.(Ⅱ)证明:由题意曲线的渐近线为:,设直线,则联立,得,,解得:,又由数形结合知.设点,则,,,,,即点在直线上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线,点,设直线的方程为:,联立,得:,
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