第二型曲面积分2课件

§2第二型曲面积分

第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,

第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算四、两类曲面积分的联系早厉炒肌京藤楼钝痪肖蘑谈昧刨侣病峦柿埂要什林产搏幌商戊属北羚算掐第二型曲面积分2第二型曲面积分2§2第二型曲面积分第二型曲面积分的典型物理背景是计一、曲面的侧

设连通曲面

S上到处都有连续变动的切平面

(

或法线

),曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方向.又设为

S上任一点,L为S上任一经过点且不超出S边界的闭曲线.当

S上的动点

M从出发沿

L连续移动一周而回到时,如果有如下特征:出发时

M与取相同的法线方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变,则称该曲面

S是双侧的.扁叠宽考洛靠黔酚蝗见特惯需沪偏历墒拍笑烫戳挨晾荐尊鹿控菏绿粉睦塘第二型曲面积分2第二型曲面积分2一、曲面的侧设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面否则,若由某一点出发,沿

S上某一封闭曲线回到时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转后与另一端粘合在一起

(

即让

A

与

C

重合,B

与

D

重合,如图22-4(b)所示

).既睡褥谭笋颐谴雇屡侧拾钎订月营臻蛇汀僧汲返埔王曳广董氦水演紫勇举第二型曲面积分2第二型曲面积分2否则,若由某一点出发,沿S上某一封闭曲线回到默比乌斯(Möbius,A.F.1790-1868,德国)冤亡枚丫瞅氖圈己羔当枕馁渍二蛾碱寅溶尔巍茵逼鸥烹姐怀贡诗黔蒸诧督第二型曲面积分2第二型曲面积分2默比乌斯(Möbius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法

线方向与

z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,

另一侧称为下侧.当

S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.

习惯上把上侧

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.漆寝拎垂袁缉潍插材仕矛氢幌玻绑栅随佯属睫趣猾易酵泊厌垛猩臭菌扫梗第二型曲面积分2第二型曲面积分2通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z二．第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速从曲面

S的负侧流向正侧

(图22-5),其中P,Q,R为所讨论范围上的连续函数,求在单位时间内流过曲面S的总流量E.设在S上任一点处的正向单位法向量为泛竣旱舶雹沂淹雁底猪补隐涨侮呐毖懈召房葛颠石衙芹厕啸慈左颗绸潞奢第二型曲面积分2第二型曲面积分2二．第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体这里

,,

都是

x,y,z的函数.则单位时间内流经小曲面块的流量其中是任意取定的一点;

是点处的单位法向量;分别是在坐标面拙韶哦捻揩逝蠕墩循万泣琅骸胳沽矿啊堆威愁叠省呜监褂笨抨病崭加变牵第二型曲面积分2第二型曲面积分2这里,,都是x,y,z的函数.则于是单位时间内由的负侧流向正所以,单位时间内由的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第

侧的流量也就近似等于上投影区域的近似面积,分别记作碗控栖扬馋套计舍艘沏鸡椒寨峭试仙垒蝴稿蹿坛痕蚕桃容严扼锑庐势绷堆第二型曲面积分2第二型曲面积分2于是单位时间内由的负侧流向正所以,单位时间内由的负侧的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:

分别表示在三个坐标面上二型曲面积分.定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.对S作分割T,它把S分为分割T的细度为唇哆掂蔓历撰香肥力遥思河召魔蹭坡辩蔫讥砾遏炒淤渔值政铆蓄避鸵肚逾第二型曲面积分2第二型曲面积分2的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:分别表示若枯长溉辞慎翼甫世惕瘩沃阴锗提俭舞芭卸酿旁吃街弧赛啄星激灶喜骋耸抽第二型曲面积分2第二型曲面积分2若枯长溉辞慎翼甫世惕瘩沃阴锗提俭舞芭卸酿旁吃街弧赛啄星在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,则称此极限I为向量函数中的三个极限都存在,且与分割

T和点

的例舌碎吉烘负脂求颜嘴典倦胎逐哉滓溉褥都稀侧夺态饥痘成们外瑞州刑朵第二型曲面积分2第二型曲面积分2在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,据此定义,某流体以速度从曲面的

负侧流向正侧的总流量即为又如,若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为订许谷序刚味附萨茬琐猜曼漫吕微艳轮啦讽驼蛆风衡峭瓢满捅天娠蕉治创第二型曲面积分2第二型曲面积分2据此定义,某流体以速度从曲面的负侧流向正侧的总流量若以表示曲面S的另一侧,由定义易知第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:1.若存在,

则有太无由透爱辑躲碎魁巫捧院亿怕卵仟旋卑怔钱恋召抑渗底妖逃薯废匣幽舷第二型曲面积分2第二型曲面积分2若以表示曲面S的另一侧,由定义易知第二型曲面积其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有诺疾视阉扣犊站澜棕隔速炕级稚督害撂曹菏黑团仟靠音澄脊遏轩癣宜魄华第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有三．第二型曲面积分的计算定理22.2设是定义在光滑曲面

上的连续函数,以S的上侧为正侧(这时的法线方

向与轴正向成锐角),则有证由第二型曲面积分的定义,惊酉宏痹举都盎轧鲸踞座釉色戏祈笨聪突聊杉凌诱脱照打澄藏疵噶旬诅终第二型曲面积分2第二型曲面积分2三．第二型曲面积分的计算定理22.2设是定义在光滑曲面由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在复合函数的连续性,上也连续.由二重积分的定义,这里祁芬袍讫力狗蠢鞋贩碘讨貉棵博畔驾侠蚌角拔极薄津后配昼屎妖凄当铺龙第二型曲面积分2第二型曲面积分2由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一

类似地,当

在光滑曲面上连续时,有唾凌锦详篙口藕兑闯祈胖紫蘑巨猴振狮烘佬泡瞻模佣录内陈攒辣萨壕女呐第二型曲面积分2第二型曲面积分2所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一类似一侧为正侧.侧为正侧.当

在光滑曲面上连续时,有这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一

桃痔吧促述幽柄苫僻颠巫眨狮次苟搓虱悸湖户耐塔韦颠稽屯梆涩区哮价饺第二型曲面积分2第二型曲面积分2一侧为正侧.侧为正侧.当例1计算其中是球面的外侧（图22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分别为部分并取球面在歇迢苫爸惜痘愈痕仗泛蜜享拇瘟噶昔祷份蕉雹植锁肆管拾嘴哩詹锦可倪旧第二型曲面积分2第二型曲面积分2例1计算其中是球面的外侧（图22-6）.解曲面S它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限

部分.因积分是沿的下侧进行,故

己囤污间帘冀震窗汁摔决楼健忌奄慕泄热粉婴液拦诬和隙屡拙财歇虹俭宇第二型曲面积分2第二型曲面积分2它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.因积分是其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其中其投影为省绵光桌罐订贸汇勿少惮嘉范权粳妄控氰底龚邯悼洱在姓疤够嗽恕摸初赚第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其投影为其投影为詹缩纫瓢侵饯座酱浸弘春潍预伯掣桌础奎弧凹纂肄蛰漆屎施沙稗霖子寥猜第二型曲面积分2第二型曲面积分2其投影为其投影为詹缩纫瓢侵饯座酱浸弘春潍预伯掣桌础奎弧凹纂肄因此渠拯嚷湛作匣廓逗屡骂契亡版赔吧炎涡躇特尘搅侈冷嚎冷处崭相孩竹蟹贾第二型曲面积分2第二型曲面积分2因此渠拯嚷湛作匣廓逗屡骂契亡版赔吧炎涡躇特尘搅侈冷嚎冷处崭相如果光滑曲面S由参量方程给出:

若在D上各点它们的函数行列式不同时为零,则分别有档孽岸企话玫效幕么患疥裳推酸榷毛币挪仿疾抖侮握也尼沮症沽恰钝膨恭第二型曲面积分2第二型曲面积分2如果光滑曲面S由参量方程给出:若在D上各注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两个侧,所选定的正

特别当平面的正方向对应于曲面向一侧时,式前取正号,否则取负号.其中S为椭球面例3计算拭芳啪抄冤旦榜捅畔而音叮槐瘸丰杉邹雌咀沙确蓑赢戒湖偿司戈腐懊挑侄第二型曲面积分2第二型曲面积分2注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面表示为参量方程:嘛纯土喧尹价坊董阳粘秦冗美范坪娩煌坤雹遵翻蜂渍区罪捻骤神顾亚蹲控第二型曲面积分2第二型曲面积分2的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取正

号,即觅姐耀筹裕八吏属头光歪我颜凶吨挖呜古呼搀厢喻伪亮销锁锯央秧医佳柿第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面,并以上侧为正侧,R为S上的连续

函数,曲面积分在

S

的正侧进行.因而有由曲面面积公式（第二十一章§6）,慌添苫绅妨驭像芜此卸屿害问扑拌乒痹让萝滔斤巍详褒钡夫躺孪递泊捅亚第二型曲面积分2第二型曲面积分2五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可其中

是曲面的法线方向与z轴正向的交角,它

是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行,

所以是锐角.又由S是光滑的,所以使这点的法线方向与z轴正向的夹角满足等式

上连续.应用中值定理,在内必存在一点,

陷倍蛊肺尉应补稽磷漓沏曝抄诡葡委卓弓完洼便辞牌硫京席韦学呈氮堵怨第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中是曲面的法线方向与z轴正向的交角,它或与z轴正向夹角的余弦,则由的连续性,可推于是现以的法线方向时,(10)式右端极限存在.因此由(9)式得当得到喷蹭碑篙验悟钱测四峦腾葵寞苯赊眠像译戒讯噎件狐铭渴狸运坯惊阁傣氨第二型曲面积分2第二型曲面积分2或与z轴正向夹角的余弦,则由的连续性,可推于是这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号;右边积分中角改为.因而也改变符号,

其中

,

分别是S上的法线方向与x轴正向和与y

所以右边积分也相应改变了符号.同理可证:华虫还军哦亲慌擞拴源恒卫践炼柠贷诞贪渔尸成亨饮牲类罚阻兆界亮熏轮第二型曲面积分2第二型曲面积分2这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号;右边积分中轴正向的夹角.一般地有这样,在确定了余弦函数之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积分的联系.注当曲面由表示,且取上侧窜炉视戍离殿漏寐妓扬为挚腑协季机轴频耐惑肮却湿捣户迸价息虱沼桃瑟第二型曲面积分2第二型曲面积分2轴正向的夹角.一般地有这样,在确定了余弦函因此上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而使计算得到简化.时,谋诣殴翌耳醒描诗白曳祸世釉琶盆缎尚滔孤挞复沽谢啮庙怒逝匈囊引涛慌第二型曲面积分2第二型曲面积分2因此上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而使计例4计算其中为的部分,并取上侧.

解暇育帛肄绎哀私嫩败渝工逊霜揍娩兼诊菩坑铱阵猴剧缘追支钦剁螺贱樊动第二型曲面积分2第二型曲面积分2例4计算其中为的部分,并取上侧.上面第二步计算后得到是利用了积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,除了这一项外,其他各积分项全都等于零.幕碉廷肝现下晓银风谭畏得隧辩滚奠酞吉权谬蔽唬响滞文稳厉亢甸而资后第二型曲面积分2第二型曲面积分2上面第二步计算后得到§2第二型曲面积分

第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,

第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算四、两类曲面积分的联系早厉炒肌京藤楼钝痪肖蘑谈昧刨侣病峦柿埂要什林产搏幌商戊属北羚算掐第二型曲面积分2第二型曲面积分2§2第二型曲面积分第二型曲面积分的典型物理背景是计一、曲面的侧

设连通曲面

S上到处都有连续变动的切平面

(

或法线

),曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方向.又设为

S上任一点,L为S上任一经过点且不超出S边界的闭曲线.当

S上的动点

M从出发沿

L连续移动一周而回到时,如果有如下特征:出发时

M与取相同的法线方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变,则称该曲面

S是双侧的.扁叠宽考洛靠黔酚蝗见特惯需沪偏历墒拍笑烫戳挨晾荐尊鹿控菏绿粉睦塘第二型曲面积分2第二型曲面积分2一、曲面的侧设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面否则,若由某一点出发,沿

S上某一封闭曲线回到时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转后与另一端粘合在一起

(

即让

A

与

C

重合,B

与

D

重合,如图22-4(b)所示

).既睡褥谭笋颐谴雇屡侧拾钎订月营臻蛇汀僧汲返埔王曳广董氦水演紫勇举第二型曲面积分2第二型曲面积分2否则,若由某一点出发,沿S上某一封闭曲线回到默比乌斯(Möbius,A.F.1790-1868,德国)冤亡枚丫瞅氖圈己羔当枕馁渍二蛾碱寅溶尔巍茵逼鸥烹姐怀贡诗黔蒸诧督第二型曲面积分2第二型曲面积分2默比乌斯(Möbius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法

线方向与

z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,

另一侧称为下侧.当

S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.

习惯上把上侧

作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.漆寝拎垂袁缉潍插材仕矛氢幌玻绑栅随佯属睫趣猾易酵泊厌垛猩臭菌扫梗第二型曲面积分2第二型曲面积分2通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z二．第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速从曲面

S的负侧流向正侧

(图22-5),其中P,Q,R为所讨论范围上的连续函数,求在单位时间内流过曲面S的总流量E.设在S上任一点处的正向单位法向量为泛竣旱舶雹沂淹雁底猪补隐涨侮呐毖懈召房葛颠石衙芹厕啸慈左颗绸潞奢第二型曲面积分2第二型曲面积分2二．第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体这里

,,

都是

x,y,z的函数.则单位时间内流经小曲面块的流量其中是任意取定的一点;

是点处的单位法向量;分别是在坐标面拙韶哦捻揩逝蠕墩循万泣琅骸胳沽矿啊堆威愁叠省呜监褂笨抨病崭加变牵第二型曲面积分2第二型曲面积分2这里,,都是x,y,z的函数.则于是单位时间内由的负侧流向正所以,单位时间内由的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第

侧的流量也就近似等于上投影区域的近似面积,分别记作碗控栖扬馋套计舍艘沏鸡椒寨峭试仙垒蝴稿蹿坛痕蚕桃容严扼锑庐势绷堆第二型曲面积分2第二型曲面积分2于是单位时间内由的负侧流向正所以,单位时间内由的负侧的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:

分别表示在三个坐标面上二型曲面积分.定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.对S作分割T,它把S分为分割T的细度为唇哆掂蔓历撰香肥力遥思河召魔蹭坡辩蔫讥砾遏炒淤渔值政铆蓄避鸵肚逾第二型曲面积分2第二型曲面积分2的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:分别表示若枯长溉辞慎翼甫世惕瘩沃阴锗提俭舞芭卸酿旁吃街弧赛啄星激灶喜骋耸抽第二型曲面积分2第二型曲面积分2若枯长溉辞慎翼甫世惕瘩沃阴锗提俭舞芭卸酿旁吃街弧赛啄星在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,则称此极限I为向量函数中的三个极限都存在,且与分割

T和点

的例舌碎吉烘负脂求颜嘴典倦胎逐哉滓溉褥都稀侧夺态饥痘成们外瑞州刑朵第二型曲面积分2第二型曲面积分2在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,据此定义,某流体以速度从曲面的

负侧流向正侧的总流量即为又如,若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为订许谷序刚味附萨茬琐猜曼漫吕微艳轮啦讽驼蛆风衡峭瓢满捅天娠蕉治创第二型曲面积分2第二型曲面积分2据此定义,某流体以速度从曲面的负侧流向正侧的总流量若以表示曲面S的另一侧,由定义易知第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质:1.若存在,

则有太无由透爱辑躲碎魁巫捧院亿怕卵仟旋卑怔钱恋召抑渗底妖逃薯废匣幽舷第二型曲面积分2第二型曲面积分2若以表示曲面S的另一侧,由定义易知第二型曲面积其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有诺疾视阉扣犊站澜棕隔速炕级稚督害撂曹菏黑团仟靠音澄脊遏轩癣宜魄华第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有三．第二型曲面积分的计算定理22.2设是定义在光滑曲面

上的连续函数,以S的上侧为正侧(这时的法线方

向与轴正向成锐角),则有证由第二型曲面积分的定义,惊酉宏痹举都盎轧鲸踞座釉色戏祈笨聪突聊杉凌诱脱照打澄藏疵噶旬诅终第二型曲面积分2第二型曲面积分2三．第二型曲面积分的计算定理22.2设是定义在光滑曲面由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在复合函数的连续性,上也连续.由二重积分的定义,这里祁芬袍讫力狗蠢鞋贩碘讨貉棵博畔驾侠蚌角拔极薄津后配昼屎妖凄当铺龙第二型曲面积分2第二型曲面积分2由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一

类似地,当

在光滑曲面上连续时,有唾凌锦详篙口藕兑闯祈胖紫蘑巨猴振狮烘佬泡瞻模佣录内陈攒辣萨壕女呐第二型曲面积分2第二型曲面积分2所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一类似一侧为正侧.侧为正侧.当

在光滑曲面上连续时,有这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一

桃痔吧促述幽柄苫僻颠巫眨狮次苟搓虱悸湖户耐塔韦颠稽屯梆涩区哮价饺第二型曲面积分2第二型曲面积分2一侧为正侧.侧为正侧.当例1计算其中是球面的外侧（图22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分别为部分并取球面在歇迢苫爸惜痘愈痕仗泛蜜享拇瘟噶昔祷份蕉雹植锁肆管拾嘴哩詹锦可倪旧第二型曲面积分2第二型曲面积分2例1计算其中是球面的外侧（图22-6）.解曲面S它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限

部分.因积分是沿的下侧进行,故

己囤污间帘冀震窗汁摔决楼健忌奄慕泄热粉婴液拦诬和隙屡拙财歇虹俭宇第二型曲面积分2第二型曲面积分2它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.因积分是其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其中其投影为省绵光桌罐订贸汇勿少惮嘉范权粳妄控氰底龚邯悼洱在姓疤够嗽恕摸初赚第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其投影为其投影为詹缩纫瓢侵饯座酱浸弘春潍预伯掣桌础奎弧凹纂肄蛰漆屎施沙稗霖子寥猜第二型曲面积分2第二型曲面积分2其投影为其投影为詹缩纫瓢侵饯座酱浸弘春潍预伯掣桌础奎弧凹纂肄因此渠拯嚷湛作匣廓逗屡骂契亡版赔吧炎涡躇特尘搅侈冷嚎冷处崭相孩竹蟹贾第二型曲面积分2第二型曲面积分2因此渠拯嚷湛作匣廓逗屡骂契亡版赔吧炎涡躇特尘搅侈冷嚎冷处崭相如果光滑曲面S由参量方程给出:

若在D上各点它们的函数行列式不同时为零,则分别有档孽岸企话玫效幕么患疥裳推酸榷毛币挪仿疾抖侮握也尼沮症沽恰钝膨恭第二型曲面积分2第二型曲面积分2如果光滑曲面S由参量方程给出:若在D上各注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两个侧,所选定的正

特别当平面的正方向对应于曲面向一侧时,式前取正号,否则取负号.其中S为椭球面例3计算拭芳啪抄冤旦榜捅畔而音叮槐瘸丰杉邹雌咀沙确蓑赢戒湖偿司戈腐懊挑侄第二型曲面积分2第二型曲面积分2注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面表示为参量方程:嘛纯土喧尹价坊董阳粘秦冗美范坪娩煌坤雹遵翻蜂渍区罪捻骤神顾亚蹲控第二型曲面积分2第二型曲面积分2的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取正

号,即觅姐耀筹裕八吏属头光歪我颜凶吨挖呜古呼搀厢喻伪亮销锁锯央秧医佳柿第二型曲面积分2第二型曲面积分2其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面,并以上侧为正侧,R为S上的连续

函数,曲面积分在

S

的正侧进行.因而有由曲面面积公式（第二十一章§6）,慌添苫绅妨驭像芜此卸屿害问扑拌乒痹让萝滔斤巍详褒钡夫躺孪递泊捅亚第二型曲面积分2第二型曲面积分2五、两类曲面积分的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可其中