北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷(理)(答案+解析)

高三上学期期中考试数学试题北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）8个小题5分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A. B.，C.，则（ ）D.【答案】BAA∪B即可．因为集合合 ，所以 ，故选：B．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A.-10 B.-2 C.2 D.10【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S模拟程序的运行过程，可得答案．模拟程序的运行过程，第一次运行： 第二次运行：高三上学期期中考试数学试题第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.3.设平面向量A. B.， ，C.0 D.， ，则实数的值等于（ ）【答案】A【解析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．向量 ， ，∴故选A.4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A.B. C.D.【答案】D【解析】利用指函数的单调性得出结论．A.，显然不成立；B.错误，因为函数在 上为增函数，由，可得；同理C.，因为函数 在上为增函数，由 ，可得；D.，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.5.“ ”是“ ”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】观察两条件的互推性即可求解．高三上学期期中考试数学试题由“ ”可得到“故応A.6.已知函数，若故応A.6.已知函数，若（，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B

”，“ ”不一定得“ ”的充分而不必要条.【解析】由根据基本不等式可求

，可知的取值范围.

由 可得若也可导出矛盾，故

由 ，

与 矛盾；同理而即故选B已知函数A.1 B.2 C.3 D.【答案】C

当 时，方程 的根的个数为（ ）【解析】画出函数 的图像，由图像可得结.画出函数 的图像，有图可知方程 的根的个数为3.故选C.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下： ， ，， ，…，称 为第1组， 为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（ ）高三上学期期中考试数学试题A.第404组 B.第405组 C.第808组 D.第809组【答案】A【解析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.正奇数数列的通项公式为 则2019为第1010个奇数因为按两项项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分）9.已知 ， ，则 ， ．【答案】 (1). (2).--【解析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可由题 ， ，则即答案(1). (2).已知，满足 则 的最大值．【答案】△ABCx=3，y=1时，z=x+2y5．作出不等式组 表示的平面区域，ABC及其内部，其中A（，，（--，（4，-）z=x+2yl：z=x+2y进行平移，高三上学期期中考试数学试题当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z =3最大值故答案为：3已知函数①定义域为；

满足下列条件：②函数 在 上单调递增；③函数

的导函数

有且只有一个零点，写出函数【答案】

的一个表达．【解析】利用已知条件，直接推出结果即可．①定义域为；②函数 在 上单调递增；③函数

的导函数

有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为： ．或 +2等等．故答案为： （答案不唯一）如图，在平行四边形

中，，分别为边

， 的中点，连接，，交于点，若 （，

，则 ．【答案】【解析】根据平行线分线段成比例解答即可.根据平行线分线段成比例可得 而高三上学期期中考试数学试题故即答案为...某港口水的深度（单位：米）是时刻（是该港口某日水深的数据：

，单位：小时）的函数，记作 .下面036912151821248.011.07.95.08.011.08.05.08.0经长期观察，曲线

可近似地看成函数

（ ， ）的图象，根据以上数据，函数 的近似表达式为 ．【答案】【解析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由即答案为

，得ω=，所以函数

的近似表达式从标有数字，，（ ，且，， ）的四个小球中任选两个不43种不同的结果那么这4个小球上的不同的数字恰好有 个试写出满足条件的所有组，， ．【答案】 (1).3 (2).1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】由 ，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可4种同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，.由 且个小球中任选两个不同的小球将其上的数字相加可得4种不同的结果将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得43个，若两个相等的数为1，如高三上学期期中考试数学试题321,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9.即答案(1).3 (2).1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设

（ ）是各项均为正数的等比数列，且 ， .的通项公式；若解（）

，求为首项为，公比为（

.，则依题意，，解得 ， ，所以 的通项公式为 ， .（II）因为 ，所以已知函数 .求 的最小正周期及单调递增区间；若对任意（）由已知可得.所以最小正周期为

， （为实数）恒成立，求的最小值..令 ， .所以 ，高三上学期期中考试数学试题所以所以则当 ，

，即单调递增区间为 ， ..，，，时， .因为 恒成立，所以

，所以的最小值为2在

中，角，，的对边分别为，，

， ， .a；求（）又

的面积.，即 ，，为钝角，所以 .由 ，即 ，解得 .（II）在 中，由 知为钝角，所以 .，所以所以已知函数当 时，求 在区

（ ）上的最大值和最小值；求证：“解：

”的“函数

有唯一零点”的充分而不必要条件.，当 时，当在 内变化时，-1

，， 的变化如下表：0 1 2高三上学期期中考试数学试题+0-0+-4↗极大值1↘极小值0↗5当 时， ； .证明：若 ， .当变化时， ， 的变化如下表：0+ 0-0+↗ 极大值↘极小值↗，因为 ，所以.即.且 ，所以 有唯一零.所以“ ”是“ 有唯一零”的充分条.又 时，当变化时， ， 的变化如下表：0- 0+0-↘ 极小值↗极大值↘又 ， ， .所以此时

也有唯一零点.从而“

”是“

有唯一零点”的充分不必要条件已知函数求曲线

（ ）.在点 处的切线方程的单调性并证明；若函数 在

处取得极大值，记函数

的极小值为 ，试求 的最大.解：函数且

的定义域为 ，.高三上学期期中考试数学试题所以曲线

，在点 处的切线方程为 .即 .令①当 时， .

，得 ，当变化时，，变化情况如下表：1+0-0+↗极大值↘极小值↗所以函数 在和上单调递增，在上单调递减.②当 时，所以函数 在恒成立.上单调递增.③当时，.当变化时，， 变化情况如下表：1+0 -0+↗极大值 ↘极小值↗所以函数在和 上单调递增，在上单调递减.

是函数

的极大值点，需满足 .此时，函数所以令

的极小值为 ..得 .当变化时， ， 变化情况如下表：高三上学期期中考试数学试题+ 0 -所以函数

↗的最大值为 .

极大值 ↘

对 ，定义集合的个数.

，数列，，…，中的（

）是集合中元素（I）若数列，，…5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；若对

， ，，，…，，定义集合，均有 .

为公比为的等比数列，求 ；，令是集合中元素的个数.求证：（）数列，，，是6,4,3,1,1.由题知因此数列，，…，下面证明

，由于数列，为， ，…，2

是项的等比数列，假设数列 中有个，

个 ，…，个2，个1，显然