四校八大名校卷 上海市上海中学2021届高三上学期期中数学试题 带详解

(1(1〉求证：-j2a7i+>/2b7i<2y/2 :(2)求|i+l+/l+l的最小值.6.己知函数7.知6.己知函数7.知a〉0,bX),且⑽——上海中学2020-2021学年髙三年级第一学期期中考试数学试卷一.填空题TOC\o"1-5"\h\z己知集合v4={L2,3},B={x\2x-x2<0},则AC\B= 函数/U)=2r+l(XG(h+O3)的反函数为 S4oga(a2+l)Sloga(2a)，则实数a的取值范阑是 若a》eR.则u\a\+\b\>\a+b\-是u\a-b\>\a\-\b\-的 条件(请从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”屮选一个填空)的挝小值为 5.幕函数/W过点(2,4),那么当x〉0时,函数的挝小值为 x>0—的最小值为2m.则实数爪= x<0己知数列｛a,,｝为等差数列，al+a3+a5=l9叉表示数列｛么｝的前"项和，若当且仅刍n=2O时,Sn取到最大值•则七+a4+a6的取值范围是 对于非空集合A=h，乂，…，人｝(^>0,/=U，…，《)，其所有元索的几何平均数记为E(A)9即 E(A)=^a2a5-an,若非空集合方满足以下两个条件：②E｛B)=E(A),则称右为力的一个“保均值真子集”：据此，集合｛1,2,4,8,16｝的“保均值真子集”有 个10.己知定义在/?上的奇函数/⑺满足当10.己知定义在/?上的奇函数/⑺满足当xe吋./(X)=77.则函数扒X)=(H)/㈧_1在区阏[-^37r]上所有零点之和为 . ab，ab>Q任意实数《，b，定义a®b=\a 设函数/(x)=(log^)®.r,数列｛a,,｝公比大于0的T.ab<0ib等比数列，且a6=l，f(al)+f(a2')+f(ai)+--^f(a9)+f(al())=2alt则义= . 己知函数/⑺sink:1中4+1)，发Cv)=N+a-2.K存在ae[nji+l](neZ).使得关于义的方程/GO=g(x)有四个不相等的实数解.则n的最大值为 .二.选择题^a.b.ceR且则卜列不等式一定成立的是()A.etc>beA.etc>beB(a-b)c2>01Ifp<1-ac2/7Ic<ID.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋吋期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音.“宮”经过一次1‘损”，频率变为原来的得到“徴”：“徴”经过一次“益”，频率变为原來的得到“商”：……依次损益2 4交替变化，获得了“宫、微、商、羽、角”五个音阶.据此吋推得()A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徽、商”的频率成等比数列C.“商.羽、角”的频率成等比数列 D.“徴.商、羽”的频率成等比数列15.设平行于J轴的直线/分别与函数y=2*^y=2r+,的阁像相交于点4,苦函数=2X的图像上存在点C，使得„ABC为等边三角形，则这样的直线/()A.不存在 B.有且只有一条 C.有且只有两条 D.有无数条给出下列命题：(1〉)+f)|>|g(xl)+g(x2)\任意xwR恒成立，且,v=f(x)是奇函数.则函数y=g(x)也足命函数：(2)若|f(xj-f(x2)|>|g(xL)-g(x2)|任意lyR恒成立，且｝，=/<¥)足周期函数，则函数y=gW也足周期函数；⑴Z\fW-f(^)\>\sW-g(x2)\对任意不相等的实数X,、.V恒成立，且>=/W是R上的増函数，则函数y=/w+g(x)与函数V= 也都是R上的单调递增函数：⑷若|/(^)-/(^2)|>|gw-g(x2)\对任意u2eR恒成立，且y=f(x)在R上有最大值和最小值，则函数y=扒X)在R上也有最大值和最小值：其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4三.解答题苦正数a、b满足:a+b=l.

18.己知函数/U)=|x+1|-|<v-2|.(1〉求不等式/W>1解集；(、2)K不等式fW>x^x+m解集非空，求实数〃i的取值范围.19.某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，己知每投放^(0<«<4,«gR)亿元消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间.r(天)的变化的函数关系式近似为>，=10，其屮3+a3+a・f(x)=■3-a1-xQ<x^2,xeR打多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放2<x<7,xgR的消费券在相沌吋刻对消费总额提高的百分比之和.'1)蓊第一次投放2亿元消费券，则接卜來多长时M内都能使消费总额至少提高40%:1.2)政府第一次投放2亿元消费券，4天后准落再次投放〃U乙元的消费券.IV希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%.试求w的最小值.设定义4(0.+^)上的函数，且/(x)>0,对任意a>0,b>0.若经过点(^/(^)),(b-f(b))的直线与x轴的交点S(cO),则称c为《、办关于函数/(.Y)的平均数，记为S/(x)=l(.r>0).求 的表达式；r；Mf(a.b)=^h・求出所有满足条件的/CO的解析式；若对任意a〉0.h>0,且a ,都有M,(a.Z?)<■成立，求证：f(a+b)>/(«)+f(b).a+b^存在常数weR，使得对于任都Ha“之湖„，则称数列为Z(〃0数列.(1)己知数列是公差为2的等差数列，其前"项和为77久为Z(l)数列.求…的取值范⑵己知数列fe｝各项均为正数.记｛么｝的前"项和为久.数列⑷｝的前”项和为7；.且37；=<+4尺.neN‘.若数列满足c„=b，j~,且为Z(岣数列.求州的最大值:⑴己知正项数列｛《｝满足：O叫(託N*)，且数列｛d^d^｝Z(r)数列.数列彳 一为数列.求证：数列屮必存在无穷多项可以组成等比数列.上海中学2020-2021学年髙三年级第一学期期中考试数学试卷一.填空题1.己知集合A={1，2,3}.B={x\2x-x2<0},则AC]B= 【荇案】{2.3}【解析】【分析】解一元二次不等式得出集合Z/，再求交集即I小【详解】因为A={1，2,3}，B={x\2x-x2:$0}={x|a乏2或x<0}.所以AnB={2,3},故答案为：{2,3}.2.函数/(x)=2,+1(xg(1,-h^)的反函数为 【答案】r1(A)=log2(x-l)(x>3)【解析】【分析】先求出函数的值域^/(x)>3,再得出x=log2(y-3)，从而求得反函数.【详解】由/(x)=2x+l(x>l),可得/(x)>3由)，=2'+1，则x=log2(j-l),所以r1(x)=log2(x-l)(x>3)故答案为：/■*(X)=log,(x-l)(x>3)3.771ogii(^+l)<loga(2a).则实数a的取值范闹是 【答案】(0.1)【解析】【分析】本题考査对数函数的性质，涉及基本不等式，由基本不等式得V+l>2a.进而判定函数>'=logfl.x的单调性，从而确定a的范围.【详解】巾基本不等式得a2+l>2a^且A“等号”不能取到，•••a2+1〉2a，Tia>\，则y=log((x为单调递增函数.于是log,,(a:+1)>log,，(2a)，与log,,(a2+1)<log。(2a)矛盾：苦0<a<1.则>’=iogax足单调递减函数，此吋logu(t/2+1)<log,,(2a),满足log,/a2+1)<loga(2a),...ae(0，l)故答案为(0,1).【点睛】注意基本不等式取等9的条件在这里不成立.从而得到a2+l»2a.然后分类讨论.看足否满足题意.若a加R，则u\a\+\b\>\a+b\n是“|a—叫>|a|—叫”的 条件(请从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空〉【答案】充分不必要【解析】【分析】ft\a\+\b\>\a+b\可得a，b异号，即可得|a-Z>|>|o|-|/>|:举出反例可得|a—叫>|a|—|办|成立但\a\+\b\>\a+b\不成立：结合充分条件、必要条件的定义即叫■得解.【详解】若|a|+州a+W，则异号，所以\a-b\=\a\+\b\>\a\-\b\：若a=l，/?=2,则满足|a-厶|>|a|-|斗但不满足\a\+\b\>\a+b\-所以-\a\+\b\>\a+b\-是一叫>|a|-闷”的充分不必要条件.故答案为：允分不必要..、/(x+l)+f(x)幂函数/(x)过点(2.4)，那么当x>0吋.函数扒勾= —的最小值为 【答案】2+2^2【解析】分析】先求出函数/(x)的表达式，得到g(x)=2+2x+-・再利用均值不等式得到答案.【详解】没幂函数

Xf(x)=a\由幂函数/(x)过点(2.4)，则4=a2,得a=2所以f(x)=x\当,v>0时g(x)=J W=2r-21=2+2x+iy47U)i i当且当2x=l,即A=#吋取等9.2故答案为：2+2^2【点睛】易错点睛：利用基本不等式求胬值时，要注意其必须满足的三个糸件:“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数：“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的员火值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；<3)“三相等”足利用基本不等式求最值吋，必须验证等y•成立的条件，矜不能取等号则这个定值就不足所求的胬值，这也足最容易发生错误的地方6.已知函数f(x)=<6.已知函数f(x)=<2xH+2m2x2-mx二_小值为加，则实_=一【答案】-16【解析】【分析】根据己知函数解析式，分别讨论/n>0,m<0两种情况，根椐函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】冈为/w=<2^+2m{x>0)2x2-mx(x<0)当x>Q吋，f(x)=2^+2m单调递增，则f(x)a【详解】冈为/w=<当％<0吋.f(x)=2x2-mx^开口向上的二次函数，对称轴为x=S，4若'^0.则f(x)=2x2-mx在卜弋0)上单调递减，所以/W>/(0)=0,无最小值.不满足题意:—=2/n,8解得—=2/n,8解得m=-16或"?=0(舍).综上，tn=-16.故答案为：一167.知a>0,卜0,且a+3b=~~^则办的最大值为 ba【答案】I【解析】

【分析】TOC\o"1-5"\h\z先将Ah分离.利用基本不等式求得a+i范围，即衍一姑范闹，再由己知条件即得结果.« b【详解】由a+3b=Y~-^得l-3/?=a+l.bab a又a>0,所以a+->2&且仅当a=l时取等号），即得y-3/7>2,即得一\<b<^« b 3又b>0,得0<好|，所⑽的最大值为f【点睛】本题考査了利用基本不等式求范_,域于基础题.8.己知数列｛义｝为等差数列，Wa5=l，叉表示数列｛么｝的前"项和，若当且仅当n=20时,\取到最人值，则a:+a4+a6的取值范围足. 【答案】（品【解析】分析】由条件可得«3由条件可得«3=|,当n=20吋.乙取到最人值.则、a，0>0aL<0胭顯，由a:+W剛得答案.【详解】由^+«5+675=1,得3a5=l.即a3=y，a，n>0a2+W3a，3一，当且仅当『測寸，侧城’七<0:。=〜+，0・即、=fz3+18t/<0a20=j+17i/>0a2l:。=〜+，0・即、=fz3+18t/<0a2+cta2+ct4+u6=3a4=3«3+3ii=1+3J由G(—51.54，補X故答案为:【点睹】关键点睛：本题考査等差数列的基本性质的A用，解答本题的关键是当且仅当n=20时，叉取到

最大值，则卜>0Vzi<°最大值，则卜>0Vzi<°®于中档题.9.对于非空集合A={a^2y-->ail}(^>0,7=1.2,…，〃)，其所有元索的几何平均数记为E(A),即E(A)= ,芯非空集合及满足以下两个条件：②E(B)=E(A),则称衫为A的一个“保均值真子集”：据此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有 个【答案】6【解析】【分析】按照集合B的元痪个数分类列举即蚪得到答案.【详解】1x2x4x8x16=210,.-.E(A)=V??=4,A集合A的“保均值真子集”fl可能为{4},{1,16},{2,8},{2,4,8},{1,4,16},{1,2,8,16},共6个.故答案为：6【点睛】本题考3满足某种新定义条件的集合的真子集的个数问题，由于数畐:较少.一般吋采用列举方法.列举吋注意按照子集的元素个数分类，4以更加有条理的计数.10.己知定义在尺上的奇函数/(幻满足f(x+jr)=f(-x),10.己知定义在尺上的奇函数/(幻满足f(x+jr)=f(-x),当je0.?时，f(x)=Jx.则函数g(x)=(x-^)f(x)-l在区叫［-^,3^］上所有零点之和为 .【答案】4汗【解析】【分析】由己知条件求出函数/Gd的周期性.将问题转化为函数阉像交点个数问题.然后求和【详解】v/(x)为奇函数，：.f(x+^)=f(-.r)=-f(x)故/'(x+2;r)=-/(A+7r)=/(A-).-./(a-)为周期为2/r的函数函数g(x)=(x-7r)f(x)-l在区间［-^,3^］上所有零点之和转化为函数>•=/M与/7(x)=-l-的交点横坐标之和X—7T由f(X+2/r)=-f(x)II!得函数关干(/r，0)对称

A(x)=1的阁象关于点(^.0)对称X—71如阁所示：故答案为4/T【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性和对称性以及零点的相关知识，将问题进行转化为求函数的交点问题，要掌握本题的解法，注意转化，有一定难度.威a/>>011.任意实数。£没函数=(|o&2x)®x•数列｛a„｝足公比大于11.任意实数。£等比数列，且a6=l,f(ai)+f(a2)+f(a3)+^-+f(a9)+f(al(t)=2a[,则义= .【答案】4【解析】【分析】｛xlog2x.X>1log，X 及其数列｛aj是公比大于0的等比数列，且a6=l.对公比<!分X!xlog:x,X>1log,X_ ， =—X7数列UJ是公比大于0的等比数列，且a6=l，®1<Q时，a*，a”…，a5e（o，i）,a”as,a9，aJ0e（1，+«>），a/i5=i.侧为：7,?侧为：7,?【分析】【分析】【分析】【分析】Vf(aJ)+f(a2)+f(a3)+..-+f(a9)+f(a10)=2a1+…++0+a7log2a7+...+a10log,a10=2at，ai a2 a5q5iog4+q4°g:r…+qi°g+qlog一…+q4RW=412V.左边小于0•右边大于0•不成立.舍去.②0<q<l时,51②0<q<l时,51=1，l分别为：7a!，a2,…，a5e(1，+oo)，a”as.a9，a10e(0-1)，Vf(aI)+f(aVf(aI)+f(a2)+f(a3)+--.+f(a9)+f(a10)=2a1...4log，4+々log，4+...+hog，i+ilog:q+...+与logxfq"qqqq"qq q1=2X7.18l=4.③q=l吋，a*=…=atf=…=a10=i,不满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+•••+f(a9)+f(aJ0)=2ar舍去.综上可得：3i=4.故答案为4.【点睛】本题考査了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质.考査了分类讨论方法、推理能力与计算能力，展于难题.12.己知函数/(幻=111(戶卜+1)，发(x)=|x|+a-2.若存在ac[nji+l](ncZ),使得关于a•的方程f(x)=g(x)有四个不相等的实数解.则n的最人值为 .【答案】2【解析】【分析】【分析】【分析】【分析】由题意得/(x)=g(x)O + =0，今h(x)= ^l-e^a~2.又eR，显然/!U)为偶函数.则方程f(x)=g(x)有四个实根<=>函数h(x)=e2^+\-e^a-2,又〉0有两个零点，令r=^\x>0,则关于，的方程r-eur+l=0»即eu=/+yffi(e_2,+co)内有两个不相等的实根，结合函数y=t+^的阁象zn<ln(c4+1)-2 ,丨t可得L ，由此吋求出答案.1ii2</»+1【详解】解：方程/W=g(x)Oln(6*4+l)=|x|+a-2o?l十4+1_汐卜-:=o.令/似)=/卜卜+1-4和人xeR,则显然A(x)为偶函数，.•.方程/U)=g(x)有四个实根函数h(.v)=e2x_4+1-^--，x>0有两个零点，令/=广2,x〉0,则关于/的方程/2-力+1=0，即^=/+y-it(e_2,+oo)内有两个不相等的实根.结合函数)，=/+$，t>e'2的阁象，^2<ea<e2+e'2,即ln2<6/<hi(/+l)-2，•••存在ae[n.n+l]・使得ln2<a<ln(/+1)-2./i<ln(e4/i<ln(e4+l)-2In2</;+1结合得"^=2.故答案为：2.【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，城于中档题.二.选择题13. 且^7>/?,则卜列不等式一定成立的足()A.ac>be B.(a-b)c2>0 C.—<— D.c-2a<c-2bab【答案】D【解析】【分析】取c=0nJ否定AB:当a=tb=-\时否定C;利用不等式基本性质可以证明D.【详解】逐一考査所给的选项，当c=0吋，ac=be，选项A错误:当c=0时，（rt-办）c2=0,选项B错误，当a=l，b=-1时，a>h.且->|,选项C错误：ab由不等式的性质考知一2a<—2/?.c-2a<c-2b,选项Dil:确.故选：D.【点睛】本题主要考S不等式的性质及其应用等知识.意在考S学生的转化能力和计算求解能力.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋吋期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音.“宫”经过一次“损”，频率变为原来的得到“徵”：“徴”经过一次“益”，频率变为原来的得到“商”： ......依次损益2 4交替变化，获得了“宫、徴、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徴、商”的频率成等比数列C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徴、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】【分析】根据等差等比通项公式，分别计算“宫、徴、商、羽、角”五个音阶.再对照选项，即可得答案：【详解】没“宫’’的频率为《，由题意经过一次“损”，吋得“徴”的频率足ja:9“徴”经过一次“益”，可得“商”的频率是TOC\o"1-5"\h\z8?7 I“商”经过一次“损”，4得“羽”的频率足一a:最后“羽”经过一次“益”，4得“角”的频率足一a,16 64\o"CurrentDocument"9 81由干等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列.\o"CurrentDocument"8 64故选:A.【点睛】本题考査等差、等比数列在数学文化屮的运用，考査逻W推理能力、运算求解能力.设平行于J轴的直线/分别与函数y=2*^y=2r+I的阁像相交于点4, 苦函数=2X的图像上存在点C，使得aA丑C为等边三角形.则这样的直线/（）A.不存在 B.有且只有一条 C.有且只有两条 D.有无数条［答案】B【解析】没直线/的方程为y=a(a>O)t求得点4(log2a,f/).B(log26r-1^),得到\AB\=l,再由C£>丄义谷，得点C，根据点C在函数V=2'的阍象上.得到关于《的方程.即可求解.【详解】设直线/的方程为>'=ci(a>0),由2x=ti.得J=log:a，所以点A(log,a.a)-Fh2**1=a•得x=log2a-l,所以点B(log2r/-l.a),从而|A^|=1：如阁，取的中点£).迮接C7>，因为^ABC为等边三角形，则CD丄AB,且|/1£>|=去，|CD|=^.所以点Clog2n-|,因为点C在函数y=2'的阌象上，则«-^=21og2(7-|=-^,【点睛】本题主要考查了指数函数的阁象与性质的沌用，其中解答中熟记指数函数的阁象与性质，以及根据三角形的性质，合理列出关于实数《的方程足解答问题的关键，着重考査了分析问题和解答问题的能力，W于常考题型.给出卜列命题：S\f(\)+/(-V,)|>|g(X,)+g(x,)|对任意aj?x2eR恒成立，且= 奇函数.则函数)’=只⑶也足命函数：对任Bxpx,gR恒成立.且y=f(x)是周期函数.则函数J=^(0也足周期函数：⑴SIf(\)-f(x2)|>|g(x,)-g(A\)I对任意不相等的实数A、A恒成立，且y=/*(x)是R上的増函数，则函数y=fM+g(x)^函数y=f(x)-g(x)也都是rt.的单调递衲函数：(4)^\f(xl)-f(x2)^g(xi)-g(x2)\对任^xrx2eR恒成立，且y=f(x)在R上有最大值和最小值，则函数y=sM在r上也有最人值和最小值：其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】'1)报据己知条件，依裾函数的奇偶性，周期性的定义.不难证明正确：根据函数单调性的定义，结合不等式的性质>4以证明C；根据己知条件和/(.r)既有最人值又有胬小估的定义，利用不等式的基本性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值.【详解】对于(1),取\=x，a=-x，则|/(x)+/(-x劇容(1)+容(-1)|，•••y=/(_v)是奇函数，■■-f(x)+f(~x)= 0(-v)+XH)|,Ag(x)+^(-x)=O,...g(x)为奇函数;对于<2)没.加)的周期为r(7^o),iu.^=-v,^2=x+r,Rij|/(Aj-/(x+r)|>|g(Aj-^(x+r)|,\-y=f(x)以r为周期，f(x)-f(x+T)=O.:.Q>\^(x)-g(x+T)\,:.g(x)-g(x+T)=O.：.g(x)为以r为周期:对于(3)设七<戋，w⑺是R上的增函数，Z/(Ai)</(x2).|/(x1)-/(A：2)|>|g(x1)-g(^)|即为f(\)~f(x2)< 即为 <f(x2)-g(x2)，.•.函数y=/U)+^(x)与函数y=f(x)-g(x)也都足r上的单调递增函数：对于(4)y=f(x)在Rt有最大值和最小值，/.存在a，k使得对于任意实数X恒成立，A\g(x)-g(a)f(x)-f(a)|=f(x)-f(a)，|g(x)-g(b)f(x)-f(b)|=f(b)-f(x)即 ⑹⑶-/⑷①，g(x)-^b)<f(b)-f(x)③，®+③得2g(x)-g(a)~g(b)<f(b)~f(a)，②+④得2g(x)-g(a)-g(b)> ，即g(x)>f⑹-他+刎+,咖).2由可知函数y=g(x)在r上也有最人值和最小值：综上，真命题的个数为4，故选：D.【点睛】本题考査命题的真假判定，涉及函数的奇偶性.单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不等式.诫于难题.关键在于将奇偶性、周期性、单调性和最人值最小值的定义与已知不等式相结合，利用不等式的基本性质进行推导和论证.三.解答题苦正数a、满足：a+b=l.(1)求证：>/2«7+1+>/2/?+1<2>/2:(2)求的最小值.(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)2^3.【解析】【分析】'1)利用基本不等式求得(V27rT+V2rrT)2<8,即可证得结论成立:(2〉计算得出+ (2〉计算得出+ ,利用基本不等式计算出的铖小值，由此可得出 的最小值.【详解】(1)因为正数0、满足a+b=[.则(«72a+l+V2/?+l)_=2a+l+2厶+1+2^(2a+1)(2/?+l)<4+(2a+l+2办+1)=8，当皿当a+去吋，視立.所以，>/2a+l+>/2b+l<2y/2；当且仅当a=6=j吋.等9成立.因此， 最小值为2W.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求铖值时，要注意其必须满足的三个条件：U)“一正二定三扣等”“一正”就是各项必须为正数：-2)“二定”就是要求和的最小值.必须把构成和的二项之积转化成定值：要求积的最人值，则必须把构成积的闪式的和转化成定值：<3)“三相等”是利用基本不等式求最值吋.必须验证等y成立的条件.z■•不能取等9则这个定值就不是所求的胬值，这也s最容易发生错误的地方.18.已知函数/W=|A+1|-|x-2|.(1)求不等式/(-v)>l的解集：-2)S不等式f^)>x^-x+m的解集非空，求实数〃1的取值范闹.【答案】(1)[1，+太)：<2)(―力，|.【解析】【分析】!-3,x<-l2x-l,-l<x<2,解不等式/(a)彡1可分-1彡.r矣2与.r>2两类讨论3,x>2即可解得不等式/(x) 的解集；(2)依题意口]•得 (j)-F+j],,如，设g(x)=f(x)-A-+X,分 -l<x<2.x$=2三类讨论.口J"求得g(x) ,从而口J■得w的取值范围.4-3,x<-l【详解】解：(1)V/(x)=\x+l\-\x-2\=<2x-L-l<x<2,/G)彡1，3，x>2【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】【解析】•••当时，解得1d彡2:当吋，3彡1恒成立，故x>2：绽上，不等式/(x)彡1的解集为{x\x^l}.(2)原式等价于存在AER使得/(x)彡m成立，BPm^y(x) -a^+.v］嶋，设g(j)=/(a) -.r-hr.由(1)知，g由(1)知，g(X)=<-x2+x+3,x>2当xS-l吋，g(x)=-^+A-3,其幵口向卜，对称轴方程为.X=i>-1,•••笑(x)彡犮(-1〉=-1-1-3=-5:当-l<.r<2吋，g(x)=-x2+3x-1,其开口向下•对称轴方程为x=(-1.2).当.r彡2吋，g(x)=-A-+X+3,其开口向卜，对称轴方程为.v=|<2,•••g(x) (2)=-4+2+3=1;综上，g(x)mat=4•••w的取值范闹为(--].4【点睛】本题考査绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号足解决问题的关键，突出考査分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，域于难题.19.某市为了刺激当地消费.决定发放一批消费券，已知每投放a(0<a<4.aeR)亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比)’随着时问x(天)的变化的函数关系式近似为y=^2,其屮r—0<x<2,xgR/(x)=p-x •77多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放1-x2<a<7,xeR的消费券在相应吋刻对消费总额提高的百分比之和.-1)蓊第一次投放2亿元消费券，则接卜來多长时M内都能使消费总额至少提高40%:<2>政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放〃M乙元的消费券，希望第二次投放后的接下來两天内全市消费总额仍然至少提高40%,试求w的最小值.【答案】(1)5天内：(2)/^=20-876.【分析】II〉根据题意分段列出不等式组.求解.然后取并集即得X的取值范闽，从而得解；•2)依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求扣砬最值，从而得到所求.【详解】依题意得a-2,3+x2x—>10x40%=43-x ,W^l<x<2,0<x<22x(7—a)>10x40%=42<x,7 ’醐2即第一次投放2亿元消费券，则接卜來5天内都能使消费总额至少提高40%:(2)依题意得mf(x)>4=>2[7-(x+4)]十mx—>4:3-xxe[0,2l上恒成立，6-2x+in^-^->4=>/w>(2x~2X^~V设LJ 3-x 3+xr=x+3e[3,5],x=/-3^>/n>(2/~^(6~O=20-2(/+y)/n>20-8>/6>:.mmn=20-s46.【点睛】本题考查分段函数模型的吨用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题.注意：(1)不等式恒成立问题.分离参数后所得式子如果不是特别a杂以至于很难处理，-股常用分离参数法解决：(2)对于二次分式函数的最值.77分子或分母屮的式子是一次的.一般作换元，用一个字母t表示这个一次式.二次分式4以表示为t函数，-•般"I•用基本不等式或齐对勾函数的性质求得相沌最值：K•分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理.20.设/(x)是定义在(0,+x>)上的函数，且f(x)>0,对任ia>0,b〉0.JT经过点(^/(«)).(b-f(b))的直线与x轴的交点是(c，0),则称c为a、关于函数/(.r)的平均数，记为若/(x)=l(x>0),求Mj^b)的表达式：= ・求出所有满足条件的的解析式：27对任意a>0.b>0,且a^b,都有M,(a.b)<#■成立，求证：f(a+h)>f(a)+f(b).a+b【答案】(1)A/•:(2)f(x)=k4x(x>0,々为常数且k>0)；(3>证明见解析.【分析】(1)利用(a，l)、(么一1)、(c，0)三点共线，结合斜率公式可求得f的表达式.即为所求：(2>利用点(«,/(«)).(b-f(b)).(7^,0)三点共线.结合斜率公式可得出柴=柴・进而可得出函数的解析式：(3〉利用点斜式吋求得经过点(«,/(«)),(b-f(b))的直线方程，可求得C=、［:d2、+a，由-可推导出函数y=£^l在(0，+如)上为增函数.进而可得出f(a)<af{(l+^.a+b x a^b然后利用不等式的基本性质可证得结论成立.a+b【详解】(1)v/(x)=l(x>0),由于点A(aJ(a)).B{h-f(b)yC(c，0)三点共线，即点A(a.l).B(b-l).C(c,0)三点共线，由斜率公式口f得—=^-^>c=^.a-cc-b 2因此，Mf(a,b)=^—•(2)...c=Mf(a，b、=>/^，由己知.(a，/(<7))、(/?,-/(^))'(>/^-0)H点共线，Q-f(a)0+f(b)由斜率公式側即列畢-，’对任意的正实数Q-f(a)0+f(b)由斜率公式側即列畢-，’对任意的正实数a、/,且=1成立,即对任意的x>0. 为常数，由于/(X)>O,吋设L^.=k(其中々为常数且々>0),所以，f{x)=k4x(x>0.众为常数且Z:>0)；⑴记点4(a，/(a))、B(b，-f(b))、C(cO),

直线AB的方程为y-f(a)=L^hJS!!l(x-a)(x>0),肿Z(Va)，a-b所以,(b-a)f(a)|/(a)+/⑹直线肿Z(Va)，a-b所以,(b-a)f(a)|/(a)+/⑹对任意d>0•b>0•且a#/，都有c=A/,(a，/?)< .a+b则(心-“)，⑷+f7<2品 bf(a)+af{b)<2abf(a)+f(b)a+b'f(a)+f(b)a+b'整理"J■得a2/(办)一 —«Zy’(6)+Z/.f(a)<0,Ha)BP(a-b)\bf(a)-af(/>)]>0,Ha)BP(a-b)\bf(a)-af(/>)]>0,则ab[a-b) ->0,i&a>b,则所以，ab函数y=£kl在上为增函数，所以.£^>迦，可得/⑷<11^.同理可得/⑷・a+ba a+b v’ a+b由不等式的基本性质可得/(«)+f(b)<af｛(l+h^+hf｛(l+h^=f(a+bya+ba+b2>因此，对任意<7>0，b>0,且a^b都有M 立，f(a+h)>f(a)+f(h).a+b【点睛】关键点点睛：本题考査函数的新定义问题，解本题的关键在干利用三点共线结合斜率公式求出<•关于a、的表达式，在求解本题的第(3)问，要充分结合条件M,(a,b)<^-推导出函数y=a+b x(0,+^)上为坩函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.21.