线性代数：第二章 矩阵及其运算 第一节

第二章矩阵及其运算§1

矩阵一、线性方程组设有n

个未知数m

个方程的线性方程组

m、n

不一定相等！称为n元非齐次线性方程组.称为n元齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是一个解，称为零解.如果一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，则它是齐次线性方程组的非零解。因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.例如考虑下面方程组：唯一解无解无限多个解是否有解，有解是否唯一，是否无限多个解，怎么求解？矩形数表

由

m×n

个数排成的

m

行

n

列的数表称为

m行

n列矩阵，简称

m×n

矩阵．记作二、矩阵的定义简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n

个数称为矩阵A的元素，简称为元.行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行列式和矩阵的区别：行数与列数都等于

n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).

只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O

.例如：三、特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵．

特别的，方阵称为单位阵．记作记作．同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.

两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元 素相等，即 则称矩阵A

与

B相等，记作A=B

.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如例题：系数矩阵未知数矩阵常数项矩阵增广矩阵表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.四、矩阵与线性变换

n个变量与m

个变量之间的关系式系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例线性变换称为恒等变换.对应

单位阵

En对应投影变换例

2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j

角的旋转变换例

2阶方阵§2

矩阵的运算例

某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij

表示上半年工厂向第

i家商店发送第

j种货物的数量．其中cij

表示工厂下半年向第

i家商店发送第j

种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较（行列式性质5，矩阵加法）交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各

l件，试求：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第

j种货物的总值及总重量其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．二、数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．例（续）

某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以

ci1，ci2

分别表示工厂向第

i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工厂向第

i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1

表示第

i种货物的单价，bi2

表示第

i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，=三、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n

矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例：设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有， 从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)

乘法结合律(3)

乘法对加法的分配律(2)

数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵

lE

与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立例题5,6，7四、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例转置矩阵的运算性质例：已知解法1解法2定义：设A

为n

阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵例9：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质证明：要使得|AB|=|A||B|

有意义，A、B

必为同阶方阵，假设A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我们以

n=3为例，构造一个6阶行列式令，则

C=(cij)=AB．从而．例10，定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式

Aij

所