专题09 立体几何与空间向量讲义-新高考1卷高考二轮复习复习 解答题篇

专题09运用空间向量研究立体几何问题平行垂直角异面直线角：平移线面角：作平面垂线（由面面垂直得线面垂直）二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长）题组一平行关系的证明类型一线线平行证明线面平行中位线法1．已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，点E，F分别是PD，AB的中点．求证：AE∥平面PFC．平行四边形法2．在四棱锥P-ABCD中，，，，点E在棱PD上，且．求证：AE∥平面PBC；类型二线面平行证明线线平行（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点.设平面平面，证明：平面；类型三面面平行证明线面平行(双中点）（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．证明：平面BEF；题组二垂直关系的证明1、如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面ABC证明：EF⊥BC．2．（浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题）如图，在三棱柱中，.证明：平面；3．（浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，．证明：平面平面；

题组三线面角、二面角的定义（浙江省温州市高三下学期3月适应性测试）如图，在三棱锥中，，．（1）证明：；（2）有三个条件；①；②直线与平面所成的角为；③二面角的余弦值为．请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．2．（2021·浙江高三月考）已知四边形，，，将沿翻折至.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.题组四点到平面的距离如图，在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA=SC=22，O,M分别为AC,AB的中点，且SO⊥AB．求点B到平面题组五线面角、二面角的几何求法类型一线面角几何求法——等体积法（浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题）已知三棱锥，是等腰直角三角形，是等边三角形，且，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值

类型二二面角几何求法——垂面法如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体．(1)求证BC⊥平面AFG．(2)求二面角B-AE-D的余弦值．类型三二面角几何求法——三垂线定理如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120∘，E，别为AC，DC的中点． （1）求证：EF⊥BC；（2）求二面角E−BF−C的正弦值题组六、探索性问题1、（2021·山东滨州市·高三二模）如图，在四棱锥中，O是BD的中点，平面ABCD，，，.（1）求证：平面平面；（2）设，若二面角的余弦值为，求的值.2、（2021·福建厦门双十中学高三其他模拟）已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．（1）求证：AE⊥BD；（2）是否存在一点F，满足(0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由．题组七、线面角、二面角的空间向量求法类型一线面角1、（2021·山东聊城市·高三三模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，以BD为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．（1）证明：；（2）若M为PB的中点，二面角的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．2、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）如图，圆柱的高为3，是圆柱的下底面圆的内接三角形，是上底面圆内的一条弦，均为圆柱的母线，且分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．类型二、面面角1、（2021·河北邯郸市高三三模）在三棱柱中，底面，为正三角形，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.2、（2021·山东泰安市·高三三模）已知三棱柱，，，，点为中点.（1）试确定线段上一点，使平面；（2）在（1）的条件下，若平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．1、（2021·山东青岛市·高三二模）如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值.2、（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点.（1）设平面平面，证明：平面；（2）是否存在这样点，使平面与平面所成角为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.3．（浙江省丽水、湖州、衢州三地市2021届高三下学期4月教学质量检测数学试题）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角所成角的余弦值.1、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．2、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?3、（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．4、（2020天津17）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．5、（2020山东20）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．6、（2019•新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．7.（2022•全国甲卷理科）在四棱锥中，底面．（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．8、（2022•全国新高考1卷）．如图，直三棱柱ABC−A1B1（1）求A到平面A1（2）设D为A1C的