平面向量的数量积及运算律-精讲版课件

平面向量的数量积及运算律物理中功的概念θsF

一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F

和位移s是向量，功是数量.是F的方向与s的方向的夹角。新课引入向量的夹角两向量的夹角范围是两个非零向量a和b

，在平面上任取一点O，作，,则叫做向量a

和b

的夹角．OB=bOA=a记作当，a

与b

垂直，当，a

与b

同向，当，a

与b

反向AOBOABBabAOOAB练习一：在中，找出下列向量的夹角：

ABC(1)(2)(3)平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．提问：（1）向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？

（2）“”能不能写成“”或者“”的形式？练习二：60。CAB60。5824-20D（1）已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是，求p·q60。a与b的夹角为，则a·b=_______30。（3）已知中，=5,b=8,C=,求BC·CA（2）已知OABab平面向量的数量积的几何意义，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθ|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．平面向量的数量积的几何意义是:a

的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积OABabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAabOABbaOABbaθ为时，它是|b|0。θ为时，它是-|b|180。练习三：1、已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的投影及；

2、已知，，与的交角为，则；4、已知，，且，则与的夹角为

；3、若，，共线，则.（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特别地403或－3(a//

ba·

b=±|a|·

|b|)平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|

．特别地(a//

ba·

b=±|a|·

|b|)例2已知中，CB=a,CA=b,a

·b<0,ABCD解：设与的夹角为则可作图如右：例题讲解：练习四：（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知|AB|=|AC|=1，且AB·AC=，则这个三角形的形状是C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且|a|=2|b|则a与b间的夹角的余弦值是。总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是:a

的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积2、a

·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a

·b=|a|·|b|cos可求两向量的夹角，